Preuzmite Matematika-adicione-formule i više Vežbe u PDF od Matematika samo na Docsity!
ADICIONE FORMULE
Zbir uglova
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tg tg tg tg tg
ctg ctg ctg ctg ctg
Razlika uglova
β α
α β α β
α β
α β α β
α β α β α β
α β α β α β
ctg ctg
ctg ctg ctg
tg tg
tg tg tg
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
Primećujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni
znaci!
Naravno, učenicima je uvek problem da zapamte formule a “bezobrazni’’ profesori im ne
daju da ih koriste iz knjige. Naš je savet da probate da sebi stvorite “asocijaciju’’ koja će
vam pomoći da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju
“asocijaciju’’:
Zapamtite dve male “pesmice’’ koje odgovaraju na dve početne formule:
sin( α + β)=sin αcos β+cos αsin β ∧ cos( α +β)=cosαcosβ−sinαsin β
“sin - ko više ko-si “ “kosi-kosi manje sine-sine”
Uvek prvo pišite ugao α pa β
Za tg ( α + β)znamo da je:
α β α β
α β α β
α β
α β α β cos cos sin sin
sin cos cos sin
cos( )
sin( ) ( )
tg + = (sad gde vidite sinus zamenite
ga sa tangens a kosinus sa jedinicom) α β
α β
α β
α β
tg tg
tg tg
tg tg
tg tg
Za
cos( ) cos cos sin sin ( ) sin( ) sin cos cos sin
ctg
α β α β α β α β α β α β α β
(zamenite sinus sa 1, a kosinus
sa kotanges) β α
α β
β α
α β
ctg tg
ctg ctg
ctg ctg
ctg ctg
Znači zapamtili smo “sinko više kosi’’ i “kosi kosi manje sine sine’’ i izveli smo formule
za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!
1) Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od
a) 15
0 b) 75
0 i v) 105
0
a)
= racionališemo sa
2 2
2
Naravno
o tg 15 smo mogli izračunati i lakše o
o o tg cos 15
sin 15 15 = …
o
o
tg
ctg
sin15 sin(45 30 )
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30
cos15 cos(45 30 )
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
o o o
o o o o
o o o
o o o o
o o o o o o o
tg tg tg tg tg tg
a) Proveri jednakost 2
sin 20 cos 10 + cos 20 sin 10 =
o o o o
o o o o
sin 20 cos 10 cos 20 sin 10 (ovo je: sin α cos β+ cos αsin β=sin( α+ β))
= sin( 20 + 10 )=sin 30 =
o o o
b) 2
cos 47 cos 17 + sin 47 sin 17 =
o o o o
o o o o
cos 47 cos 17 sin 47 sin 17 (ovo je: cos α cos β+ sin αsin β=cos( α− β))
= cos( 47 − 17 )=cos 30 =
o o o
3) Izračunati sin( α + β), ako je
,cos 5
sin α =+ β=− i
sin( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅sinβ
Znači “fale’’ namcos αisin β. Njih ćemo naći iz osnovne indentičnosti:
sin
sin
sin
sin
sin 1
sin 1 cos
sin cos 1
2
2
2 2
2 2
2 2
ovde su sinusi negativni
Dal da uzmemo + ili – to nam
govori lokacija ugla ( «čitamo» ih na y-osi)
Ovde su kosinusi negativni!(«čitamo» ih na x-osi) Znači da je
cos 5
α = −
cos
cos
cos
cos
cos 1
cos 1
cos 1 sin
sin cos 1
2
2
2
2 2
2 2
2 2
α
α
α
α
α
α
α α
α α
sin 13
Vratimo se da izračunamo sin(α + β)
sin (^) =− + =
α+ β = ⋅ −
4) Izračunati (^)
π
tg za koje je 13
sin α = i (^)
∈ π
π α , 2
α
α
α
π
α
π
α
π
tg
tg
tg tg
tg tg
tg −
Pošto je α
α α cos
sin
tg = , znači moramo naćicos α
Vratimo se u zadatak:
Da li uzeti + ili –? (^)
∈ π
π α , 2
Ovde su kosinusi negativni! («čitamo» ih na x-osi)
Dakle :
cos
cos
cos
cos
cos 1
cos 1 13
sin cos 1
2
2
2
2
2
2 2
cos 13
α
α
tg
tg
tg
tg
π α
π α
+^ =
+^ =^ = −
7) Dokazati identitet:
sin( )
cos( ) 1
tg tg
tg tg
α β α β
α β α β
Rešenje:
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
α β α β α β
α β α β α β
(sada ćemo izvući:cos α cos β i gore i dole)
cos α cosβ
sin sin
cos cos
cos cos
sin sin 1 1 cos cos
tg tg
tg tg
+^ ⋅
8) Ako je
2
tg α = tg β i , 0, ,
dokazati da je 4
Rešenje:
Sredimo prvo izraze tg α i tg β
tg α = (izvršimo racionalizaciju)
2
2 2
tg
tg
tg
tg
Dalje koristimo formulicu: ( ) 1
tg tg tg tg tg
( ) 2 je zajednički i gore i dole= (^1 ) 1 3 2 2 2
tg tg tg tg tg
Dakle tg ( α− β)= 1 , to nam govori da je
o
α − β= 45 ili
o
α − β= 225. Pošto u zadatku
kaže da je (^)
α β zaključujemo
o
α − β= 45 tj.
α − β= što je i trebalo
dokazati!
