Studirajte zahvaljujući brojnim resursima koji su dostupni na Docsity-u
Zaradite bodove pomažući drugim studentima ili ih kupite uz Premium plan
Pripremite ispite
Studirajte zahvaljujući brojnim resursima koji su dostupni na Docsity-u
Nabavite poene za preuzimanje
Zaradite bodove pomažući drugim studentima ili ih kupite uz Premium plan
Osnove automatskog upravljanja linearnih sistema,Algebarski kriterijumi stabilnosti Routh-a i Hurwitz-a
Tipologija: Ispiti
1 / 21
Ova stranica nije vidljiva u pregledu
Ne propustite važne delove!
Profesor: Кandidat: Prezime i ime: Prezime, ime i broj indeksa: Prof.dr.Milutin Živković
Trstenik.godina izrade 2019 godine
Najvažnija osobina SAU jeste stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani SAU bude stabilan (u praksi postoje izuzeci, ali to izlazi van okvira ovog kursa).
Posmatrajući sistem sa i bez povratne sprege moguće su različite situacije. Moguće je da sistem sa otvorenom povratnom spregom bude nestabilan, a da postane stabilan nakon zatvaranja povratne sprege. Moguća je obrnuta situacija (pojava mikrofonije – zatvaranje pozitivne povratne sprege), a moguće je da sistem pre i posle zatvaranja povratne sprege bude stabilan (ili nestabilan). Zatvaranjem povratne sprege pored stabilnosti sistema, mogu se podešavati i druge osobine kao što su tačnost rada sistema u stacionarnom stanju, brzina odziva, preskok, oscilatornost odziva i sl.
Osnovna podela sistema prema stabilnosti jeste na stabilne i nestabilne sisteme, i tu se govori o osobini apsolutne stabilnosti. Kod stabilnih sistema je moguće odrediti i stepen (ili rezervu) stabilnosti tako da se dolazi do pojma relativne stabilnosti. Sistemi se mogu upoređivati prema
stepenu stabilnosti, tako da mogu biti relativno stabilniji ili manje stabilni. Interesantna je činjenica da su stabilniji sistemi teži za upravljanje zbog sporijeg reagovanja (odziva) od manje stabilnih. Pored apsolutno stabilnih i nestabilnih sistema (često se ovo “apsolutno” izostavlja) postoje i granični slučajevi – neutralne ili granične stabilnosti. To su sistemi koji ne spadaju ni u jednu grupu ranije definisanih, ali najčešće za male promene parametara prelaze ili u stabilne ili u nestabilne sisteme. Jedna od definicija stabilnosti bi mogla biti: stabilan sistem je dinamički sistem koji na ograničenu (konačnu) pobudu daje ograničen (konačan) odziv. Ovo bi se moglo ilustrovati primerom kuglice, prikazanim na slici 1. Stabilnost dinamičkih sistema se može posmatrati na isti način kao i kuglica. Odziv sistema zavisi od početnih uslova i delovanja pobude, i može biti opadajući (slika 1a), rastući (slika 1b) ili neutralan (slika 1c) po svojoj amplitudi. Na slici 1a) je prikazan stabilan sistem, na slici 1b) nestabilan, a na 1c) granično (neutralno) stabilan.
a. b) c)
Slika 1.
Ako se kao pobuda u sistemu posmatra δ(t) , koja je konačna pobuda (iš čezava tokom vremena) tada se odzivi dinamičkog sistema mogu predstaviti slikom 2, gde je sistem prikazan na slici 2a) stabilan, 2b) granično stabilan i 2c) nestabilan.
