Skripta iz statistike, Beleške od Ekonomska statistika

Preuzmite Skripta iz statistike i više Beleške u PDF od Ekonomska statistika samo na Docsity!

STATISTIKA

Doc.dr.sc.Draženka Čizmić

• predavanja 2009.g -

SADRŢAJ:

1. UVOD

 Statistiĉki skup................................................................................... 4

 Vrste i izvori statistiĉkih podataka.................................................... 4

2. UREĐIVANJE PODATAKA

 Statistiĉki nizovi i tabele ................................................................... 5

 Numeriĉki nizovi ................................................................................ 7

3. OSNOVNA ANALIZA VREMENSKIH NIZOVA

 Grafiĉko prikazivanje vremenskih nizova ........................................ 10

 Individualni indeksi ........................................................................... 10

4. SREDNJE VRIJEDNOSTI STATISTIĈKOG NIZA

 Mod.................................................................................................... 12

 Medijan.............................................................................................. 13

 Aritmetiĉka sredina........................................................................... 15

 Geometrijska sredina....................................................................... 17

 Skupni indeksi................................................................................... 18

5. MJERE DISPERZIJE

 Raspon varijacije, Interkvartil, Koeficijent kvartilne devijacije....... 19

 Srednje apsolutno odstupanje (MAD).............................................. 22

 Varijanca, Standardna devijacija, Koeficijent varijacije.................. 23

 Standardizirana varijabla.................................................................. 25

6. MJERE ASIMETRIJE

 Koeficijent asimetrije, Pearsonova mjera, Bowleyjeva mjera........ 26

7. MJERE ZAOBLJENOSTI

 Koeficijent zaobljenosti.................................................................... 29

8. MJERE KONCENTRACIJE

 Koncentracijski omjer, Ginijev koeficijent....................................... 31

9. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI

 Definicije i svojstva vjerojatnosti...................................................... 32

 Modeli distribucija vjerojatnosti....................................................... 34

10. OSNOVNI POJMOVI INFERENCIJALNE STATISTIKE

 Plan uzorka........................................................................................ 37

 Sampling distribucija........................................................................ 38

11. PROCJENE PARAMETRA

 Procjena aritmetiĉke sredine........................................................... 39

 Procjena totala osnovnog skupa...................................................... 42

 Procjena proporcije osnovnog skupa.............................................. 44

PREDAVANJE #

STATISTIKA – znanstvena metoda koja se bavi prikupljanjem, uređivanjem, analizom i tumaĉenjem

podataka.  DESKRIPTIVNA – u okviru deskriptivne statistike zakljuĉci se donose na temelju svih podataka. Ona obuhvaća postupke uređivanja, grupiranja, tabeliranja, grafiĉkog prikazivanja te izraĉunavanja razliĉitih statistiĉko-analitiĉkih veliĉina  INFERENCIJALNA – u sklopu inferencijalne statistike zakljuĉci se dodose na temelju dijela podataka (uzoraka). Temelji se na teoriji vjerojatnosti

STATISTIĈKI SKUP – ĉine jedinice koje su predmetom promatranja statistiĉkom metodom. Moţemo promatrati osobe, poduzeća, zemlje, proizvode itd. OPSEG SKUPA – broj jedinica. S obzirom na opseg statistiĉki skupovi se dijele na:  KONAĈNI STATISTIĈKI SKUP – studenti upisani na efzg  BESKONAĈNI STATISTIĈKI SKUP – bacanje novĉića ili proizvodnja Statistiĉki skupovi definiraju se pojmovno, prostorno i vremenski.

OSNOVNI SKUP (POPULACIJA) – skup podataka o promatranom svojstvu za svaku jedinicu statistiĉkog skupa. UZORAK – podskup, dio osnovnog skupa. Dio podataka izdvojen iz cjelovite evidencije.

STATISTIĈKO OBILJEŢJE (VARIJABLA) – svojstvo koje stupnjem ili oblikom varira od jedinice do jedinice statistiĉkog skupa.

