Preuzmite Matematički softver Programski paket Mathematica i više Beleške u PDF od Osnove informaciono komunikacionih tehnologija samo na Docsity!
Matematički softver
Programski paket Mathematica
Postoje dve klase softverskih paketa za rešavanje matematičkih problema: programi zasnovani na simboličkom rešavanju i programi zasnovani na numeričkom rešavanju problema. Tipičan predstavnik prve klase programa je Mathematica , a druge MATLAB. Program Mathematica namenjen je rešavanju ozbiljnih matematičkih problema, Program je namenjen rešavanju kako jednostavnih tako i ozbiljnih matematičkih problema. Pomoću nje može da se izračuna komplikovani integral, rastavi polinom četvrtog stepena na činioce ili nacrta grafik složene funkcije. Tvorac ovoga programa Stiven Volfram rođen je u Londonu 1959, doktorirao je teorijsku fiziku na čuvenom Caltechu. Osnovni Volframov koncept zasnovan je na razvoju programskog jezika prilagođenog za manipulisanje matematičkim objektima svih mogućih vrsta. Objekti mogu biti brojevi, funkcije, jednačine, nizovi, grafički i zvučni objekti i još mnogo toga. Informaciju obrađuje najvažniji, centralni deo programa, jezgro ( kernel ), tako što dejstvuje kao izvršilac komandi koje dobija neposredno od korisnika ili iz već napisanog programa. Jezgro komunicira sa korisnikom preko posrednika ( front end ), a on zavisi od operativnog sistema računara. Isto jezgro može raditi i na DOS i na MS Windows, MacOS, XWin, Unix ili Linux platformama. Posrednik prevodi i prosleđuje jezgru neposredne korisnikove komande ili napisani program, i prikazuje odgovore jezgra: crta grafičke objekte, ispisuje rezultate u obliku prihvatljivom za korisnika, komunicira sa štampačem ili zvučnom karticom. Veza između jezgra i posrednika ostvaruje se pomoću programa MathLink, a pored ovog neposrednog zadatka, omogućuje i pisanje drugih aplikacija sposobnih za komunikaciju s Matematikinim jezgrom U jezgro Mathematica -e ugrađeni su mnogi osnovni algoritmi, postupci i funkcije ( built-in functions ). Sve ostale potrebne funkcije pisane su kao spoljašni programi ( add-on packages ). Standardni dodatni paketi isporučuju se uz Matematiku i obuhvataju mnoge matematičke teme: algebru, matematičku analizu, diskretnu matematiku, geometriju, grafiku, linearnu algebru, teoriju brojevu, numeričku matematiku, statistiku i druge. Biblioteka programa pisanih za Mathematic a-u sve je veća i praktično nema oblasti matematike i njenih primena za koju ne postoji razvijen programski paket. Rad s Matematikom odvija se u interaktivnim sesijama. One su organizovene u radni proctor koji se sastoji od niza ćelija ( cells ). Podaci razmenjeni između korisnika i jezgra čuvaju se u sveskama. Sveska ( notebook ) jeste ASCII datoteka sastavljena od ćelija koje mogu biti različitog tipa: ulazne, izlazne, izvršne, s tekstom, grafikom, zvukom i dr. Mathematica tretira sveske i ćelije unutar njih kao vrste objekata. Matematika ima odlične mogućnosti za izvoz podataka i njihovu konverziju. Formule u sveskama se mogu ispisivati na razne načine i pretvarati u TeX, HTML ili MatML dokumente. Grafički objekti se primarno čuvaju u specijalno skraćenom PostScript obliku, a mogu se izvoziti u raznim grafičkim formatima, kako vektorskim (MetaFile) tako i tačkastim (BitMap).
Simbolički i numerički proračuni
Osnovni koncept Matematike je simbolički račun sa objektima. Njene mnoge funkcije obuhvataju transformisanje i uprošćavanje algebarskih izraza, faktorizaciju celih brojeva i polinoma, diferenciranje i integraciju eksplicitno zadatih funkcija u simboličkom obliku, tačno rešavanje algebarskih i diferencijalnih jednačina. Možete da izračunavate granične vrednosti nizova i sume redova. U jezgro su ugrađene sve poznate specijalne funkcije: eliptičke, gama, beta, Matjeove, Vajerštrasove. Matematika računa i s velikim celim brojevima, tretirajući ih kao nizove. Ona izvodi numeričke proračune sa ogromnom tačnošću. U Matematiku su ugrađeni svi poznati numerički algoritmi za približno rešavanje algebarskih, transcendentnih i diferencijalnih jednačina.
