Preuzmite 1.3. Model linearnog programiranja i više Rezime u PDF od Programiranje samo na Docsity!
1.3. Model linearnog programiranja
1.3.1. Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja
Model linearnog programiranja, bez obzira o kom obliku problema se radi
(problemu maksimuma ili problemu minimuma), karakterišu neke zajedničke
osobine – odnosno postoji određeni broj pretpostavki koje moraju biti
zadovoljene da bi određeni model predstavljao model linearnog programiranja.
Navešćemo samo osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja i
objasniti njihovo značenje :
1. Linearnost. Pretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih
zavisnosti između promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova
pretpostavka zadovoljena je tako što su funkcija cilja i ograničavajući uslovi u modelu linearnog programiranja izraženi linearnim funkcijama. Kao
posledica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su takođe dve osnovne pretpostavke i to: proporcionalnost i aditivnost.
Proporcionalnost podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa u modelu
linearnog programiranja između inputa i outputa. Tako, na primer, ukoliko je za proizvodnju jedne jedinice nekog proizvoda neophodno utrošiti 5 jedinica
određenog resursa, onda će za proizvodnju 10 jedinica tog proizvoda biti
neophodno utrošiti 50 jedinica posmatranog resursa. Osobina aditivnosti podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja ili pojedinih ograničenja
može dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne
elemente modela linearnog programiranja. Tako, na primer, ukoliko funkcija cilja pokazuje ukupan profit određenog preduzeća koji se ostvaruje od
proizvodnje određenih proizvoda, onda se ukupan profit određuje kao suma
profita ostvarenih od pojedinih proizvoda. Osobina aditivnosti primenjuje se i na ograničavajuće uslove modela linearnog programiranja - ukupni utrošci
određenog resursa u proizvodnji određuju se kao suma utrošaka pojedinih
aktivnosti (proizvoda).
2. Izvesnost. Svi parametri modela linearnog programiranja su unapred
jednoznačno određeni, što znači da su koeficijenti funkcije cilja i sistema
ograničenja deterministički određeni i ne menjaju se u toku rešavanja modela. S obzirom na ovu osobinu, model linearnog programiranja smatramo
determinističkim modelom.
3. Deljivost. Ova pretpostavka podrazumeva da promenljive u modelu linearnog
programiranja ne moraju biti celi brojevi. Prema tome, u opštem obliku
modela linearnog programiranja ne postavlja se tzv. uslov celobrojnosti rešenja, što znači da vrednosti promenljivih mogu biti izražene i u obliku
decimalnih brojeva. Ukoliko se, međutim, iz određenih razloga zahteva
celobrojnost promenljivih, onda je u pitanju specijalan oblik zadatka - model
celobrojnog linearnog programiranja - o kome će takođe biti reči u okviru
narednih razmatranja.
4. Nenegativnost. Uslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu od
osnovnih pretpostavki modela linearnog programiranja. Ova pretpostavka ima
svoj metodološki i suštinski (ekonomski) značaj. Naime, kako opšti algoritam
rešavanja modela linearnog programiranja predstavlja simpleks metod, to je za primenu ovog metoda neophodno zadovoljenje uslova nenegativnosti
promenljivih, što čini metodološki aspekt uslova nenegativnosti promenljivih. S druge strane, kako promenljive u modelu linearnog programiranja koji se
koristi za određene ekonomske analize predstavljaju određene ekonomske
veličine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Jasno je, na primer, da ukoliko korišćenjem modela linearnog programiranja želimo da odredimo
optimalan program proizvodnje nekog preduzeća, promenljive modela
pokazuju vrednost (količinu) proizvodnje određenih proizvoda, koja ne može biti negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema
ograničenja (predstavljenih u vidu nejednačina i jednačina), predstavlja jedan
od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja.
Navedene pretpostavke predstavljaju osnovne pretpostavke modela linearnog
programiranja, i one moraju biti uvek zadovoljene. Ukoliko, međutim, bilo koja
od navedenih pretpostavki nije zadovoljena, onda ili se radi o specijalnom obliku
modela linearnog programiranja, ili postavljeni model ne predstavlja model
linearnog programiranja.
