Simpleks metoda prošireno, Skripte od Algoritmi i programiranje

Preuzmite Simpleks metoda prošireno i više Skripte u PDF od Algoritmi i programiranje samo na Docsity!

Simpleks metoda za rješavanje modela linearnog

programiranjap^ g^

j

(14.03.2012., 21.03.2012.)Dr. sc. Tunjo Peri

SADRŽAJ

ƒ^ Osnovni principi simpleks metode ƒ^ Rješavanje op

ćeg problema LP za maksimum pomo

ću

j^ j^

p^ g p^

p

simpleks tablice ƒ Rješavanje op

ćeg problema LP za minimum pomo

ću simpleks

t blitablice

ƒ^ Da bismo odredili po

četno bazič

no dopustivo rješenje

ƒ^ Da^ bismo odredili po

četno bazič

no dopustivo rješenje

potrebno je najprije op

ći model LP svesti na kanonski oblik (sva ograni

čenja moraju biti oblika jednakosti (=)). ƒ^ Svođenje

općeg/standardnog oblika

linearnog modela na

kanonski oblik

ovisi o obliku ograni

čenja i vrsti linearnog

problemaproblema. ƒ Lijevoj strani ograni

čenja oblika manje ili jednako (

dodaju se tzv.

dopunske varijable

s koeficijentom 0 uz tu

varijablu u funkciji cilja, kako za problem maksimuma tako iza problem minimuma. ƒ Lijevoj strani ograni

čenja oblika jednakosti (

=) dodaje se tzv

Lijevoj strani ograni

čenja oblika jednakosti ( ) dodaje se tzv. artificijelna (umjetna) varijabla s koeficijentom

–M uz tu

varijablu u funkciji cilja za problem maksimuma, odnosno Mbl^

i i^ “M” j

i^ it^

liki b^ j

za problem minimuma. “M” je izrazito veliki broj.

ƒ^ Lijevoj strani ograni

čenja oblika ve

će ili jednako (

) dodaje se≥

dopunska varijabla s predznakom minus

(-), s koeficijentom 0 u

funkciji kriterija te artificijelna varijabla s koeficijentom –M zaproblem maksimuma odnosno M za problem minimuma. ƒ Tablično prikazano svo

đenje općeg na kanonski oblik problema LP izgleda ovako:^ Oblik

Dopunske^ i^

Koeficijenti^ u^ funkciji

cilja

ogranumjetneičenja^ varijable

max

min DOP^ ART

DOP^

ART

<=^ + DOP

0

0

<^ +^ DOP

0

0

=^ +^ ART

‐M^

M

=^ ‐^ DOP+ART

0

‐M^0

M

ƒ^ Artificijelne (umjetne) varijable (ART) uvode se samo kao ra

čunsko

sredstvo u simpleks algoritmu s ciljem osiguranja dopustivogb^ ič^ j š

j bazičnog rješenja.

ƒ^ Nebazič

ne su varijable

one koje u programu imaju vrijednost

ƒ^ Nebazič

ne^ su varijable

one^ koje u programu imaju vrijednost

nula. ƒ Bazične varijable

predstavljaju tzv. bazu, imaju vrijednosti veće od nule i ima ih onoliko koliko ima ograni

čenja.

ƒ^ Dopustivo bazi

čno rješenje ima sljede

će osobine :

ƒ^ Sadrži s e po iti ne

rijednosti^

arijabli^ i^

k d d^

ij

ƒ^ Sadrži^ sve pozitivne vrijednosti varijabli

osim kod degeneracije,

ƒ^ Svaka varijabla iz baze može se pojaviti samo u jednom ograni

čenju sa

strukturnim koeficijentom 1, tj.

strukturni koeficijenti u ograničenjima uz bazi

čne varijable

čine jediničnu matricu ograničenjima uz bazi

čne varijable

čine jediničnu matricu,

ƒ^ Vrijednosti varijabli koje

čine dopustivo po

četno bazično rješenje

jednake su slobodnim koeficijentima u ograni

čenjima,^ a to su: (1)

dopunske varijable uvedene u ograni

čenja oblika nejednadžbi

i (2)≤

dopunske varijable uvedene u ograni

čenja oblika nejednadžbi

i (2)

artificijelne varijable uvedene u ograni

čenja oblika jednadžbi i

nejednadžbi^

.