Grafika
Grafičke mogućnosti programa su impozantne. Crtanje grafika funkcija jedne promenljive u ravni i funkcija dveju promenljivih u prostoru samo je mali deo tih mogućnosti. Grafički objekti se mogu sastavljati, tako da je moguće prikazivanje parametrizovanih površi deo po deo. Moguće se i animacije grafičkih objekata. Matematika svoje grafike interno čuva u obliku elementarnih objekata - linija i poligona, a probleme biranja projekcije, vidljivosti i senčenja rešava prilikom crtanja (rendering), preko funkcija Show odnosno Display.
Novine u odnosu na prethodne verzije
Matematika nije mnogo menjala način komunikacije s korisnikom. Suštinski je menjano njeno jezgro, odnosno algoritmi koji se u jezgru koriste za rešavanje matematičkih problema. U svakoj novoj verziji primetno je ubrzanje rada jezgra u najrazličitijim situacijama. Pored pomenutog programa MathLink, verzija 4.1 sadrži i J/Link, program koji omogućuje vezu između Matematike i aplikacija pisanih u Javi Na strani www.wolfram.com/ guide/demo naći ćete prikaz široke lepeze mogućnosti programa, a na stranama .../engineering, .../finance, .../statistics, .../highered (visoko obrazovanje), .../precollege (srednja škola), .../biomed (biomedicinske nauke) - specijalizovane informacije za korisnike iz navedenih disciplina.
Save, Save As, Save As Special, Open Special, Import, Send To, Send Selection, Pallets, Notebooks, Printing Settings, Print, Exit. Kao nestandardne, javljaju se opcije za palete, čijim aktiviranjem otvaramo novu paletu koja omogućava lakši unos matematičkih operacija i izraza. Aktiviranjem palete Notebooks
- Meni Edit omogućava izmene sadržaja dokumenta. Osim standardnih opcija Undo, cut, Copy, Paste, Clear, CopyAs, Salect All, Insert Object, tu su i nestandardne opcije Motion, Expression Input i Preferences.
- Meni Cell omogućava trad sa ćelijama dokumenta i njihovo organizovanje na različite načine, odnosno omogućava organizaciju izgleda sveske (notebook) preme želji korisnika. Cell:Convert To, Display As, Default Input Format Type, Default Output Format Type, Cell Properties, Cell Grouping, Divide Cells, Merge cells.
- Meni Format pruža mogućnost za izvođenje različitih manipulacija sa tekstom i greficima. Format: Style, Font, Size, Color, Show ToolBar, Magnification
- Meni Input omogućava različitu prezemtaciju ulaznih i izlaznih podataka. Input: Get Graphics Coordinates, 3D View Point Selector, Color Selector, Record Sound, Get File Path, Create Table
- Meni Kernel omogućava upravljanje jezgrom Mathematice. Kernel: Evaluation, Interrupt, Abort Evaluation, Start Kernel, Quit Kernel, Default Kernel, Kernel Configuration.
- Meni Find služi za pretraživanje dokumenta. Find:Find, Enter Selection, Find Next, Find Previous, Find in Cell Tags, Replaces, Replace All, Make Index
- Meni Windows omogućava da se podesi raspored prozora koji prikazuju otvorene dokumente. Window:Stack Windows, Tile Windows,Wide, Tile Windows Tall, Messages
- Meni Help pruža korisniku pomoć i informacije o mogućnostima paketa Mathematica.
Na sledećim slikama prikazane su neke grafičke mogućnosti programa Mathematica.
Left: Mathematica 2-D plot of empirical failure CDF for ball-bearing data, versus fitted Weibull distribution
Right: Mathematica 3-D plot of
Palete
Palete (Pallets) predstavljaju jednostavan način pristupanja sadržajima koje Mathematica nudi i korišćenja njenih mogućnosti. U meniju File>Pallets dostupne su sledeće palete:
- Basic Input -paleta matematičkih pojmova, koje Mathematica otvara prilikom startovanja
- Basic Calculations -paleta osnovnih matematičkih operacija
- Algebraic Manipulation -paleta koja omogućava rad sa delovima algebarskih izraza
- Basic Typesetting -paleta uobičajenih objekata i operacija potrebnih pri kucanju matematičkih formula.