1.3.2. Standardni problem maksimuma
Standardni problem maksimuma predstavlja takav oblik modela linearnog
programiranja u kome se postavlja zahtev za određivanjem maksimalne vrednosti
unapred poznate linearne funkcije (funkcije cilja), pod uslovima koji su
predstavljeni sistemom nejednačina sa znakom . Ovakav oblik modela linearnog
programiranja, ekonomski posmatrano, definiše se u uslovima postojanja
ograničenih resursa, koje treba na najracionalniji način utrošiti radi ostvarivanja
maksimalnih ekonomskih efekata.
Zadatak standardnog problema maksimuma predstavićemo na sledeći način
(max) ...
1 2
11 2 2
211 22 2 2 2
111 12 2 1 1
1 1 2 2
p
m m mp p m
p p
p p
p p
x x x
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
z cx c x c x
ograničenja ( aij ) i slobodni članovi sistema ograničenja ( bi ) predstavljaju
parametre modela.
U cilju određivanja rešenja problema (4.1), sistem nejednačina moramo
transformisati u sistem jednačina. Sistem nejednačina transformisaćemo u
sistem jednačina tako što ćemo levoj strani svake nejednačine dodati
nenegativnu vrednost tzv. dodatne promenljive , koja je jednaka vrednosti
razlike između desne i leve strane nejednačine. Nakon uvođenja dodatnih
promenljivih, sistem ograničenja problema (1.3.1) možemo predstaviti u obliku
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
p p p
p p p
m m mp p p m m
p m
a x a x a x x b
a x a x a x x b
a x a x a x x b
x x x
Uvedene dodatne promenljive, osim metodološke uloge u pretvaranju
sistema nejednačina u sistem jednačina, imaju veoma značajan suštinski
(ekonomski) značaj prilikom rešavanja zadatka linearnog programiranja.
Naime, obzirom da nejednačine sistema ograničenja problema maksimuma
(1.3.1) pokazuju način korišćenja ograničenog iznosa raspoloživih resursa
(predstavljanih slobodnim članovima sistema ograničenja), to pozitivne
vrednosti dodatnih promenljivih pokazuju iznos neiskorišćenih resursa u
nekom od rešenja. Tako, vrednosti dodatnih promenljivih iz optimalnog rešenja
pokazuju koliko resursa ostaje neiskorišćeno u situaciji kada su vrednosti realnih
promenljivih optimalne, tj. kada funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu
vrednost. Uslov nenegativnosti, koji se u osnovnom obliku modela odnosio na
realne promenljive, prema tome, mora biti zadovoljen i za dodatne promenljive.
Osim u sistem ograničenja, dodatne promenljive se uvode i u funkciju cilja, nakon
čega će kompletan transformisani oblik problema (1.3.1) biti:
1 1 1 1
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
(max) ... ...
p p p p p m p m
p p p
p p p
m m mp p p m m
p m
z c x c x c x c x
a x a x a x x b
a x a x a x x b
a x a x a x x b
x x x
Kao što vidimo, u našem problemu (1.3.3) imamo p realnih (glavnih) i m
dodatnih promenljivih. Pri tome, dodatne promenljive u funkciju cilja su uvedene
sa nultim vrednostima koeficijenata, tj. cp 1 cp 2 ... cp m 0 , što
pokazuje da se ove promenljive u funkciju cilja uvode isključivo iz metodoloških
razloga. Ukoliko, radi jednostavnijeg zapisa, prihvatimo da je p m n ,
problem (1.3.3) možemo u kraćem obliku izraziti na sledeći način:
(max)
1
1
x j n
a x b i m
z c x
j
n
j
ij j i
n
j
j j
odnosno u matričnom obliku
(max)
x
Ax b
z cx
gde je c vektor vrsta koeficijenata funkcije cilja n - tog reda; x vektor kolona
promenljivih (realnih i dodatnih) n - tog reda; A matrica koeficijenata sistema
ograničenja reda ( m , n ), a b vektor kolona slobodnih članova sistema
ograničenja m - tog reda. Ovako izražen standardni problem maksimuma
predstavlja tzv. kanonički oblik zadatka linearnog programiranja.