ƒ^ Svaka iteracija sastoji se iz tri koraka

Svaka^ iteracija sastoji se iz tri koraka

ƒ^ Korak 1. Utvr

đivanje je li dobiveno rješenje optimalno i ako nije određuje se varijabla koja treba u

ći u bazu (bazi

čno rješenje): (1) ako se

radi o linearnom modelu za maksimum logi

čno je (ali ne i neophodno)

radi o linearnom modelu za maksimum logi

čno je (ali ne i neophodno)

uvesti u bazu varijablu koja najviše pove

ćava funkciju cilja, (2) ako se

radi o linearnom modelu za minimum logi

čno je uvesti u bazi

čno

rješenje varijablu koja najviše smanjuje funkciju cilja.j^ j^ j^

j^ j^

j j^ j^

j

ƒ^ Korak 2. Odre

đivanje varijable koja napušta bazu. ƒ^ Korak 3. Transformacija strukturnih koeficijenata i koeficijenata ufunkciji cilja nakon

čega se vraćamo na korak 1 funkciji cilja nakon

čega se vraćamo na korak 1. ƒ^ Simpleks metoda se može provoditi:^ ƒ^ Rješavanjem sustava ograni

čavajućih jednadžbi, ƒ^ Tablično, ƒ^ Matrično i sl.

(0, 9) x^23 x + 2 x = 18^1

(4 6) Z (2, 6)=36 (2 6) Z (0, 6)=^

(4, 6) (2, 6) (0, 6)^

2 x = 12^2^1 3 5 max^2 z^ x^

x = + →

( ,^ )

x =4^1

(^1 2) p.o.^4 x ≤ 1 (4, 3) Skup dopustivihrješenja^

2 12^ x^ ≤^23 2 18 x x + ≤ 1 2 Z (4, 3)=

0,^1

x^ x ≥^ ≥^ x^1 (4, 0)^

(6, 0)

(0, 0)

x = 0^2 Z (4, 0)=

Z (0, 0)=

U ovom primjeru svaka kutna to

čka (corner-point solution) leži na

presjeku dviju granica (me

đa) ogranič

enja.

p^ j^

j^ g^ (

)^ g^

j

Za bilo koji problem LP s

n^ varijabli odlu

čivanja dvije susjedne

kutne dopustive to

čke su susjedne jedna drugoj ako dijele

n -

granica ograni

čenja Dvije susjedne kutne dopustive to

čke povezane

granica^ ograni

čenja. Dvije susjedne kutne dopustive to

čke povezane

su dužinom koja leži na tim istim podijeljenim granicamaograničenja. Takva dužina predstavlja rub dopustivog podru

čja.

B d^ ći d^ j^ š^

i^ j^

2 d ij^ k t

d^ ti^

t^ čk

Budući da je u našem primjeru

n^ = 2 , dvije kutne dopustive to

čke su

susjedne ako dijele jednu granicu ograni

čenja. Npr.

(0, 0)^ i^ (0, 6)

su

susjedne pošto dijele granicu ograni

čenja^ x = 0^1

. Dopustivo podru

čje 1

na prethodnoj slici ima 5 rubova, koji sadrže 5 dužina koje formirajugranicu podru

čja dopustivih rješenja. Svaka mogu

ća kutna to

čka

sadrži dvije susjedne kutne mogu

će točke

sadrži dvije susjedne kutne mogu

će točke.

Test optimalnosti

. Razmotrimo bilo koji problem LP koji ima najmanje jedno optimalno rješenje.

Ako kutna mogu

ća točka nema

j d^

ć^ k t^ t

čk^ k j^

j^ b lj^ (^

j^

susjednu mogu

ću kutnu to

čku koja je bolja (mjereno prema

z ),

onda ona mora biti optimalno rješenje.

