Matematicka logika, Vodiči, Projekti, Istraživanja od Matematika

Preuzmite Matematicka logika i više Vodiči, Projekti, Istraživanja u PDF od Matematika samo na Docsity!

Departman za matematiku i informatiku

Prirodno-matematički fakultet

Univerzitet u Novom Sadu

Matematička logika

Madarász Sz. Rozália

Novi Sad, novembar 2012.

Predgovor

Ovaj tekst je pomo´cni materijal koji sluˇzi da studentima olakˇsa pra´cenje kur- seva Matematiˇcka logika odnosno Matematiˇcka logika u raˇcunarstvu na Departmanu za matematiku i informatiku PMF Univerziteta u Novom Sadu. On nije dovoljan da bi se kursevi savladali u potpunosti, jer ne sadˇzi zadatke, a ˇcesto nedostaju i primeri koji bi ilustrovali date pojmove odnosno teoreme. Navedene kurseve je, naravno, najlakˇse savladati tako ˇsto se re- dovno pohad¯a nastava (predavanja i veˇzbe) i koristi dopunska literatura. No, iskustvo pokazuje da izvestan broj studenata nije u mogu´cnosti da pohad¯a nastavu, pa ove skripte sluˇze umesto (tud¯ih) beleˇski sa predavanja.

Grubo govore´ci, kurs Matematiˇcka logika, koji se pod raznim nazivima sluˇsa na osnovnim ili master studijama matematike, oslanja se na poglavlja 1, 2 i 4, a kurs Matematiˇcka logika u raˇcunarstvu na poglavlja 1, 2 i 3. No, predavanja iz navedenih kurseva se svake godine prilagod¯avaju sluˇsaocima, u zavisnosti od predznanja i zainteresovanosti, pa shodno tome, ove skripte ´ce ponekad biti presiromaˇsne u odnosu na pokriveni materijal, a opet neke godine se ne stigne da se obradi svaka tema koja je ovde navedena.

Na kraju, shvatite ovaj materijal kao ”ˇzivo bi´ce”, koje ´ce vremenom rasti, menjati se i poboljˇsavati. Nikako ga ne treba shvatiti kao neˇsto ˇsto je zavrˇseno i spremno za ˇstampu. Savetujemo takod¯e da se poseti sajt http://sites.dmi.rs/personal/madaraszr/ i proveri ima li neˇsto ˇsto bi moglo biti od koristi ˇcitaocu prilikom spremanja ispita iz navedenih kurseva.

Roz´alia Sz. Madar´asz

Sadrˇzaj

6 Sadrˇzaj

Glava 1

Iskazna logika

1.1 Poˇceci logike i matematiˇcke logike

Prvi narod u istoriji koji se bavio problemima ispravnog zakljuˇcivanja bili su Stari Grci. Zahvaljuju´ci svom druˇstvenom ured¯enju, koje je ohrabrivalo slobodne ljude da raspravljaju i dokazuju da su u pravu, oni su postavili temelje logike, pre svega kao dela filozofije. U tom smislu, Grˇcki filozofi- nauˇcnici se mogu smatrati za zaˇcetnike logike kao nauke - to su prve svega Tales, Pitagora, Parmenid, Zenon, Protagora, Sokrat, Platon i Aristotel. Jedna posebna grupa filozofa, tzv. sofisti, bavila se poduˇcavanjem veˇstine raspravljanja, koja je Starim Grcima bila korisna prilikom uˇceˇs´ca u upravl- janju gradom-polisom, kao i u liˇcnim sporovima, u kojima su, pred nekom vrstom suda, svoja prava morali sami braniti. Oni, koji su bili veˇstiji u baratanju sa reˇcima i zakonima pravilnog zakljuˇcivanja, imali su svakako prednost nad onima koji te veˇstine nisu imali. Sofisti su takod¯e postali poz- nati po svojim ”iˇsˇcaˇsenim” priˇcama, tzv. sofizmima, u kojima se polaze´ci od prividno istinitih pretpostavki, po pravilima logiˇckog zakljuˇcivanja, stiˇze do apsurdnih zakljuˇcaka. Aristotel je, verovatno motivisan izmed¯u ostalog i takvim sofizmima, sakupio i katalogizirao sve tada poznate ˇseme ispravnog, logiˇckog zakljuˇcivavnja u svom delu ”Organon”. Aristotelova logika, poz- nata i pod nazivom Aristotelova teorija silogizama, ˇcinila je skoro dve hiljada godina obavezan deo svakog ozbiljnog obrazovanja.