Kao što vidimo, svaki model standardnog problema maksimuma, nakon
uvođenja dodatnih promenljivih može se predstaviti u kanoničkom obliku, dok je
isto tako svaki kanonički izražen oblik modela jednostavno predstaviti njemu
odgovarajućim osnovnim oblikom modela. Za određene potrebe, prevashodno
metodološko-teorijska razmatranja više se koristi kanonički oblik modela, dok se
osnovni oblik više koristi za potrebe ekonomske analize i praktična istraživanja.
1.3.3 Opšte osobine rešenja modela linearnog programiranja
Da bi predstavili mogućnosti i postupak određivanja optimalnog rešenja
modela linearnog programiranja, predstavićemo osnovne karakteristike rešenja,
tj. ukazati na vrste i karakteristike rešenja. Pri tome, s obzirom na već prezentirani
standardni problem maksimuma, vrste i karakteristike rešenja modela linearnog
programiranja predstavićemo koristeći ovaj oblik modela. Takav pristup iniciran
je sa jedne strane jednostavnijim mogućnostima dokazivanja nekih rigoroznih
matematičkih stavova i teorema, i, sa druge strane najvećom zastupljenošću ovog
oblika modela linearnog programiranja u teorijskim i praktičnim istraživanjima.
Ukoliko sada tačku x uvrstimo u sistem jednačina problema (1.3.5), imamo
Ax Ax Ax b b b b
Ax A x x Ax Ax
' " "
' " ' "
na osnovu čega vidimo da tačka x predstavlja moguće rešenje zadatka linearnog
programiranja, 2 tj. da sve konveksne kombinacije mogućih rešenja takođe
predstavljaju moguća rešenja. Prema tome, skup mogućih rešenja je konveksan
skup, što je trebalo i dokazati.
Posmatrajmo sada kanonički oblik standardnog problema maksimuma, tj.
(max)
0
z cx
Ax b
x
Nakon uvođenja dodatnih promenljivih formiran je, kao što vidimo, sistem od
m jednačina sa n ( n p m )nepoznatih, pri čemu je očigledno m n. Iz
linearne algebre je poznato da ukoliko matrica A ima rang m (maksimalan broj
linearno nezavisnih vektor kolona), možemo uzeti da su bilo koje n m
promenljive jednake nuli, a zatim određivati vrednosti preostalih m promenljivih.
Bilo koje tako određeno rešenje našeg problema maksimuma predstavlja bazično
rešenje. Ukoliko takvo rešenje zadovoljava i uslov nenegativnosti ono
predstavlja bazično moguće rešenje problema maksimuma.
Osnovni cilj rešavanja zadatka standardnog problema maksimuma predstavlja
zahtev za određivanjem optimalnog rešenja. Bazično moguće rešenje ,
2
1
x x x x k , predstavlja optimalno rešenje zadatka standardnog
problema maksimuma ukoliko imamo da je ( ) ( )
z x zx , za bilo koje moguće
rešenje
' x. Drugim rečima, rešenje zadatka standardnog problema maksimuma
je optimalno ukoliko je moguće i ukoliko daje maksimalnu vrednost funkcije cilja
z.
Teorema 1.3. 2. Optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja nalazi se
u ekstremnoj tački konveksnog skupa mogućih rešenja.
Dokaz: Kako je skup mogućih rešenja konveksan, ograničen skup postoji konačan
broj (pretpostavimo k ) ekstremnih tačaka koje ćemo označiti sa x 1 , x 2 ,..., xk.
Neka je
x tačka za koju funkcija cilja ostvaruje maksimum, odnosno za koju
2 Osobina konveksnosti skupa mogućih rešenja važi za sve oblike zadatka linearnog programiranja (standardni problem maksimuma, mešoviti problem maksimuma i problem minimuma), zbog čega koristeći razmatranje standardnog problema maksimuma izvodimo opštu osobinu modela linearnog programiranja.
imamo da je ( ) ( )
z x zx , za svako moguće rešenje x. Ako je
x ekstremna
tačka konveksnog skupa mogućih rešenja, teorema je dokazana.