- Notebooc Launcher- kreiranje novih programa u različitim stilovima
- Complete Characters- paleta specijalnih znakova
- International Characters- paleta internacionalnih znakova
Simboli u paketu Mathematica
Simboli u paketu Mathematica su:
- mala i velika slova engleskog alfabeta (A,a,B,b,....)
- brojevi
- interpukcijski i specijalni znaci (,.;$+?) Postoji razlika u ulozi malih i velikih slova. Velikim slovom počinju unapred definisane funkcije i naredbe, a promenljive malim. Mathematica omogućava rad sa brojnim podacima svih tipova: Integer (celi) , koji se zapisuju u standardnom matematičkom obliku sa znakom ispred broja.Ukoliko želimo zapis dekadnog broja n u bazi sa osnovom b, to postižemo naredbom Base form [ n , b ]. Primer 1 Base form [37,2] daje 100101 Prevođenje yapisa broja iz baze sa osnovom b u bazu sa osnovom c vrši se naredbom Base Form[ b ^^broj, c ] Racionalni (Rational) brojevi se zapisuju u obliku brojilac/imenilac Realni (Real) bojevi se mogu zapisati u: a) fiksnom obliku: ±celi.decimale b) eksponencijalnom obliku: _±mantisabaza^eksponent_ Kompleksni (Complex) brojevi se zapisuju u obliku x + yI , gde je I imaginarna jedinica, a x i y realni brojevi. Približna vrednost broja se dobija primenom funkcije N [ broj, broj cifara ] ili broj // N. Primer 37/12//
Matematičke konstante imaju svoja imena> Imaginarna jedinica I Broj e E N[E,8] = 2. Broj π Pi N[Pi,6] = 3. Stepen (π/180) Degree N[Degree,5] = 0.
Funkcije u paketu Mathematica
Sve funkcije u Mathematici se pišu u obliku : Funkcija [ argument ].
Najvažnije matematičke funkcije su Sin [ x ] , Cos [ x ] , Tan [ x ] , ArcSin [ x ] , Arccos [ x ] , ArcTan [ x ] , Exp [ x ] , Log [ x ] , Log [ x,b ] Sqrt [ x ] , Abs [ x ] , n! Round[ x ] –ceo deo od x, tj. [ x ] Mod[ n,m ] – ostatak pri deljenju n sa m Re [ z ], Im [ z ], Arg [ z ].
Definisanje nove funkcije vrši se naredbom : funkcija [ x_ ] := izraz čime se fnkciji doeljuje promenljiva vrednost koja zavisi od vrednosti x. Funkcija više promenljivih se definiše izrazom funkcija [ x,y_,z__ ] := izraz
Funkcija koja pamti izračunate vrednosti funkcija [ x_ ] : = f [ x ] = izraz se koristi kada su nam više puta potrebne već izračunate vrednosti funkcija (kao kod rekurzija). Kako je definisana funkcija f može se proveriti naredbom? f ili Definition [ f ] , a brisanje se postiže naredbom f =. ili Clear [ f ]
Simboličko izračunavanje u paketu Mathematica
Mathematica može računati vrednosti funkcije kada je argument neka promenljiva ili opšti izraz. Primer 1 f[x_]=x^ x^ f[3] 9 f[1+I] 2 Ç f[1+a] H 1 + aL^2 Ovo se takođe može postići lokalnom zamenom x^2/.x→1+a H 1 + aL^2
Primer 2 Expand[(ab - cd)^2 + (ad + bc)^2]** a^2 b^2 + b^2 c^2 + a^2 d^2 + c^2 d^2
Naredba Simplify [ izraz ] ili Izraz// Simplify dovodi do uprošćavanja izraza. Primer Simplify[Sin[x]^2 + Cos[x]^2] 1
Operatori nad izrazima
Za funkcije možemo računati Graničnu vrednost Limit [ izraz, x→a, Direction→ 1] Gde je a tačka, Direction (strana) : Direction → 1 (od 0 ka 1, sa leva na desno) leva granična vrednost, Direction → -1 (od 0 ka -1, sa desna na levo) desna granična vrednost Primer:
Razvoj funkcije u red u okolini neke tačke sa najviše n članova sa ostatkom: Series[ izraz, { x,a,n }] Razvoj bez ostatka Normal [ red ]
Diferenciranje Simboličko diferenciranje daje novu funkciju koja može biti prvi ili viši izvod funkcije jedne promenljive, parcijalni izvod funkcije više promenljivih, ili totalni diferencijal. Parcijalni izvod funkcije f po x : D[ f,x ] Izvod n-tog reda funkcije f po x : D[ f, { x,n }]
Integracija Neodređeni integral se izračunava naredbom Integrate [ f,x ]. Određeni integral funkcije f u granicama ( a,b ) : Integrate [ f, { xmin,xmax }]. U Mathematici se mogu izračunavati i višestruki integrali.
