Matematicka logika, Relacije, Ispiti od Logika

Preuzmite Matematicka logika, Relacije i više Ispiti u PDF od Logika samo na Docsity!

Šta je to relacija?Šta je to relacija?Šta je to relacija?

U raznim oblastima se ˇ

cesto javlja potreba da se izmed

¯u izvesnih ob-

jekata uspostave izvesne

veze

odnosi

ili

relacije

Na primer, ˇ

cesto se javlja potreba

à

da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu,

à

da se pored

¯aju u skladu sa nekim pravilom,

à

da se odrede izvesne sliˇ

cnosti izmed

¯u objekata, i da se oni grupiˇ

su

u grupe med

¯usobno sliˇ

cnih objekata, itd.

U matematici se sve ovo moˇ

ze uraditi koriˇ

s´ cenjem matematiˇ

ckog pojma

relacije

, koji definiˇ

semo i bavimo se njime u daljem tekstu.

Matemati ˇ

cka logika

- 2 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 2 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 2 –

Relacije - I deo

Primeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacija

a) Skup

je jedna binarna relacija na skupu

. Umesto

, piˇ

se se

̺^

Kako je to relacija

manje

za brojeve, uobiˇ

cajeno oznaˇ

cavanje je

b) Na partitivnom skupu proizvoljnog skupa

A

, inkluzuja

je jedna

binarna relacija.

c) Skup

x, x

(^) x

A

odred

¯uje

relaciju jednakosti

na nepraznom

skupu

A

; oznaka relacije je

, odnosno piˇ

se se

a

a

za svaki

element

a

A

Matemati ˇ

cka logika

- 4 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 4 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 4 –

Relacije - I deo

Primeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacija

d) Poznate binarne relacije na skupu prirodnih brojeva

N

, pored jed-

nakosti, jesu i

, a njihove definicije su:

x < y

z )(

x + z = y )

manje

(strogo manje)

x 6 y ⇔ ( x = y ∨

x < y

manje ili jednako

x | y ⇔ ( ∃ z

x · z = y )

deli, je delitelj

Analogno prvim dvema definiˇ

su se i relacije

ve´

ce

(strogo ve´

ce)

ve´

ce ili jednako

Matemati ˇ

cka logika

- 5 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 5 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 5 –

Relacije - I deo

Primeri

n

-arnih relacija

Primeri

n

-arnih relacija

Primeri

n

-arnih relacija

a) Ako je

A

skup taˇ

caka na pravoj, onda se svojstvom

x

je izmed

¯u

y

i z

definiˇ

se jedna ternarna relacija na

A

b) Skup

x, y, z

) | x 2 + y 2 = z 2 }

je ternarna relacija na skupu

R

c) Skup

N

p

parnih brojeva je unarna relacija na skupu

N

Matemati ˇ

cka logika

- 7 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 7 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 7 –

Relacije - I deo

Grafi ˇ

cko predstavljanje relacija

Grafi ˇ

cko predstavljanje relacija

Grafi ˇ

cko predstavljanje relacija

Kao ˇ

sto smo ranije rekli, Dekatrov kvadrat

A

2

skupa

A

se grafiˇ

cki

predstavlja kvadratom ˇ

cija donja i leva ivica predstavljaju skup

A

Binarne relacije na

A

se u tom sluˇ

caju predstavljaju kao skupovi taˇ

caka

sa odgovaraju´

cim koordinatama u tom kvadratu.

U ovom primeru je

a, b

sto piˇ

semo

a̺ b

, dok

c, d

Matemati ˇ

cka logika

- 8 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 8 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 8 –

Relacije - I deo

Bulove matriceBulove matriceBulove matrice

Relacija

na konaˇ

cnom skupu

A

a 1 , a

2 ,... , a

n }

moˇ

ze se pred-

staviti i

Bulovom matricom

M

̺

=

α

1 , 1

α

1 , 2

α

1 ,n

α

2 , 1

α

2 , 2

α

2 ,n

α

n,

1

α

n,

2

α

n,n

gde je

α

i,j

ako

a i , a

j )

∈

ako

a i , a

j )

/∈

Matrica se naziva Bulovom jer se sastoji samo od

Bulovih vrednosti

nula

(oznaka za netaˇ

cno) i

jedinica

(oznaka za taˇ

cno).

Matemati ˇ

cka logika

- 10 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 10 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 10 –

Relacije - I deo

Primer Bulove matricePrimer Bulove matricePrimer Bulove matrice

Ranije razmatrana relacija

a, b

a, c

b, b

b, c

c, b

c, d

d, a

d, d

na skupu

A

a, b, c, d

, moˇ

ze se predstaviti Bulovom matricom:

M

̺

=

Primetimo da ova matrica veoma liˇ

ci na kvadratnu mreˇ

zu (rotiranu za

◦ ), kojom je ranije bila predstavljena ista ova relacija.

Matemati ˇ

cka logika

- 11 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 11 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 11 –

Relacije - I deo

Primer grafaPrimer grafaPrimer grafa

umesto ”digraf” kaˇ Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

zemo i samo ”graf”.

Neka je graf

G

G, E

zadat sa:

G

a, b, c

} , E = { (

a, b

a, c

b, b

b, c

c, b

Ovaj graf (relaciju) grafiˇ

cki predstavljamo na slede´

ci naˇ

cin:

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Primer grafaPrimer grafaPrimer grafa

umesto ”digraf” kaˇ Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

zemo i samo ”graf”.

Neka je graf

G

G, E

zadat sa:

G

a, b, c

} , E = { (

a, b

a, c

b, b

b, c

c, b

Ovaj graf (relaciju) grafiˇ

cki predstavljamo na slede´

ci naˇ

cin:

a

b

c

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Primer grafaPrimer grafaPrimer grafa

umesto ”digraf” kaˇ Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

zemo i samo ”graf”.

Neka je graf

G

G, E

zadat sa:

G

a, b, c

} , E = { (

a, b

a, c

b, b

b, c

c, b

Ovaj graf (relaciju) grafiˇ

cki predstavljamo na slede´

ci naˇ

cin:

a

b

c

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Primer grafaPrimer grafaPrimer grafa

umesto ”digraf” kaˇ Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

zemo i samo ”graf”.

Neka je graf

G

G, E

zadat sa:

G

a, b, c

} , E = { (

a, b

a, c

b, b

b, c

c, b

Ovaj graf (relaciju) grafiˇ

cki predstavljamo na slede´

ci naˇ

cin:

a

b

c

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Primer grafaPrimer grafaPrimer grafa

umesto ”digraf” kaˇ Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

zemo i samo ”graf”.

Neka je graf

G

G, E

zadat sa:

G

a, b, c

} , E = { (

a, b

a, c

b, b

b, c

c, b

Ovaj graf (relaciju) grafiˇ

cki predstavljamo na slede´

ci naˇ

cin:

a

b

c

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Relacije - I deo

Još jedan primer grafaJoš jedan primer grafaJoš jedan primer grafa

Neka je graf

G, E

grafiˇ

cki prikazan sa a

b

c

Tada je

G

a, b, c

i

E

a, b

a, c

b, b

c, a

c, c

Napomenimo da granu oblika

a, a

zovemo

petlja

Matemati ˇ

cka logika

- 14 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 14 –

Relacije - I deo

Matemati ˇ

cka logika

- 14 –

Relacije - I deo