Pretpostavimo sada suprotno, tj. da
x nije ekstremna tačka skupa mogućih
rešenja. Tada tačku
x možemo izraziti kao konveksnu kombinaciju skupa
ekstremnih tačaka, tj.
x 1 x 1 2 x 2 ... k xk
gde je
k
i
i i^ k i i
1
0 ( 1 ,... ) 1.
Kako je funkcija z linearna, možemo pisati
1 1 2 2
1 1 2 2
k k
k k
z x z x x x
z x z x z x
Ukoliko sada u poslednjoj jednačini, od k mogućih rešenja predstavljenih
ekstremnim tačkama mogućeg skupa izaberemo tačku za koju funkcija z
ostvaruje maksimalnu vrednost, na primer xk tada možemo pisati
1 2
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( ) ( *)
k k k k
k k
z x z x z x
z x z x z x z x
Obzirom da su koeficijenti i ^0 i i ^1 , dobijamo
1 2
1 2
( ) ( ) ... ( )
( ... ) ( ) ( )
k k k k
k k k
z x z x z x
z x z x
odnosno
z xk z x
što je i trebalo dokazati. Na taj način, pokazano je da tačka x predstavlja
optimalno rešenje zadatka standardnog problema maksimuma jedino ukoliko je
x xk
, odnosno da se maksimalna vrednost funkcije z ostvaruje u ekstremnoj
tački skupa mogućih rešenja.
1.3.4 Određivanje optimalnog rešenja zadatka
linearnog programiranja
1.3.4.1 Grafički metod
Najjednostavniji način određivanja rešenja u zadatku linearnog programiranja
predstavlja grafički metod. Osim toga, grafički način predstavljanja uslova
sistema ograničenja i funkcije kriterijuma u zadatku linearnog programiranja,
1
1 2
1 2
x
x x
x x
gde, kao što vidimo, izrazi na levoj strani nejednačina pokazuju iznos
neophodnog utroška radnih časova u pojedinim pogonima za proizvodnju x 1
jedinica proizvoda P 1 i x 2 jedinica proizvoda P 2 , dok na desnoj strani imamo
raspoloživi fond časova pojedinih pogona.
Osim prethodnih elemenata, neophodan uslov izražava i zahtev za
nenegativnošću promenljivih, što je s obzirom na značenje naših promenljivih
(obim proizvodnje) očigledno veoma važan uslov.
Na taj način, model linearnog programiranja, koji će nam poslužiti za
određivanje optimalnog programa proizvodnje posmatranih proizvoda, možemo
predstaviti u obliku:
(max) z 80 x 1 60 x 2
1 2
1
1 2
1 2
x x
x
x x
x x
Na osnovu ovako izraženog problema linearnog programiranja vidimo da smo
zahtev za određivanjem optimalnog programa proizvodnje posmatranih
proizvoda izrazili kao zahtev za određivanjem nenegativnih vrednosti
promenljivih x 1 i x 2 za koje su zadovoljene sve nejednačine ograničenja i za
koje funkcija cilja z ostvaruje maksimalnu vrednost.
U cilju grafičkog određivanja rešenja, odnosno predstavljanja skupa mogućih
rešenja, prvo ćemo sistem nejednačina izraziti u obliku odgovarajućeg sistema
jednačina:
1
1 2
1 2
x
x x
x x
Nejednačine smo transformisali u jednačine radi jednostavnijeg prikazivanja
skupa mogućih vrednosti promenljivih za koje su pojedini od uslova
ograničenja zadovoljeni. Tako, ukoliko primenimo segmentni oblik
predstavljanja pravih, nakon deljenja jednačina sa vrednošću njihovih slobodnih
članova na desnoj strani, imamo:
1
1 2
1 2
x
x x
x x
Sada, jednostavno možemo predstaviti prave koje reprezentuju pojedine
nejednačine ograničenja (Slika 1.3.1.)
Slika 1.3.1. Sve tačke koje se na slici 1.3.1. nalaze na pojedinim segmentima pravih u okviru
prvog kvadranta i ispod njih zadovoljavaju pojedine nejednačine sistema
ograničenja našeg zadatka. Skup tačaka OABCD predstavlja konveksan skup
- Identifikacija skupa mogućih rešenja za koja su zadovoljene sve nejednačine
sistema ograničenja i uslov nenegativnosti.