VRSTE STATISTIĈKOG OBILJEŢJA:

1. NUMERIĈKO (KVANTITATIVNO) – izraţava se brojevima  DISKRETNO (diskontinuirano) – poprima iskljuĉivo cjelobrojne vrijednosti. npr. broj uĉenika u razredu, broj djece u obitelji  KONTINUIRANO – moţe poprimiti bilo koju vrijednost iz nekog intervala. npr. visina, teţina, cijena...
2. KVALITATIVNO  NOMINALNO (atributivno i geografsko) – izraţava se opisno ili rijeĉima. npr. atributivno – spol, zanimanje ; geografsko – mjesto rođenja  REDOSLIJEDNO (obiljeţje ranga) – npr. ocijena, stupanj kvalitete

MJERENJE – postupak pridruţivanja numeriĉkih i nenumeriĉkih oznaka jedinicama statistiĉkih skupova na temelju određenog pravila. Temelji se na primjeni mjerih skala. MJERNE SKALE:

1. NOMINALNA – sastoji se od liste naziva
2. ORDINALNA – ovom skalom jedinicama statistiĉkih skupova pridruţuju se slovne oznake, simboli ili brojevi sukladno intenzitetu mjernog svojstva
3. INTERVALNA - ovom skalom jedinicama statistiĉkih skupova pridruţuju se brojevi sukladno intenzitetu mjernog svojstva. Za ovu skalu karakteristiĉno je da ima definiranu mjernu jedinicu i dogovorno utvrđenu nulu. npr. temperaturna ljestvica.
4. OMJERNA - ovom skalom jedinicama statistiĉkih skupova pridruţuju se brojevi sukladno intenzitetu mjernog svojstva. Za ovu skalu karakteristiĉno je da ima definiranu mjernu jedinicu i nulu koja oznaĉava nepostojanje svojstva. npr. plaća, broj zastoja rada stroja.

IZVORI PODATAKA:

 PRIMARNI – prikupljaju se u skladu s ciljem istraţivanja.  SEKUNDARNI – prikupljaju ih razne institucije (drţavni zavod za statistiku, banke, agencije za istraţivanje trţišta, osiguravajući zavodi...)

PREDAVANJE # 2

UREĐIVANJE PODATAKA – uređivanjem podataka nastaju statistiĉki nizovi

STATISTIĈKI NIZOVI:

1. NOMINALNI NIZ – nastaje uređivanjem podataka o nominalnom obiljeţju
2. REDOSLIJEDNI NIZ – nastaje uređivanjem podataka o rang varijabli
3. NUMERIĈKI NIZ – nastaje uređenjem podataka koji predstavljaju vrijednosti numeriĉke varijable
4. VREMENSKI NIZ – nastaje kronološkim nizanjem podataka o nekoj pojavi (proizvodnja,uvoz,izvoz)

STATISTIĈKE TABELE:  JEDNOSTAVNA

 SKUPNA – sadrţi barem dva niza koji su grupirani prema modalitetima istog obiljeţja

 KOMBINIRANA (TABELA KONTIGENCE, TABELA S DVA ULAZA) – podaci su grupirani prema modalitetima dvaju ili više varijabli Stanovništvo prema spolu i starosti u tisućama u RH, popis iz 2001.g.

STAROST SPOL M Ţ 0 – 14 388 370 15 – 64 1482 1501 65 - 266 430 izvor: SLJRH, 2004.g., str.

Poljoprivredna površina po kategorijama u tisućama hektara u RH, 2003.g KATEGORIJE POVRŠINA oranice i vrtovi 1460 voćnjaci 68 vinogradi 57 livade 396 pašnjaci 1156 izvor: SLJRH, 2004.g., str.

Izvoz i uvoz prema preteţnoj ekonomskoj namjeni u milijunima am. $ u RH, 2003.g. EKONOMSKA NAMJENA IZVOZ UVOZ proizvodi za reprodukciju 2959 6583 proizvodi za investicije 1341 3316 proizvodi za široku potrošnju 1886 4311 izvor: SLJRH, 2004.g., str.

