Linearno programiranje, Seminarski radovi od Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu

Preuzmite Linearno programiranje i više Seminarski radovi u PDF od Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu samo na Docsity!

VISOKA ŠKOLA AKADEMSKIH STUDIJA

“DOSITEJ“

SEMINARKI RAD

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Mentor: Student: Prof. dr. Slobodan Nićin Dijana Gubić E35/ Beograd, jun 2023.

Sadržaj:

1. Uvod

2. Pojam i razvoj linearnog programiranja

3. Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja

4. Elementi modela linearnog programiranja

5. Problemi linearnog programiranja

6. Zaključak

7. Literatura

2. Pojam i razvoj linearnog programiranja Linearno programiranje je najpoznatija i najviše primenjivana metoda operacionih istraživanja. Ono omogućava rešavanje velikog broja složenih ekonomskih problema. Od svih metoda operacionog istraživanja linearno programiranje na najbolji način ilustruje sve faze metodološkog pristupa pri rešavanju ekonomskih problema i to počev od postavljanja problema, preko prikupljanja podataka, formiranja matematičkog modela, njegovog rešavanja odgovarajućim algoritmom, pa do analize stabilnosti pronadjenog optimalnog rešenja i uslova za njegovu primenu. Linearno programiranje je matematička metoda pomoću koje se od većeg broja mogućih rešenja može izabrati optimalno rešenje. Linearno programiranje se može posmatrati kao grana primenjene matematike i kao oblik kvantitativne ekonomske analize. U matematičkom smislu linearno programiranje predstavlja matematičke metode kojima se traži maksimalna (ili minimalna) vrednost jedne linearne funkcije, uz unapred data ograničenja koja su izražena sistemom linearnih jednačina i nejednačina. U ekonomskom smislu linearno programiranje predstavlja matematičku tehniku koja služi da se od više mogućih ekonomskih odluka izabere ona koja će imati najveću efektivnost. Veliki broj proizvodnih problema može se rešiti metodama linearnog programiranja sa tačnošću koja u velikoj meri zadovoljava zahteve prakse. Osnovno u rešavanju proizvodnih problema pomoću linearnog programiranja je to da se na bazi unapred izabranog kriterijuma odredjuju rešenja koja su u datim uslovima najbolja. Ali, pronadjenja rešenja su optimalna u odnosu na izabrani kriterijum. Promenom kriterijuma optimalnosti može se, pri istim ograničavajućim uslovima, odrediti potpuno različito rešenje. Izbor kriterijuma prema kome će se problem rešavati zavisi od vrste problema. Linearno programiranje obuhvata sledeće metode:

1. simpleks metodu,
2. transportni problem i
3. metodu rasporedjivanja.

3. Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja Model linearnog programiranja, bez obzira o kom obliku problema se radi (problemu maksimuma ili problemu minimuma), karakterišu neke zajedničke osobine – odnosno postoji određeni broj pretpostavki koje moraju biti zadovoljene da bi određeni model predstavljao model linearnog programiranja. Navešćemo samo osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja i objasniti njihovo značenje : 1. Linearnost. Pretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih zavisnosti između promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova pretpostavka zadovoljena je tako što su funkcija cilja i ograničavajući uslovi u modelu linearnog programiranja izraženi linearnim funkcijama. Kao posledica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su takođe dve osnovne pretpostavke i to: proporcionalnost i aditivnost. Proporcionalnost podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa u modelu linearnog programiranja između inputa i outputa. Tako, na primer, ukoliko je za proizvodnju jedne jedinice nekog proizvoda neophodno utrošiti 5 jedinica određenog resursa, onda će za proizvodnju 10 jedinica tog proizvoda biti neophodno utrošiti 50 jedinica posmatranog resursa. Osobina aditivnosti podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja ili pojedinih ograničenja može dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne elemente modela linearnog programiranja. Tako, na primer, ukoliko funkcija cilja pokazuje ukupan profit određenog preduzeća koji se ostvaruje od proizvodnje određenih proizvoda, onda se ukupan profit određuje kao suma profita ostvarenih od pojedinih proizvoda. Osobina aditivnosti primenjuje se i na ograničavajuće uslove modela linearnog programiranja - ukupni utrošci određenog resursa u proizvodnji određuju se kao suma utrošaka pojedinih aktivnosti (proizvoda).