- Nanošenje prave koja reprezentuje funkciju cilja za nulte vrednosti
promenljivih (prava funkcije cilja koja prolazi kroz koordinatni početak);
- Translacija prave funkcije cilja sleva udesno, (nanošenje paralelnih pravih)
sve dok ne ucrtamo jednu takvu pravu koja sa skupom mogućih rešenja ima samo jednu zajedničku tačku;
6. Utvrđivanje optimalnih vrednosti promenljivih x 1 i x 2 u vidu koordinata
ekstremne tačke skupa mogućih rešenja najudaljenije od koordinatnog
početka (identifikacijom sa grafika ili rešavanjem sistema jednačina pravih na čijem preseku se tačka nalazi), i
- Određivanje vrednosti funkcije cilja za optimalne vrednosti promenljivih.
Na kraju, važno je napomenuti da je postupak primene grafičkog metoda
određivanja optimalnog rešenja istovetan sa razmatranim i u slučaju rešavanja
problema minimuma, kao i mešovitog problema maksimuma. U slučaju rešavanja
problema minimuma, inverzan zahtev definisan odgovarajućom funkcijom cilja,
determiniše egzistenciju optimalnog rešenja u tački skupa mogućih rešenja koja
je najbliža koordinatnom početku. Kod mešovitog problema maksimuma razlika
prilikom utvrđivanja skupa mogućih rešenja u odnosu na razmatrani postupak
posledica je modifikacije sistema ograničavajućih uslova. Međutim, opšti
karakter i način korišćenja grafičkog metoda istovetan je kod rešavanja svih
zadataka linearnog programiranja.
1.3.4.2 Simpleks metod
Za razliku od grafičkog metoda, koji se može koristiti samo za rešavanje
problema u kojima postoje dve realne promenljive, simpleks metod predstavlja
opšti algoritam koji se koristi za rešavanje svih oblika zadatka linearnog
programiranja. Simpleks metod predstavlja algoritam u kome se u nizu iteracija
(faza) dolazi do optimalnog rešenja zadatka linearnog programiranja. Pri tome, u
svakoj od iteracija utvrđuju se vrednosti promenljivih koje odgovaraju
ekstremnim tačkama skupa mogućih rešenja i ispituje njihova optimalnost.
Simpleks metod obezbeđuje najkraći put do optimalnog rešenja, što znači da se u
postupku rešavanja zadatka linearnog programiranja ne utvrđuju rešenja koja
odgovaraju svim ekstremnim tačkama konveksnog skupa mogućih rešenja (kao
što je to slučaj kod tzv. metoda pretraživanja koji se koristi u kombinaciji sa
grafičkim metodom).
Da bi objasnili suštinu simpleks metoda i način izračunavanja optimalnog
rešenja zadatka linearnog programiranja, izrazićemo model (1.3.3) u matričnom
obliku:
Funkcija cilja
p m
pm
x
x
x
z c c c
2
1
1 2
Sistem ograničenja
m m mp p^ ^ m m
p
p
b
b
b
x
x
x
a a a
a a a
a a a
2
1
2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
gde pojedine kolone matrice koeficijenata sistema ograničenja predstavljaju tzv.
vektore aktivnosti, koje možemo predstaviti u obliku
1
21
11
1
a m
a
a
A ,
2
22
12
2
a m
a
a
A ,.... ,
mp
p
p
p
a
a
a
A
2
1
Ap m
odnosno
mj
j
j
j
a
a
a
A
2
1
, kao i
b m
b
b
b
2
1
xp m
x
x
x
2
1
Ukoliko, pored toga, koeficijente funkcije cilja izrazimo u obliku vektora
c ( c 1 , c 2 ,..., cp m ) , problem (4.6) možemo izraziti u kanoničkom obliku, tj.
funkcija cilja ima veću (za problem maksimuma) vrednost u odnosu na
odgovarajuću vrednost iz već određenog rešenja? Da bismo odgovorili na ovo
pitanje, izvešćemo Dantzigove, odnosno simpleks kriterijume za promenu
vektorske baze.