Prvi znaˇcajniji pomak u logici kao nauci, posle stotina i stotina godina mraˇcnog srednjeg veka, moˇzemo otkriti u delima nauˇcnika-filozofa, pre svega kod Dekarta i Leibniza. Dekart je zastupao stanoviˇste, da se matematiˇcki

7

1.2. Logika iskaza 9

• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,
• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,
• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.

Istinitosna vrednost sloˇzenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednosti iskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na slede´ci naˇcin:

• iskaz ”p i q”je taˇcan ako i samo ako su i p i q taˇcni,
• iskaz ”p ili q” je netaˇcan ako i samo ako su i p i q netaˇcni,
• iskaz ” ako p onda q” je netaˇcan ako i samo ako je p taˇcan a q netaˇcan,
• iskaz ” p ako i samo ako q” je taˇcan ako i samo ako iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost,
• iskaz ” nije p” je taˇcan ako i samo ako je iskaz p netaˇcan.

Osnovni pojam koji ˇzelimo formalizovati je pojam logiˇcke posledice: Neka je Σ neki skup iskaza. Kaˇzemo da je iskaz p logiˇcka posledica od Σ ako je iskaz p nuˇzno taˇcan svaki put kada su svi iskazi iz skupa Σ taˇcni. U tom sluˇcaju takod¯e kaˇzemo da je zakljuˇcivanje ”iz Σ sledi p” (logiˇcki) ispravno.

Primer 1.1 Posmatrajmo slede´ce zakljuˇcivanje: Ako poplava uniˇsti vaˇsu ku´cu ili ako ona izgori u poˇzaru, osiguravaju´ce druˇstvo ´ce vam platiti. Prema tome, ako vam osiguravaju´ce druˇstvo nije platilo, onda vam poplava nije uniˇstila ku´cu i ona nije izgorela u poˇzaru. Ovo zakljuˇcivanje je ispravno, jer bez obzira na taˇcnost iskaza koji su navedeni, zakljuˇcak ´ce biti taˇcan, pod uslovom da je pretpostavka taˇcna.

Primer 1.2 Posmatrajmo slede´ce zakljuˇcivanje: Ako je neko talentovan i vredan, posta´ce slavan. Svi slavni ljudi su bogati. Ja nisam bogat. Dakle, ja nisam talentovan i nisam vredan. Ovo zakljuˇcivanje nije ispravno, jer moˇze da se desi da samo recimo nisam vredan, a jesam talentovan, pa da su sve pretpostavke taˇcne, a zakljuˇcak nije taˇcan.

10 Glava 1. Iskazna logika

1.3 Sintaksa iskazne logike

Iskazna logika nastaje formalizacijom (”matematizacijom”) logike iskaza. Prvo ´cemo definisati jezik iskazne logike. U opˇstem sluˇcaju, azbuka (ili alfabet) je skup simbola - znakova koji su ”nedeljivi”. Ako je A neka azbuka, svaki konaˇcan niz simbola iz A zovemo reˇc nad A. Svaki podskup skupa svih reˇci nad A jeste jezik nad A. Dakle, da bismo definisali jezik iskazne logike, potrebno je zadati odgovaraju´cu azbuku, i izdvojiti skup onih reˇci nad tom azbukom, koje ´cemo smatrati da su ”dobro formirani izrazi” (tzv. iskazne formule).

Definicija 1.1 Standardna azbuka iskazne logike se sastoji od slede´cih simbola:

• prebrojiv skup iskaznih slova S,
• simboli logiˇckih operacija: ∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬,
• pomo´cni znaci: (, ).