2. Izvesnost. Svi parametri modela linearnog programiranja su unapred jednoznačno određeni, što znači da su koeficijenti funkcije cilja i sistema ograničenja deterministički određeni i ne menjaju se u toku

4. Elementi modela linearnog programiranja Osnovni elementi svakog problema linearnog programiranja (kao što se to može videti u opštem modelu) su: nepoznate veličine (nezavisno promenljive) u modelu: (Xi), koeficijenti funkcije kriteri-juma (ci), tehnički koeficijenti (aij) i vektor ograničenja (Aj). Nepoznate (nezavisno promenljive) u modelu su realne veličine čije se vrednosti dobijaju rešavanjem problema linearnog programiranja. Ako je, na primer, problem određivanja optimalne strukture setve, onda nepoznate u modelu mogu predstavljati površine zemljišta pod određenim usevima. Koeficijenti funkcije kriterijuma su najčešće neke ekonomske kategorije koje se žele maksimirati, ili minimirati. Tako, na primer, koeficijenti funkcije kriterijuma mogu biti: vrednost proizvodnje, ukupan prihod, dohodak, dobit, neto prihod, ili troškovi proizvodnje. Koeficijenti funkcije kriterijuma su veličine koje se uvek odnose na jedinicu nepoznate (nezavisno promenljive, aktivnosti) u modelu linearnog programiranja. Ako je aktivnost u nekom modelu površina određenog useva u hektarima, onda koeficijent funkcije kriterijuma može predstavljati (u zavisnosti od toga šta se želi maksimirati ili minimirati) vrednost proizvodnje po hektaru određenog useva (d/ha), ili troškove proizvodnje po hektaru (d/ha). Zbir proizvoda funkcije kriterijuma treba da obezbedi ekstremnu vrednost (minimum ili maksimum) cilja koji je postavljen (npr. maksimalna vrednost proizvodnje, ili minimalni troškovi proizvodnje). Zbog toga se funkcija kriterijuma još naziva i "ciljna funkcija". Tehnički koeficijenti su poznate veličine u modelu linearnog programiranja koje se nalaze uz aktivnosti (nepoznate) u matrici ograničavajućih uslova. Njihova osnovna funkcija je da povezuju nepoznate u linearnim relacijama leve strane jednačina (nejednačina) sa desnom stranom, odnosno ograničenjima raspoloživih resursa u matrici ograničenja. Tehnički koeficijenti predstavljaju neke realne vrednosti. Obično su to neki tehnički standardi, koji se kao i koeficijenti funkcije kriterijuma odnose na jedinicu aktivnosti. Tako, na primer, u ograničenju plasmana pojedinih poljoprivrednih proizvoda, tehnički koeficijenti predstavljaju planirani prosečan prinos useva po hektaru. Ograničenja modela,odnosno desna strana linearnih jednačina, ili nejednačina u matrici ograničavajućih uslova, predstavljaju u modelu realna ograničenja u originalnom sistemu. Ukoliko je u pitanju optimiranje strukture neke proizvodnje, onda vektor ograničenja u modelu definiše sva relevantna ograničenja proizvodnih faktora i internih, ili eksternih uslova