S obzirom na pretpostavku o načinu određivanja početnog bazičnog rešenja,
odnosno na osnovu relacije (1.3.8), možemo pisati
, 1
2 , 1
1 , 1
m p
p
p
a
a
a
xp 1
1,
2, 1 1
,
p m
p m p p m p m m
m p m
a
a x b x x b
a
na osnovu čega za vektore Ai ( i p 1 ,...., p m )koji obrazuju vektorsku
bazu možemo pisati
Ax b
p m
ip
i i
1
a za vektore Aj ( j 1 ,...., p ), koji su nebazični
1
^
p
j
Aj xj (1.3.10)
gde su xi 0 ( i p 1, .... , p m ), x j 0 ( j 1, .... , p ), dok je
funkcija cilja za početno bazično rešenje, s obzirom na vrednosti koeficijenata uz
dodatne (u početnom rešenju bazične) promenljive, jednaka nuli, tj.
p m
i p
z ci xi
1
Na osnovu osobina skupa mogućih rešenja i prethodnih razmatranja, svaki
od nebazičnih vektora možemo izraziti u obliku linearne kombinacije vektora
baze, odnosno
p m
ip
A j xijAi
1
, j=1,2,...,p (1.3.12)
gde su xij koeficijenti linearne kombinacije - u početnom rešenju xij aij dok
se u narednim rešenjima ove vrednosti izračunavaju nakon izmene vektorske
baze.
Osim toga, za svaki nebazični vektor Aj možemo odrediti vrednost funkcije
zj u obliku
p m
ip
z j xijci
1
, j=1,2,...,p (1.3.13)
koja će nam poslužiti za ispitivanje optimalnosti rešenja, odnosno za izvođenje
simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze.
Ispitajmo sada kako će uvođenje nekog od prethodno nebazičnih vektora
uticati na izmenu rešenja, odnosno na povećanje vrednosti funkcije cilja. Pri
tome, treba utvrditi uvođenje koga od prethodno nebazičnih vektora će omogućiti
najveće povećanje vrednosti funkcije cilja. U tom cilju, pretpostavimo da
nebazični vektor Aj ulazi u bazu.
Kriterijum za ulazak vektora Aj u bazu.
Kriterijum za uključivanje jednog od prethodno nebazičnih vektora u bazu
sastoji se u tome da treba odabrati onaj vektor ( l - ti) kod koga je zadovoljen
uslov
max( j j ) 0
j
cl zl c z (1.3.16)
Izraz (1.3.16) predstavlja kriterijum optimalnosti, odnosno I simpleks
kriterijum za izmenu vektorske baze. Ukoliko su za neko od rešenja ove
razlike za sve nebazične vektore negativne, tj. ( cj zj ) 0 , takvo rešenje
predstavlja optimalno rešenje problema maksimuma.
Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora problema (1.3.6) iznosi m , koliko
iznosi i broj vektora baze, zbog čega jedan od prethodno bazičnih vektora mora
napustiti bazu.
Kriterijum za izlazak vektora Ai iz baze.
Iz baze treba isključiti onaj k - ti vektor Ak za koga bude zadovoljen uslov
min ,za il 0
il
i
kl
ki
x
x
x
x
x
i funkcije zj za nebazične vektore na način predstavljen relacijom (1.3.13), koje
su nam neophodne za ispitivanje optimalnosti rešenja korišćenjem simpleks
kriterijuma za ulazak vektora u bazu. Pri tome, koeficijente linearne kombinacije
xij (obeležimo ih kao vektor kolonu xj ) izračunavamo iz izraza
x j Aj
1
gde Aj predstavlja nebazični vektor.
Postupak određivanja optimalnog rešenja problema maksimuma, prema tome,
sastoji se od niza iteracija u kojima se izmenom vektorske baze vrši poboljšavanje
rešenja, odnosno povećavanje vrednosti funkcije cilja. O specijalnim slučajevima
zadatka linearnog programiranja u kojima ne postoji mogućnost jednoznačnog
određivanja vektora koji izlazi iz baze, odnosno u kojima se u uzastopnim
iteracijama funkcija cilja neće povećati, biće više reči prilikom razmatranja
tabelarnog postupka primene simpleks metoda.