NUMERIĈKI NIZOVI – nastaju uređenjem numeriĉkih podataka. Naĉin njihova uređivanja ovisi o tome

da li su podaci diskretni ili kontinuirani. NAĈINI UREĐIVANJA:

1. mali broj podataka - uređuje se nizanjem po veliĉini. Pojedinaĉni numeriĉki podaci grafiĉki se prikazuju dijagramom s toĉkama i dijagramom stablo-list (S-L dijagram) Primjer 1. Podaci o prodaji proizvoda A za 15 dana jednog razdoblja: Xi: 8, 15, 9, 17, 20, 14, 34, 27, 30, 18, 10, 18, 24, 25, 29 Podaci uređeni po veliĉini: Xi: 8, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 18, 20, 24, 25, 27, 29, 30, 34

dijagram s točkama :

dijagram stablo-list:

0 8 9 1 0 4 5 7 8 8 2 0 4 5 7 9 3 0 4

O|8 predstavlja 8

2. diskretno obiljeţje - velik broj podataka i manji broj oblika – pristupa se grupiranju. Numeriĉki niz odnosno distribucija frekvencija se sastoji od parova (xi, fi), i=1,2,....,k xi – modaliteti numeriĉkog obiljeţja fi – pripadajuće frekvencije Primjer 2. Dnevna prodaja garnitura sobnog namještaja BROJ GARNITURA BROJ DANA xi fi 1 1 2 5 3 8 4 26 5 19 6 12 ukupno 71
3. kontinuirano obiljeţje/ diskretno obiljeţje s većim brojem oblika – grupiranje se provodi na temelju razreda. Svaki razred ima donju i gornju granicu. frekvencija razreda – broj podataka omeđen donjom i gornjom granicom razreda Numeriĉki niz odnosno distribucija frekvencija sastoji se od parova razreda i pripadajućih frekvencija  (Li1 ≤ xi ≤ Li2, fi), i= 1,2,....,k Li1 – donja granica i-tog razreda; Li2 – gornja granica i-tog razreda; fi – frekvencija i-tog razreda

Primjer 3. Radnici poduzeća A prema starosti STAROST BROJ RADNIKA 18 – 26 5 26 – 34 6 34 – 42 10 42 – 50 5 50 – 58 4 ukupno 30

Formiranju distribucije frekvencija prethodi određivanje broja razreda i njihove veliĉine. Za određivanje broja razreda koristi se Sturgesovo pravilo : k ≈ 1 + 3,3 logN k-broj razreda; N-zbroj frekvencija

Ako su razredi jednakih veliĉina, veliĉina im se aproksimira tako da se raspon varijacije podijeli sa

brojem razreda: k

x x ii max^ min

 

Razredi jednakih veličina primjenjuju se kada su podaci simetriĉno raspoređeni. Razredi različitih veličina primjenjuju se kada su podaci asimetriĉno raspoređeni.

Pri brojĉanoj analizi numeriĉkog niza potrebno je utvrditi da li su granice prave, a nakon toga odrediti veliĉinu razreda i rezredne sredine.

GRANICE RAZREDA:  PRAVE – donja granica tekućeg razreda je jednaka gornjoj granici prethodnog razreda  NOMINALNE – pretvaraju se u prave tako da se svaka donja granica umanji za polovicu jedinice, a svaka gornja se uveća za polovicu jedinice. To vrijedi za sve sluĉajeve osim za navršene godine ţivota. Kod navršenih godina ţivota svaka se gornja granica poveća za jedinicu.

VELIĈINA RAZREDA – određuje se kao razlika gornje i donje prave granice razreda REZREDNA SREDINA i-tog razreda – određuje se kao poluzbroj gornje i donje prave granice razreda

Distribucija frekvencija grafiĉki se prikazuje histogramom i poligonom frekvencija.

PREDAVANJE #

VREMENSKI NIZ – skup kronološki uređenih vrijednosti koje predstavljaju neku pojavu (proizvodnja,

uvoz, izvoz). ĈLANOVI NIZA – vrijednosti koje tvore niz

Vremenski niz noţe biti:  INTERVALNI – nastaje trajanjem vrijednosti pojave po intervalima vremena (godina, kvartal, mjesec) npr. proizvodnja, uvoz, izvoz...  TRENUTAĈNI – sastoji se od kronološki uređenih vrijednosti koje predstavljaju stanja pojave u odabranim vremenskim toĉkama (poĉetak, sredina, kraj) npr. stanje na raĉunima, zakljuĉne cijene dionica..