proizvodnje. Ako je,na primer, problem određivanja optimalne strukture setve, onda je ukupno raspoloživa površina za setvu (ha) svakako jedno od stvarnih ograničenja koje se mora uvrstiti i u model linearnog programiranja. Ono što je bitno u modeliranju problema linearnog programiranja je da tehnički koeficijenti i ograničenja na desnoj strani nejednačina u matrici ograničenja moraju bitu u analognim jedinicama mere. Rešavanjem problema linearnog programiranja dobijaju se sledeće informacije:  vrednosti nepoznatih u modelu (Xi),  ekstremna vrednost funkcije kriterijuma (minimum ili maksimum),  stepen iskorišćavanja pojedinih ograničenja,  resursi koji su u potpunosti iskorišćeni i koji u konkretnom modelu predstavljaju stvarna ograničenja postizanja još boljih vrednosti funkcije kriterijuma,  rezerve pojedinih resursa koji nisu u potpunosti isko -rišćeni,  informacije o granicama koeficijenata funkcije kriterijuma u kojima važe dobijene vrednosti nepoznatih u optimalnom rešenju, i  informacije o granicama kretanja veličina pojedinih ograničenja, u kojima važi optimalna struktura nepoznatih u modelu.

Ukoliko se linearna funkcija maksimizira ili minimizira, rešenje je optimalno. Optimalno rešenje jeste ono koje zadovoljava funkciju cilja, a to je Max ili Min definiranog problema. 1.1. Opsti problem Kod opšeg problema linearnog programiranje uslovi su postavljeni u obliku jednačina i nejednačina. U funkciji cilja može biti i maksimalizacija, ali i minimalizacija. Opšti zapis funkcije cilja u razvijenom, ali i u sažetom obliku moguće je videti u nastavku: F (x) = c1 ∙ x1 + c2 ∙ x2 + … + cn ∙ xn 𝐹 (𝑥) = ∑𝑐𝑗 ∙ 𝑥 1.2. Standardni problem Standardni problem u linearnom programiranju je problem maksimuma ili problem minimuma. Zavisi u koju svrhu i u kom domeni se primenjuje linearno programiranje kao i o samoj industriji u kojoj se primenjuje. Ciljevi minimizacije i maksimizacije se koriste u proizvodnji kada se želi minimizirati troškove ili maksimizirati prodaju i sl. Glavna odlika standardnog problema je da su sva ograničenja izražena nejednačinama. Kako bi problem linearnog programiranja bio moguć, treba postojati barem jedan vektor X koji zadovoljava navedene kriterije i ograničenja. Taj se vektor zove mogući vektor ili moguće rešenje problema linearnog programiranja. Rešenje je optimalno ako maksimizira linearnu funkciju, odnosno ako je minimizira. Uslovi koje standardni problem maksimuma mora zadovoljavati su:

1. Funkcija cilja F mora biti maksimizirana.
2. Sva ograničenja su tipa ≤.
3. Sve varijable odlučivanja xj ne smeju biti negativne (xj ≥ 0).
4. Sve vrijednosti bi na desnoj strani nejednadžbi ne smiju biti negativne.

1.3. Kanonski problem Kanonski problem linearnog programiranja specifičan je po tome, jer u odnosu na standardni problem, ima sva ograničenja (osim nenegativnosti) u formi jednačina. Zbog toga je pogodan za primenu različitih metoda rešavanja problema linearnog programiranja.

6. Zaključak Poduzeća sve više teže postići maksimalnu iskorištenost ograničenih resursa uz ostvarenje željenih ciljeva. Jedan od lakših načina za to je korištenje metoda linearnog programiranja kako bi se došlo do optimalnog rešenja, odnosno maksimiziranjem ili minimiziranjem određene funkcije. Danas se linearno programiranje primenjuje u različitim područjima ljudske delatnosti; proizvodnja, prehrana, transport i slično. Postoje razne metode linearnog programiranja. Za rešavanje nekog određenog problema uzima se metoda koju je u tom trenutku najjednostavnije primeniti. Najprimenjivanija je simpleks metoda iz razloga što se njome dolazi do optimalnog rešenja za svaki problem linearnog programiranja. Grafička metoda koristi se kada postoje maksimalno dve varijable. Prednost grafičke metode je lakša vizualnost rešenja pomoću grafika. Metode linearnog programiranja imaju široku primenu iz razloga što je optimalno rešenje uvek tačno jer se koriste matematički postupci u rešavanju problema.