Standardnu azbuku iskazne logike ´cemo obeleˇzavati sa L, i u daljem tekstu, ako drugaˇcije ne kaˇzemo, smatra´cemo da je S = {p 1 , p 2 ,... , pn,... }.

Definicija 1.2 Skup iskaznih formula je najmanji skup reˇci nad azbukom L koji zadovoljava slede´ce uslove:

1. Sva iskazna slova su iskazne formule;
2. Ako su A i B iskazne formule, onda su to i slede´ci izrazi:

(A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B), (¬A)

Ovako definisan skup svih iskaznih formula zovemo i standardan skup iskaznih formula i obeleˇzavamo sa F orm.

Umesto ovako definisanih iskaznih formula, ponekad je zgodno iskazne for- mule definisati na drugi naˇcin, koriˇs´cenjem tzv. poljske (prefiksne) notacije. U toj notaciji simboli logiˇckih operacija se piˇsu ispred (a ne izmed¯u) iskaznih slova ”na koje utiˇcu”, pa je na taj naˇcin izbegnuto koriˇs´cenje zagrada. No, iako takav naˇcin zapisivanja iskaznih formula ponekad ima svoje prednosti,

12 Glava 1. Iskazna logika

1.4 Interpretacije

Za definiciju semantike Iskazne logike koristi´cemo jednu veoma jednostavnu, dvoelementnu algebru, ˇcije elemente moˇzemo oznaˇciti na primer sa 0 i 1, ili T i F, ili kao ˇsto ´cemo mi, sa ⊤ i ⊥. Ta algebra ´ce imati ˇcetiri binarne operacije i jednu unarnu, koje bismo trebali, u principu, oznaˇciti nekim simbolima koji se razlikuju od simbola logiˇckih operacija. No, mi ´cemo ih oznaˇciti istim simbolima (jer ´ce, na kraju krajeva, simbol logiˇcke operacije da se interpretira kao njegov odgovaraju´ci ”par” iz kolekcije operacija iskazne algebre), s tim da ´cemo imati u vidu da se radi o razliˇcitim pojmovima.

Definicija 1.3 Iskazna algebra je algebra I = ⟨{⊤, ⊥}, ∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬⟩, gde su operacije ∧, ∨, ⇒, ⇔ binarne, a ¬ unarna operacija, definisane svojim Cayleyevim tablicama na slede´ci naˇcin:

∧ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

p ¬p ⊤ ⊥ ⊥ ⊤

Definicija 1.4 Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S → {⊤, ⊥}. Ako je p ∈ S, za τ (p) kaˇzemo da je vrednost tog iskaznog slova u valuaciji τ. Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jeste preslikavanje vτ : F orm → {⊤, ⊥} koje je definisano na slede´ci naˇcin: ako su A i B iskazne formule, onda

• ako je p ∈ S iskazno slovo, onda vτ (p) = τ (p),
• vτ (A ∧ B) = vτ (A) ∧ vτ (B),
• vτ (A ∨ B) = vτ (A) ∨ vτ (B),
• vτ (A ⇒ B) = vτ (A) ⇒ vτ (B),
• vτ (A ⇔ B) = vτ (A) ⇔ vτ (B),
• vτ (¬A) = ¬vτ (A).

Za vτ (A) kaˇzemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili u interpretaciji vτ ). Ukoliko je vτ (A) = ⊤, kaˇzemo da je formula A u toj valuaciji (inter- pretaciji) taˇcna, a ako je vτ (A) = ⊥, da je netaˇcna.

1.4. Interpretacije 13

Nije teˇsko uvideti da za datu valuaciju τ postoji jedna i samo jedna inter- pretacija (tj. jedna funkcija koja proˇsiruje preslikavanje τ sa skupa S na ceo skup F orm).

Teorema 1.2 Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figuriˇsu u formuli A.

Dokaz. Neka je A = A(p 1 , p 2 ,... , pn) neka iskazna formula, i neka su τ i τ ′

dve valuacije, takve da imaju istu vrednost za sva iskazna slova koja figuriˇsu u A. Tada se indukcijom po sloˇzenosti iskazne formule A lako dokazuje da je vτ (A) = vτ ′^ (A). 