1.3.5 Mešoviti problem maksimuma
U određenim situacijma, prilikom rešavanja praktičnih problema, može se
pojaviti zahtev za određivanjem maksimalne vrednosti funkcije cilja u uslovima
kada (osim gornje granice raspoloživih resursa) postoji donja granica
ograničavajućeg uslova, ili kada je uslov dat u vidu jednakosti. U takvim
problemima, prema tome, osim nejednačina sa znakom , u sistemu ograničenja
neki od uslova može biti dat u vidu jednačine, odnosno nejednačine sa znakom
. Prilikom rešavanja praktičnih problema, ovakvi uslovi, na primer, mogu
izražavati zahtev za utroškom sirovina u tačno određenom iznosu, ispunjavanjem
ugovorenih obaveza u predviđenom iznosu (jednačine), predviđenu donju
granicu korišćenja kapaciteta, najniži planirani nivo ukupne proizvodnje
(nejednačine sa znakom ), i slično. Ukoliko su, dakle, u sistemu ograničenja
problema maksimuma, osim nejednačina sa znakom , neki od uslova
zadatka predstavljeni jednačinama, ili nejednačinama sa znakom , takav
oblik problema nazivamo mešoviti problem maksimuma.
Da bi objasnili suštinsku i metodološku razliku ovakvog oblika zadatka
linearnog programiranja u odnosu na standardni problem maksimuma,
posmatrajmo sledeći oblik problema:
(max) ...
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
21 1 22 2 2 2
11 1 12 2 1 1
11 2 2
p
m m mp p m
k k kp p k
p p
p p
p p
x x x
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
z cx cx cx
U problemu (1.3.20), kao što vidimo postoji p realnih promenljivih i m
ograničavajućih uslova. I ovde, kao i kod standardnog problema maksimuma
(4.1) postavlja se zahtev za određivanjem nenegativnih vrednosti promenljivih
x 1 , x 2 ,..., xp , za koje su zadovoljeni svi ograničavajući uslovi i za koje funkcija
cilja z ostvaruje maksimalnu vrednost. Međutim, za razliku od standardnog
problema maksimuma, u kome su sve nejednačine bile oblika , u problemu
maksimuma (1.3.20) vidimo da je k - ti uslov dat u vidu jednačine, dok je m - ti
uslov dat u vidu nejednačine sa znakom . Iako i u slučaju ovakvog problema
maksimuma važe sve prethodno navedene karakteristike mogućih, bazičnih i
optimalnog rešenja, različito izraženi uslovi u sistemu ograničenja izazivaju
promenu postupka određivanja optimalnog rešenja u odnosu na ovaj postupak
kod standardnog problema maksimuma.
Kod standardnog problema maksimuma (1.3.1), za potrebe određivanja
optimalnog rešenja, u prvom koraku smo sistem nejednačina transformisali u
sistem jednačina uvođenjem dodatnih promenljivih. Početno bazično rešenje
određivali smo na osnovu pretpostavke da su realne promenljive jednake nuli, na
osnovu čega je početna baza bila sastavljena od vektora koji odgovaraju dodatnim
promenljivim. Takav pristup (početna baza je bila jedinična matrica)
omogućavao nam je direktno određivanje početnog bazičnog rešenja, i, time,
otpočinjanje simpleks postupka određivanja optimalnog rešenja.
Ukoliko bi i kod mešovitog problema maksimuma primenili prethodno
objašnjeni postupak za određivanju početnog rešenja, ne bi bili u mogućnosti da
odredimo početno bazično rešenje u kome su sve promenljive nenegativne, tj. ne
bi mogli obezbediti da vektori početne baze obrazuju jediničnu matricu. Zbog
toga se prilikom transformisanja ograničavajućih uslova mešovitog problema
maksimuma, osim dodatnih, u sistem uvode i tzv. veštačke promen-ljive.
Veštačke promenljive uvode se u jednačine, dok se u nejednačine sa znakom
uvode i dodatne i veštačke promenljive. Osim u sistem ograničenja,
veštačke promenljive se uvode i u funkciju cilja, i to sa koeficijentima koji
su jednaki negativnoj vrednosti broja M , pri čemu je M veliki konačan