GRAFIĈKO PRIKAZIVANJE VREMENSKIH NIZOVA:

 INTERVALNI NIZOVI prikazuju se površinskim i linijskim grafikonima.  TRENUTNI NIZOVI prikazuju se samo linijskim grafikonima

Radi lakšeg praćenja u grafikon se ucrtava mreţa. Prikaz je u pravokutnom koordinatnom sustavu s aritmetiĉkim mjerilima na osima. Na osi apscisa je mjerilo za varijablu vrijeme, a na osi ordinata za ĉlanove vremenskog niza.

OKOMITI PREKID GRAFIKONA – ako se ne raspolaţe podacima za dio razdoblja moguće je izostaviti dio mjerila na osi apscisa. VODORAVNI PREKID GRAFIKONA – ako neka pojava varira na velikim razinama moguće je izostaviti dio mjerila osi ordinata. Prekidaju se samo linijski grafikoni.

POLULOGARITAMSKI GRAFIKON – koristi se ako se na istom grafikonu uspoređuju raznorodni podaci (nizovi izraţeni u razliĉitim mjernim jedinicama). To je grafikon sa aritmetiĉkim mjerilom na osi apscisa, a logaritamskim na osi ordinata.

INDIVIDUALNI INDEKSI – njima se prati razvoj jedne pojave u vremenu

 verižni indeksi – njima se prati razvoj pojave u uzastopnim vremenskim razdobljima. Veriţni indeks Vt razdoblja t dobije se tako da se vrijednost toga razdoblja podijeli s vrijednošću

prethodnog razdoblja te se pomnoţi sa sto ^100

1

t 

t t

y

y

V

Veriţni indeksi se grafički prikazuju specifičnim linijskim grafikonom i grafikonom jednostavnih stupaca. KOEFICIJENT DINAMIKE – vrijednost tekućeg razdoblja podijeljena sa vrijednošću

prethodnog razdoblja ne pomnoţena sa sto   1

 t

t t y

y V

STOPA PROMJENE – od veriţnog indeksa se odbije sto  St ^ Vt ^100

Primjer 1.

Izvoz RH u milijunima US$ u razdoblju od 1999. do 2003.g. GODINA IZVOZ VERIŢNI INDEKSI STOPA PROMJENE yt Vt St 1999 4302 - - 2000 4432 103,2 3, 2001 4665 105,26 5, 2002 4904 105,12 5, 2003 6197 126,36 26, izvor: SLJRH 2004., str.

Indeks se interpretira kao postotna promjena u odnosu na 100. Ako je veći od 100 predstavlja postotno povećanje, a ako je manji od 100 predstavlja postotno smanjenje. npr. Izvoz u RH u 2003.g. povećao se za 26.36% u odnosu na 2002.g.

 indeksi na stalnoj bazi – njima se mjere promjene u odnosu na neko odabrano bazno razdoblje. Izraĉunavaju se tako da se svaki ĉlan niza podijeli s vrijednošću baznog razdoblja

te pomnoţi sa 100   ^100

b

t t

y

y

I

BAZNO RAZDOBLJE – razdoblje u kojemu pojava nije bila izloţena nekim neuobiĉajenim utjecajima (prirodne katastrofe, rat). Ponekad se uzima neka vrijednost izvan niza ili nekakav prosjek.

STOPA PROMJENE – kad od indeksa odbijemo sto ^100

---

St  It  Bazni indeksi se grafički prikazuju linijskim grafikonom jednostavnih stupaca.

Primjer 2. GODINA IZVOZ BAZNI INDEKSI 1999 = 100

STOPA PROMJENE

U 2003.g. izvoz se povećao za 44.05% u odnosu na baznu 1999.g.

SREDNJE VRIJEDNOSTI STATISTIĈKOG NIZA – konstante kojima se predstavljaju nizovi varijabilnih

podataka.  POTPUNE – raĉunaju se na temelju svih podataka. U njih se ubrajaju aritmetiĉka, geometrijska i harmonijska sredina.  POLOŢAJNE – u pravilu su jednake jednom modalitetu statistiĉke varijable. U njih se ubrajaju MOD i MEDIJAN.