Definicija 1.5 Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {⊤, ⊥}n^ → {⊤, ⊥}, gde n ≥ 1. Ako je A = A(p 1 , p 2 ,... , pn) neka formula, onda istini- tosna funkcija indukovana sa A jeste funkcija fA : {⊤, ⊥}n^ → {⊤, ⊥} takva da za sve a 1 , a 2 ,... , an ∈ {⊤, ⊥} vaˇzi fA(a 1 , a 2 ,... , an) = vτ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ (pi) = ai, za sve i ∈ { 1 , 2 ,... , n}.

Prema tome, imaju´ci u vidu da vrednost formule ne zavisi od vrednosti onih iskaznih slova koje ne uˇcestvuju u formuli, istinitosna funkcija induko- vana datom formulom pokazuje koje vrednosti ta formula moˇze imati za sve mogu´ce valuacije. Po dogovoru, umesto da uvodimo novu oznaku (fA) za tako indukovanu istinitosnu funkciju, umesto fA(a 1 ,... , an) moˇzemo pisati samo A(a 1 ,... , an).

Indukovanu istinitosnu funkciju najpreglednije je predstaviti tzv. istini- tosnom tablicom, u kojoj ´cemo sistematiˇcno ispisati sve mogu´ce kombi- nacije vrednosti za ona iskazna slova, koja uˇcestvuju u formuli. Ako imamo n razliˇcitih iskaznih slova, istinitosna tablica ´ce imati 2n^ vrsta.

Primer 1.3 Neka je A = (p 2 ⇒ ¬p 5 ) ∧ p 3. Tada, radi jednostavnosti, oznaˇcimo iskazna slova p 2 , p 5 i p 3 redom slovima p, q, r. Tako, formulu A zapisujemo kao A = (p ⇒ ¬q) ∧ r. Vrednost formule A zavisi samo od vrednosti iskaznih slova p, q, r, pa ´ce odgovaraju´ca istinitosna tablica izgledati ovako:

1.5. Tautologije, logiˇcka ekvivalencija 15

1. ¬¬p ⇔ p Zakon dvojne negacije
2. p ∨ ¬p Tertium non datur
3. ¬(p ∧ ¬p) Zakon neprotivreˇcnosti
4. (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q Modus Ponens
5. ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p Modus Tollens
6. (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p) Kontrapozicija
7. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q De Morganov zakon za ∧
8. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q De Morganov zakon za ∨
9. ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) Zakon silogizma
10. (¬p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ p Reductio ad absurdum
11. ¬p ⇒ (p ⇒ q) Ex falso quolibet
12. p ⇒ (q ⇒ p) Verum ex quolibet
13. ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r) Zakon nabrajanja
14. (p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)) Tranzitivnost za ⇒
15. ((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r) Tranzitivnost za ⇔
16. ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p Pierceov zakon

Dokaz. Direktnom proverom. 

Neka je A = A = A(p 1 , p 2 ,... , pn), i neka su B 1 , B 2 ,... , Bn neke formule. Sa A(B 1 , B 2 ,... , Bn) oznaˇcimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule Bi umesto iskaznog slova pi (i ∈ { 1 , 2 ,... , n}).

Teorema 1.4 Neka je A = A = A(p 1 , p 2 ,... , pn) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1 , B 2 ,... , Bn vaˇzi da je A(B 1 , B 2 ,... , Bn) takod¯e tautologija.

Dokaz. Lako je uvideti da je vrednost formule A(B 1 , B 2 ,... , Bn) za svaku valuaciju uvek ⊤. 

Definicija 1.7 Za dve formule A i B kaˇzemo da su logiˇcki ekvivalentne ako je formula A ⇔ B tautologija. U tom sluˇcaju piˇsemo A ≡ B.