Primer:
In[2]:= Integrate[Sin[x]/(E^(0.43x)x), {x, 0, Infinity}]**
Out[2]= 1.
Ili korišćenjem paleta koristeći zapis u tradicionalnoj formi
Za nerešive integrale Mathematica ukazuje na specijalne funkcije preko kojih se integral može izraziti.Takođe, za nesvojstvene integrale postoji upozorenje da funkcija nije definisana u nekim tačkama.
Crtanje grafika funkcije Grafik funkcije jedne promenljive se može nacrtati primenom naredbe Plot[ f, { x , xmin, xmax }].
Grafik funkcije dveju promenljivih crta se naredbom Plot3D[ f, { x, xmin, xmax },{ y, ymin, ymax }].
Primer
-10 -5 5 10
5
10
15
20
Rešavanje sistema jednačina Mogu se rešavati kako jednostavni, tako I komplikovani sistemi jednačina korišćenjem različitih metoda. Najjednostavniji sistemi rešavaju se naredbom Solve Solve[{-x+3 y-2 z==-8,x-4 y+z==12,-5 x+4 y-3 z==-14},{x,y,z}] {{x→1,y→-3,z→-1}}
Rešavanje diferencijanih jednačina
In[10]:= DSolve[f''[x] == a f'[x] + f[x], f[x], x]
Out[10]=
Matrice
Matrice se u Matematici reprezentuju kao lista lista
In[7]:= {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}
Out[7]= {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}
Da bi se matrica prikazala u standardnom obliku koristi se operator MatrixForm :
In[8]:= %7 // MatrixForm
Out[8]//MatrixForm=
Operator // ima značenje da "primeni operator koji sledi na predhodni izraz. U ovom slučaju, to je ekvivalentno opciji
MatrixForm[%7].
Mathematica omogućava sva standardna vektorska I matrična izračunavanja.
In[9]:= Eigenvalues[%7]
Out[9]=
mx=Table[a x^b,{a,3},{b,5}]
88 x, x^2 , x^3 , x^4 , x^5 <, 8 2 x, 2 x^2 , 2 x^3 , 2 x^4 , 2 x^5 <, 8 3 x, 3 x^2 , 3 x^3 , 3 x^4 , 3 x^5 <<
Grafika :
U Mathematici možemo da vizuelno predstavimo dobijene rezultate Na primer, rešavali smo diferencijalnu jednačinu
In[10]:= DSolve[f''[x] == a f'[x] + f[x], f[x], x]
Out[10]=
A sada želimo da vizuelno predstavimo dobijeno rešenje. To se može uraditi naredbom:
In[11]:= Plot[Evaluate[f[x] //. Join[Flatten[%10], {a -> 1, C[1] -> 1, C[2] -> 0}]], {x, -5, 5}]
Out[11]=> - Graphics -
Join[Flatten... uzima onu soluciju kojoj odgovaraju vrednosti konstanti ; f[x] is then evaluated and plotted for the range (-5, 5).
Veliki broj opcija je je omogućen naredbom Plot, uključujući specifikaciju osa, graduisanje, legendu, tekstualne karakteristike, boje grafa I pozadine I mnoge druge.
Primer:
Mogu se na istom grafiku prikazati tri različite sinusne funkcije na intervalu od 0 do 2 Pi.
In[12]:= pp = Plot[Evaluate[{Sin[x], Sin[2x], Sin[3x]}], {x, 0, 2 Pi}];
Sledeći primer prikazuje funkciju dve promenljive, koristeći mali broj tačaka, za brže iscrtavanje:
In[16]:= Plot3D[Cos[x Sqrt[y]], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}, PlotPoints -> 10];
Nakon provere da crtež ima željeni izgled, on može biti prikazan sa više tačaka kao I boljim dizajnom:
In[17]:= Plot3D[Cos[x Sqrt[y]], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}, PlotPoints -> 100, Mesh -> False, FaceGrids -> {{-1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, -1}}];
Svi grafici rađeni u matematici mogu biti eksportovani kao bitmaps (BMP), graphics metafiles (EMF or WMF), ili encapsulated PostScript (EPS).