MEDIJAN – srednja vrijednost koja numeriĉki niz uređen po veliĉini dijeli na dva jednakobrojna dijela

1. pojedinačni podaci (neparan broj) – MEDIJAN je jednak vrijednosti varijable središnjeg ĉlana u nizu

INT

N

M (^) e  xr 1 2

 

  

  N r INT

Primjer 6. Podaci moraju biti uređeni po veliĉini 1 3 5 8 10 12 14  7/2 = 3.5 ; r =4 ; Me = x 4 = 8

2. pojedinačni podaci (paran broj) – MEDIJAN je jednak poluzbroju vrijednosti varijable središnjih dvaju ĉlanova niza uređenog po veliĉini  N/2 = INT ; Me = (xr+Xr+1)/2 ; r = N/ Primjer 7. 11 24 29 37 40 53 65 72  N=8 ; r=4 ; Me = (37+40)/2 = 38.
3. distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinačnih vrijednosti – određivanje MEDIJANA se pojednostavljuje uporabom kumulativnog niza manje od. MEDIJAN je jednak vrijednosti varijable ĉija kumulativna frekvencija prva ukljuĉuje N/2. Primjer 8.

N/2 = 35.

Me = 4

4. distribucija frekvencija s razredima – MEDIJAN se aproksimira pomoću izraza:

i f

f

N

M L

med

i e 

 2 1

L 1 – donja prava granica medijalnog razreda N – zbroj apsolutnih ili relativnih frekvencija ∑fi – zbroj frekvencija do medijalnog razreda fmed – frekvencija medijalnog razreda i – veliĉina medijalnog razreda MEDIJALNI RAZRED – onaj ĉija kumulativna frekvencija prvi put ukljuĉuje N/2. Primjer 9. STAROST BROJ OSOBA PRAVE GRANICE

VELIĈINE

RAZREDA

KUMULATIVNE

FREKVENCIJE

fi ii S(xi) 15-24 216 14,5-24,5 10 216 25-49 1152 24,5-49,5 25 1368 50-64 370 49,5-64,5 15 1738 65-(74) 55 64,5-(74,5) 10 1793

Dnevna prodaja BROJ GARNITURA BROJ DANA KUMULATIVNI NIZ xi fi S(xi) 1 1 1 2 5 6 3 8 14 4 26 40 5 19 59 6 12 71 UKUPNO 71 -

N/2 = 896.

Me = 24.5 + (896.5-216)/1152 * 25 = 39.27 god Prvih 50% osoba imalo je 39 godina i manje, a preostalih 50% osoba bilo je starije od 39 godina

KVANTILI – numeriĉki niz uređen po veliĉini dijele na jednakobrojne dijelove. Medijan spada među kvantile  KVARTILI – niz uređen po veliĉini dijele na 4 jednakobrojna dijela  DECILI – niz uređen po veliĉini dijele na 10 jednakobrojnih dijelova  PERCENTILI – niz uređen po veliĉini dijele na 100 jednakobrojnih dijelova Broj kvartila je za jedan manji od njihova reda, tj. 3 su kvartila, 9 decila i 99 percentila

PREDAVANJE #

ARITMETIĈKA SREDINA – dobije se tako da se zbroje vrijednosti numeriĉke varijable i podijele sa

njihovim brojem. TOTAL – zbroj vrijednosti numeriĉke varijable; aritmetiĉka sredina je jednaki dio totala po jedinici Svojstva aritmetiĉke sredine:

1. zbroj vrijednosti odstupanja numeriĉke varijable od njezine aritmetiĉke sredine jednak je nuli
2. zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti numeriĉke varijable od njezine aritmetiĉke sredine minimalan je
3. aritmetiĉka sredina nalazi se između najmanje i najveće vrijednosti niza za koji je izraĉunata

JEDNOSTAVNA ARITMETIĈKA SREDINA – raĉuna se kod pojedinaĉnih kvantitavnih podataka  N

x x

N

i

 i  ^1

Primjer 1. Slijedeći niz predstavlja cijene jednog proizvoda evidentirane na 10 prodajnih mjesta u kn: 25 24 25 23 25 22 21 25 20 25  235/10=23.5 prosjeĉna prodaja iznosila je 23.5 kn

Aritmetiĉka sredina izraţena je u istim mjernim jedinicama kao i obiljeţje. VAGANA (PONDERIRANA) ARITMETIĈKA SREDINA – primjenjuje se za grupirane podatke, tj. za distribuciju frekvencija

1. ponderi: APSOLUTNE FREKVENCIJE (fi)  



fi

fixi

x

k

i 1

2. ponderi: RELATIVNE FREKVENCIJE U VIDU POSTOTAKA (Pi)  100

1

  

k

i

pixi x

3. ponderi: RELATIVNE FREKVENCIJE U VIDU PROPORCIJA (pi)   

k

i

x pixi 1

Primjer 4.