Vaˇzno je primetiti slede´ce: A ⇔ B je formula, koja moˇze imati razliˇcite istinitosne vrednosti za razliˇcite valuacije, dok izraz A^ ≡ B^ znaˇci da for- mule A i B imaju istu vrednost za svaku valuaciju. Naravno, na skupu svih iskaznih formula F orm relacija ≡ je relacija ekvivalencije, tj. ona je refleksivna, simetriˇcna i tranzitivna: za sve formule A, B, C vaˇzi

16 Glava 1. Iskazna logika

• A ≡ A,

• ako A ≡ B onda B ≡ A,
• ako A ≡ B i B ≡ C onda A ≡ C.

U slede´coj teoremi smo naveli najpoznatije logiˇcki ekvivalencije.

Teorema 1.5 Neka su A, B i C proizvoljne formule. Tada vaˇzi:

1. A ∧ A ≡ A Idempotentnost konjunkcije
2. A ∨ A ≡ A Idempotentnost disjunkcije
3. A ∧ B ≡ B ∧ A Komutativnost konjunkcije
4. A ∨ B ≡ B ∨ A Komutativnost disjunkcije
5. A ⇔ B ≡ B ⇔ A Komutativnost ekvivalencije
6. (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) Asocijativnost konjunkcije
7. (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) Asocijativnost disjunkcije
8. (A ⇔ B) ⇔ C ≡ A ⇔ (B ⇔ C) Asocijativnost ekvivalencije
9. A ∨ (A ∧ B) ≡ A Apsorpcija ∨ prema ∧
10. A ∧ (A ∨ B) ≡ A Apsorpcija ∧ prema ∨
11. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Distributivnost ∧ prema ∨
12. A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Distributivnost ∨ prema ∧

U slede´coj teoremi su prikazane veze izmed¯u logiˇckih operacija, koje ´cemo u daljem vrlo ˇcesto koristiti:

Teorema 1.6 Za proizvoljne iskazne formule A i B vaˇzi: A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B A ⇒ B ≡ ¬(A ∧ ¬B) A ∨ B ≡ ¬A ⇒ B A ∧ B ≡ ¬(A ⇒ ¬B) A ∨ B ≡ ¬(¬A ∧ ¬B) A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B) A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) A ⇔ B ≡ (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)

Dokaz. Direktnom proverom.  Jedan od veoma ˇcesto koriˇs´cenih tehnika u logici iskaza je tzv. ekviva- lencijska transformacija formula. Neformalno reˇceno, to je postupak kada se od jedne formule konstruiˇse lanac ekvivalentnih formula, tako da se u svakom koraku iskoristi Teorema 1.4 ili se neka potformula zameni njoj ek- vivalentnom formulom.

18 Glava 1. Iskazna logika

Ovako dobijen jezik nazivamo proˇsireni jezik iskazne logike. Na proˇsirenom jeziku iskazne logike moˇzemo navesti joˇs nekoliko vaˇznih logiˇckih ekvivalencija.

Teorema 1.8 Neka su A, B, C iskazne formule na proˇsirenom jeziku iskazne logike. Tada vaˇzi:

A ∧ ⊤ ≡ A A ∧ ⊥ ≡ ⊥ A ∨ ⊤ ≡ ⊤ A ∨ ⊥ ≡ A A ⇒ ⊤ ≡ ⊤ A ⇒ ⊥ ≡ ¬A ⊤ ⇒ A ≡ A ⊥ ⇒ A ≡ ⊤ A ⇔ ⊤ ≡ A A ⇔ ⊥ ≡ ¬A A ⇒ A ≡ ⊤ A ⇔ A ≡ ⊤ A ∧ ¬A ≡ ⊥ A ∨ ¬A ≡ ⊤

Dokaz. Direktnom proverom. 

U daljem tekstu, ako ne kaˇzemo drugaˇcije, radi´cemo na proˇsirenom jeziku iskazne logike.