Iteracija 2: kretati se prema boljoj susjednoj kutnoj mogu

ćoj točki

(2, 6)^ primjenom sljede

ća 3 koraka:

1.^ Razmatraju

ći dva ruba dopustivog podru

čja koja proizlaze iz (0,

6. odabrati kretanje duž ruba na desno, jer se time pove

ćava

vrijednost za z.vrijednost za z.2. Zaustaviti se na prvoj novoj granici ograni

čenja:^^3 x + 2^1

x = 18.^2

3.^ Riješiti presjek novog skupa granica ograni

čenja:^ (2, 6),

a to se

dobi a rješa anjem s sta a

^3 x^ + 2 x^

18 i 2 x^^12

dobiva rješavanjem sustava

^3 x + 2 x = 18 i 2^1

x = 12.^2

Test optimalnosti: Budu

ći da ne postoji susjedna kutna dopustiva točka koja daje ve

ću vrijednost za

z , zaključujemo da je

optimalno rješenje. Time je proces rješavanja završen.

Osnovni koncepti simpleks metodeOsnovni^ koncepti simpleks metode Koncept rješavanja

1: Simpleks metoda se fokusira samo na kutna dopustiva rješenja Za svaki problem s najmanje jednimkutna dopustiva rješenja. Za svaki problem s najmanje jednimoptimalnim rješenjem, nalaženje optimalnog rješenja zahtijevasamo nalaženje najboljeg kutnog dopustivog rješenja.

ƒ^ Koncept rješavanja 2

: Simpleks metoda je iterativni algoritam koji se sastoji od odre

đivanja poč

etnog dopustivnog kutnog rješenja, j^

j^ p^ g

p^

g^ g j

j ,

provođenja testa optimalnosti u smislu je li postignuto optimalnorješenje te provo

đenja iteracija za nalaženje boljeg kutnog dopustivog rješenjadopustivog rješenja. ƒ Koncept rješavanja 3

. Kad god je mogu

će, simpleks metoda bira

koordinatni po

četak kao po

četno dopustivo kutno rješenje (sve varijable odlu

čivanja su jednake nuli). Odabir koordinatnog početka kao po

četnog dopustivog kutnog rješenja mogu

će je kad

sve varijable odlu

čivanja imaju ograni

čenje nenegativnosti pošto

sve varijable odlu

čivanja imaju ograni

čenje nenegativnosti, pošto

presjek tih ograni

čenja daje koordinatni po

četak kao kutno

rješenje. Ako to rješenje nije mogu

će, potrebna je specijalna d^ l ž

j^ č^ t^

d^ ti^

k t^ j š

j

procedura za nalaženje po

četnog dopustivog kutnog rješenja. ƒ^ Koncept rješavanja 4

: Svaki put kad simpleks metoda radi jednu iteraciju kre

ćući se od jednog dopustivog kutnog rješenja premaj j

g^ p^

g^ g j

j^ p

boljem, ona uvijek bira kutno dopustivo rješenje koje je susjednotom rješenju. Ostala kutna dopustiva rješenja se ne razmatraju.

Osobine bazi

čnog rješenja

ƒ^ Rješavanje problema LP s više od dvije varijable zahtijevaprimjenu linearne algebre u procesu pronalaženja optimalnogrješenja, ako ono postoji. ƒ^ Da bismo algebarski mogli rješavati probleme LP potrebno jenajprije sustav nejednakosti u ograni

čenjima pretvoriti u sustav

najprije sustav nejednakosti u ograni

čenjima pretvoriti u sustav

jednakosti (ograni

čenje nenegativnosti varijabli odlu

čivanja se ne

mijenja). Kažemo da model iz standardnog ili op

ćeg oblika

di^ k^

ki^ blik prevodimo u kanonski oblik. ƒ Postupak rješavanja zahtijeva pronalaženje po

četnog bazi

čnog

dopustivog rješenja te kroz iterativni postupak u kona

čnom broju

dopustivog rješenja te kroz iterativni postupak u kona

čnom broju

koraka kretati se od jednog do drugog bazi

čnog dopustivog

rješenja (susjednog, koje daje bolju vrijednost funkciji

z ).

ƒ^ Postupak rješavanja slijedi geometrijski pristup, koji je prethodnoprikazan.

ƒ^ Svako bazi

čno rješenje ima sljede

će osobine

1 Svaka varijabla je ozna

čena kao bazi

čna ili nebazi

čna varijabla

1.^ Svaka varijabla je ozna

čena kao bazi

čna ili nebazi

čna varijabla.