Prosjeĉna plaća za sve kompanije:

X  

Ako se svaka individualna vrijednost numeriĉkog obiljeţja zamijeni aritmetiĉkom sredinom dobiva se polazna veliĉina tj. total ili zbroj vrijednosti numeriĉkog obiljeţja.

ARITMETIĈKA SREDINA RELATIVNIH BROJEVA KOORDINACIJE – određuje se kao vagana sredina u kojoj su

ponderi baze tih brojeva 







k

i

k

i

Bi

BiRi R

1

1

RELATIVNI BROJEVI KOORDINACIJE – omjerni su brojevi koji nastaju diobom dviju koordinirajućih veliĉina

Bi

Vi Ri 

Grafiĉki se prikazuju na 2 naĉina:

1. jednostavnim stupcima
2. pravokutnicima ĉije su osnovice proporcionalne bazama tih brojeva, a visine samim relativnim brojevima koordinacije

Primjer 5.

Prosjeĉan broj stanovnika na km^2 za sve navedene drţave:

35. 22 35. /^2 54786277

R    st km

Odabrane kompanije zaposlenih i prosjeĉne mjeseĉne plaće u kn KOMPANIJA BROJ ZAPOSLENIH

PROSJEĈNA

PLAĆA

UKUPNA

PLAĆA

Ni x Nixi ALFA 550 3500 1925000 GAMA 320 2300 736000 TRADE 250 4200 1050000 UKUPNO 1120 - 3711000

Najveće drţave svijeta, površina u km^2 i broj stanovnika na km^2 DRŢAVA POVRŠINA U km^2 STANOVNIŠTVO/ km^2 UKUPAN BROJ STANOVNIKA Bi Ri Vi= Ri*Bi RUSIJA 17075400 8 136603200 KANADA 9970610 3 29911830 SAD 9629091 30 288872730 KINA 9596961 135 1295589735 BRAZIL 8514215 21 178798515 UKUPNO 54786277 - 1929776010

GEOMETRIJSKA SREDINA – jednaka je N-tom korijenu produkta N pojedinaĉnih vrijednosti

N G  x 1 x 2 .... xi .... xN

Za grupirane podatke geometrijska sredina dana je izrazom:

N f k

f i

f f i k G x x .... x .... x 1 2  1 2

Primjer 6. zadani su koeficijenti dinamike GODINA 2000 2001 2002 2003 2004 Vt - 1,06 1,05 1,03 1, prosjeĉna stopa raĉunata pomoću geometrijske sredine:

Promatrana pojava prosjeĉno se godišnje povećavala za 3.99%.

Geometrijska i harmonijska sredina relativno se rijetko primjenjuju. Geometrijska sredina se primjenjuje u analizi vremenskih nizova. Pomoću nje se računa prosječna stopa promjene pojave. Geometrijska sredina poprima nižu vrijednost od aritmetičke sredine.

HARMONIJSKA SREDINA – reciproĉna vrijednost aritmetiĉke sredine reciproĉnih vrijednosti varijable x

 negrupirani pojedinaĉni podaci   

 N

i xi

N

H

1

 grupirani podaci  





k

i i

i

k

i

i

x

f

f H

1

1

Harmonijska sredina manja je od aritmetiĉke i geometrijske sredine

Primjer 7. Ugostiteljska poduzeća, ukupan promet (u tisućama kn) i promet po zaposlenom (u tisućama kn) UGOSTITELJSKA PODUZEĆA

PROMET PROMET PO

ZAPOSLENOM

ZAPOSLENI

Vi Ri Vi/Ri = Bi HOTELI 6272146 199 31518 KAMPOVI 272070 158 1722 RESTORANI 814160 178 4574 BAROVI 716065 131 5466 KANTINE 331094 137 2417

4

(^1 )



S

G

G VV V

S G

n (^) n

1. RASPON VARIJACIJE

 pojedinaĉni podaci – određuje se kao razlika između najveće i najmanje vrijednosti Rx  x max  x min  distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinaĉnih podataka – određuje se kao razlika između posljednje i prve vrijednosti R (^) x  xk  x 1  distribucija frekvencija s razredima – aproksimira se kao razlika između gornje granice posljednjeg i donje granice prvog razreda ili kao razlika razrednih sredina posljednjeg i prvog razreda. Raspon varijacije je apsolutna (izraţena je u istim mjernim jedinicama kao i obiljeţje) i nepotpuna (dobiva se iz samo dvije vrijednosti) mjera disperzije.