1.6 Normalne forme i baze iskazne algebre

Videli smo u Sekciji 4. da svaka iskazna formula A = A(p 1 ,... , pn) na priro- dan naˇcin indukuje jednu n-arnu istinitosnu funkciju fA = fA(x 1 ,... , xn). Naime, za sve a 1 ,... , an ∈ {⊤, ⊥}, fA(a 1 ,... , an) je interpretacija (vred- nost) formule A u valuaciji τ u kojoj je τ (pi) = ai, za sve i ∈ { 1 , 2 ,... , n}. Prirodno je postaviti pitanje, da li vaˇzi obrat, tj. da li je svaka istinitosna funkcija indukovana nekom iskaznom formulom? Naravno, ako neka istini- tosna funkcija ima stalno ima vrednost ⊤, onda je indukuje bilo koja tau- tologija, recimo p ∨ ¬p. Sliˇcno, ako funkcija f ima stalno vrednost ⊥, onda je indukuje bilo koja kontradikcija. No, odgovor je pozitivan i u opˇstem sluˇcaju: za proizvoljnu istinitosnu funkciju postoji formula koja je indukuje. Pre nego ˇsto dokaˇzemo teoremu iz koje ´ce slediti ovo tvrd¯enje, pogledajmo slede´ci primer:

Primer 1.4 Neka je istinitosna funkcija f = f (p, q, r) zadata svojom tabli- com na slede´ci naˇcin:

1.6. Normalne forme i baze iskazne algebre 19

p q r f ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ Posmatrajmo one redove (vrste) tablice u kojima funkcija f ima vrednost ⊤, i pokuˇsajmo da konstruiˇsemo formulu Af koja ´ce imati vrednost ⊤ taˇcno za te ˇcetiri valuacije. Formula p ∧ q ∧ r je taˇcna samo u jednom sluˇcaju: kada je τ (p) = τ (q) = τ (r) = ⊤, i to odgovara prvoj vrsti tablice. Dalje, posmatrajmo ˇcetvrtu vrstu: formula koja je jedino taˇcna za tu kombinaciju vrednosti iskaznih slova p, q, r jeste p∧¬q ∧¬r. Sesta vrsta takodˇ ¯e daje taˇcnu vrednost, ˇsto postiˇzemo formulom ¬p ∧ q ∧ ¬r, dok poslednjoj vrsti odgovara formula ¬p ∧ ¬q ∧ ¬r. Formulu koja ´ce biti taˇcna ako i samo ako nastupi jedna od prethodna ˇcetiri suˇcaja dobijamo tako ˇsto napravimo disjunkciju prethodne ˇcetiri formule: (p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧¬r).

Teorema 1.9 (Disjunktivna normalna forma) Neka istinitosna funkcija f : {⊤, ⊥}n^ → {⊤, ⊥} nije kontradikcija (tj. nema stalno vrednost ⊥). Tada za sve x 1 ,... , xn ∈ {⊤, ⊥} vaˇzi:

f (x 1 ,... , xn) =

{x 1 a^1 ∧· · ·∧xnan^ : ⟨a 1 ,... , an⟩ ∈ {⊤, ⊥}n, f (a 1 ,... , an) = ⊤}

gde je xi⊤^ znaˇci xi, a xi⊥^ znaˇci ¬xi.

Dokaz. Prvo primetimo da za a, b ∈ {⊤, ⊥} vaˇzi ab^ = ⊤ akko je a = b. Prema tome konjunkt x 1 a^1 ∧ · · · ∧ xnan^ ima vrednost ⊤ akko za sve i ∈ { 1 , 2 ,... , n} vaˇzi xi = ai. Ako je f (b 1 ,... , bn) = ⊤, onda ´ce se sa desne strane pojaviti konjunkt b 1 b^1 ∧ · · · ∧ bnbn^ , pa ´ce cela desna strana imati vrednost ⊤. U suprotnom, ako je f (b 1 ,... , bn) = ⊥, onda ´ce sa desne strane u svakom konjunktu b 1 a^1 ∧ · · · ∧ bnan^ biti makar jedan i takav da je bi ̸= ai, pa ´ce svaki konjunkt imati vrednost ⊥. 

Na dualan naˇcin dobijamo slede´cu teoremu:

Teorema 1.10 (Konjunktivna normalna forma) Neka istinitosna funkcija f : {⊤, ⊥}n^ → {⊤, ⊥} nije tautologija (tj. nema stalno vrednost ⊥). Tada