2.^ Broj bazi

čnih varijabli jednak je broju funkcionalnih ograni

čenja

(sada jednadžbi). Prema tome, broj nebazi

čnih varijabli jednak je

ukupnom broju varijabli minus broj funkcionalnih ograni

čenja.

3.^ Skup nebazi

čnih varijali je jednak nuli. 4 V ij d^

ti b^ ič^ ih^

ij bli d bi^

k^ i^ lt^

j š^ j

4.^ Vrijednosti bazi

čnih varijabli dobivene su kao simultano rješenje sustava jednadžbi (funkcionalna ograni

čenja u kanonskom

obliku). Skup se bazi

čnih varijabli

često naziva

baza.

5.^ Ako bazi

čne varijable zadovoljavaju ograni

čenja nenegativnosti,

bazično rješenje je bazi

čno moguć

e rješenje.

6 D^ b^

ič^ j š^ j

j d

k^ k^

i^ j^ i t^

i

6.^ Dva bazi

čna rješenja su

susjedna^ ako ako imaju iste sve osim jedne nebazi

čne varijable. Ovo implicira da dva susjedna rješenja imaju iste sve bazi

čne varijable osim jedne, naravno s razli

čitim

numeričkim vrijednostima.

ƒ^ Kad se skup bazi

čnih varijabli mijenja, simpleks metoda koristi algebarsku proceduru (Gauss-ova eliminacija) za pretvaranjeg^

p^ (

j )^ p^

j

jednadžbi u pogodan oblik, tako da se uz svaku bazi

čnu varijablu

nalazi koeficijent 1, a ta se varijabla pojavljuje samo u jednojjednadžbi Koeficijenti uz bazi

čnu varijablu u ostalim jednadžbi. Koeficijenti uz bazi

čnu varijablu u ostalim jednadžbama jednaki su nuli. ƒ Test optimalnosti

: Ciljna funkcija je

z^ = 3 x + 5^1

x ,^ a ima^21

vrijednost^^0

za početno baz

čno moguć

e rješenje. Koeficijenti uz

nebazične varijable ukazuju na stopu poboljšanja

z. Stope

poboljšanja

z^ su pozitivne i iznose 3 i 5 Prema tome bazi

čno

poboljšanja

z^ su pozitivne i iznose 3 i 5. Prema tome, bazi

čno

rješenje^ (0, 0, 4, 12, 18)

nije optimalno i može se poboljšati. ƒ^ Određivanje pravca kretanja: Pove

ćanje jedne nebazi

čne varijable

(pri^ čemu se prilago

đavaju vrijednosti bazi

čnih varijabli kako bi i

dalje zadovoljavali sustav jednadžbi) odgovara kretanju duž jednogruba od stvarnog kutnog mogu

ćeg rješenja. Prema konceptima g^ g^

g^ g j^

j^

p

optimalnosti 4 i 5, odabir varijable koju

ćemo poboljšati vrši se na

taj način da se bira varijabla s najve

ćom stopom poboljšanja (

x ).^2

ƒ^ x nazivamo varijablom koja ulazi u bazu. Pove^2

ćanje te nebazi

čne

varijable pretvorit

će tu varijablu u bazi

čnu za novo bazi

čno

j^ p^

j moguće rješenje. ƒ Određivanje gdje stati. Pove

ćanje^ x pove^2

ćava^ z , pri^ čemu želimo

ići t lik^ d l k

k lik^ j^

ć^ b^

št^ j^ k^

d^ ti ih

ići toliko daleko koliko je mogu

će bez napuštanja skupa dopustivih rješenja. Zahtjev da se zadovolje funkcionalna ograni

čenja u

kanonskom obliku zna

či da poveć

anje^ x (dok je vrijednost^2

nebazične varijable

x = 0 ), mijenja vrijednosti nekih od bazi^1

čnih

varijabli kako je to niže prikazano:

0, tako da je x 1 4 4 x^

= x ≤ = 1

3 2 4

2 4 4 2 12 12

x^

x x x^

x x^ x^

x^

x ≤^ =^ ≤^ =

+^ ≤^

=^ −

1 2

5

2 3 2 18 1 2

x^ x^ 0,^0

x^

x +^ ≤ x x