2. INTERKVARTIL KVARTILI:  PRVI ILI DONJI KVARTIL (Q 1 ) – vrijednost numeriĉke varijable koja ĉlanove niza dijeli u dvije skupine. U prvoj je skupini 25% elemenata s vrijednostima varijable koja je jednaka ili manja od donjeg kvartila, a u drugoj je skupini 75% elemenata s vrijednostima većim od donjeg kvartila.  DRUGI ILI MEDIJAN (Q 2 )  TREĆI ILI GORNJI KVARTIL (Q 3 ) - vrijednost numeriĉke varijable koja ĉlanove niza dijeli u dvije skupine. U prvoj je skupini 75% elemenata s vrijednostima varijable koja je jednaka ili manja od gornjeg kvartila, a u drugoj je skupini 25% elemenata s vrijednostima većim od gornjeg kvartila.

Interkvartil se određuje kao razlika kvartila  IQ  Q 3  Q 1 50% Interpretira se kao raspon varijacije središnjih 50% podataka:

Interkvartil je također apsolutna i nepotpuna mjera disperzije.

3. KOEFICIJENT KVARTILNE DEVIJACIJE – njime se uspoređuje stupanj disperzije raznorodnih nizova. Određuje se kao omjer interkvartila i zbroja kvartila:

3 1

3 1 Q Q

Q Q

VQ

 0 ≤ VQ < 1

Ovo je relativna i nepotpuna mjera disperzije.

GRAFIĈKI PRIKAZ VARIJABILNOSTI PODATAKA – dijagram s pravokutnikom  box-plot (B-P) dijagram Za njegovu konstrukciju koristi se 5 pokazatelja numeriĉkog niza – 5's (five summary numbers)  najmanja vrijednost  najveća vrijednost  medijan  donji kvartil  gornji kvartil Na ovom grafiĉkom prikazu ouĉava se raspon varijacije i interkvartilni raspon te se prosuđuje o mogućoj asimetriji kao i o pojavi netipiĉnih vrijednosti ( out lier)

Primjer 1. Negrupirani tj. pojedinaĉni podaci Mjereno je vrijeme u minutama potrebno za rješavanje jednog zadatka iz statistike za 10 studenata. Dobiveni su ovi rezultati : 20 22 25 27 28 28 30 30 33 35 Podaci moraju biti uređeni po veliĉini.  raspon varijacije : 30–15 = 15 min Vrijeme potrebno za rješavanje zadatka bilo je između 20 i 35 min. Odnosno u raponu od 15 min.  interkvartil : donji kvartil: N/4 = 10/4 = 2.5 ≠ INT r = INT (N/4) + 1 = 2+1 = 3, Q 1 =x 3 = Prva ĉetvrtina studenata imala je vrijeme 25 min i manje, a preostale 3 ĉetvrtine imale su vrijeme veće od 25 min. gornji kvartil: 3N/4 = 30/4 = 7.5 ≠ INT r = INT (3N/4) + 1 =7+1=8, Q 3 =xr=x 8 = Prve tri ĉetvrtine studenata imale su vrijeme 30 min i manje, a preostala ĉetvrtina imala je vrijeme veće od 30 min.

IQ = Q 3 – Q 1 = 30 - 25=5 min Raspon varijacije središnjih 50% studenata iznosio je 5 min, tj. njihova vremena bila su između 25 i 30 min.  koeficijent kvartilne devijacije VQ= (Q 3 -Q 1 )/(Q 3 +Q 1 ) = (30-25)/(30+25) = 0. Raspon varijacije središnjih 50% studenata u relativnom iznosu je 0.09.  B-P dijagram N/2 = 10/2 = 5 = INT , r= Me = (xr+Xr+1)/2 = (x 5 +x 6 )/2 = (28+28)/2 = 28