gde su: s (^) i=-σi realni polovi,^ s^ k1,2=-α^ k±^ jω^ k kompleksni, a^ Ai , B^ k i^ C^ k konstante. Primenom inverzne Laplace-ove transformacije izraz (5) prelazi u vremenski domen, pa je:
gde su Dk konstante koje zavise od^ Bk ,^ C^ k ,^ αk i^ ω^ k. Iz poslednjeg izraza se vidi da^ će uslov:
yss=y(∞)= lim y(t)=0, (7)
t→∞
Biti zadovoljen ako i samo ako je ∀(-σ (^) i)<0^ i^ ∀(-α^ k)<0 , odnosno ako svi polovi sistema imaju realan deo manji od nule (slika 4). Daljom analizom se dolazi do sledećih zaključaka:
t→∞
konstantan u stacionarnom stanju ( Aq ) Jedan pol sistema se nalazi u koordinatnom početku a svi ostali u levoj poluravni kompleksne s-ravni, i sistem se nalazi na aperiodičnoj granici stabilnosti (slika 4).
t→∞
sistema u stacionarnom stanju je oscilatoran sa konstantnom amplitudom ( Dv sin(ωv t+φ^ v) ). Postoji par konjugovano kompleksnih polova sistema na imaginarnoj osi ( αv=±jωv ) a svi ostali u levoj poluravni kompleksne s-ravni, i sistem se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti (slika 4).
Slika 4.
Na osnovu prethodno navedenog zaključuje se da će sistem biti stabilan ako poseduje sve
polove u levoj poluravni kompleksne s-ravni. Ako poseduje bar jedan pol u koordinatnom početku i/ili par polova na imaginarnoj osi, dok se svi ostali polovi nalaze u levoj poluravno kompleksne s-ravni sistem je granično stabilan. Ako sistem poseduje bar jedan pol (ili par konjugovano kompleksnih polova) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni, bez obzira na broj polova u levoj poluravni, koordinatnom početku ili imaginarnoj osi, sistem je nestabilan. Na osnovu ovog izlaganja se vidi da kompletnu informaciju o stabilnosti nosi karakteristični polinom sistema. Na osnovu karakterističnog polinoma se formira karakteristična jednačina (3) čija su rešenja polovi sistema. Analizom prirode polova se utvrđuje stabilnost sistema. Rešavanje jednačine (3) nekada može biti prilično komplikovano (rešavanje algebarske jednačine višeg reda) pa se postavlja pitanje: da li se stabilnost sistema može ispitati bez eksplicitnog rešavanja karakteristične jednačine? Može, i u tu svrhu se koriste kriterijumi stabilnosti. Dva algebarska kriterijuma stabilnosti koja će se detaljnije obratiti su kriterijumi Routh-a i Hurwitz-a.
Posmatra se karakteristična jednačina sistema:
f(s)=ans^ n+an-1 sn-1^ +...+a^ 1s+a^ 0=0,^ (8) (uobičajena oznaka za karakteristični polinom je f(s) , pa će se ona nadalje i koristiti). Nakon rešavanja jednačine (8), polinom f(s) se može napisati u faktorizovanom obliku: f(s)=an(s-p (^) 1)(s-p (^) 2)...(s-pn)=0, (9)
gde je p (^) i i-ti ( i=1,2,...,n ) pol sistema. Množenjem činilaca jednačine (9) se dobija:
f(s)=ans^ n-an(p^ 1+p^ 2+...+p^ n)sn-1^ +an(p^ 1p2+p^ 1p3+p^ 2p3+...)sn-2^ - -an(p^ 1p2p3+p^ 1p2p4+...)sn-3^ +...+a^ n(-1)^ np1p2...pn=0.^ (10)
Kada je šema formirana, posmatra se prva kolona – Routh-ova kolona. Sada važi teorema: broj korena algebarske jednačine koji imaju pozitivne realne delove, jednak je broju promena znaka elemenata u Routh-ovoj koloni. Na osnovu prethodnog može se definisati Routh-ov kriterijum stabilnosti: potreban i dovoljan uslov da bi sistem bio stabilan jeste da svi elementi Routh-ove kolone, formirane na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, budu istog znaka (što se naj češće svodi na “pozitivni”). Sistem će biti granično stabilan ako se u Routh-ovoj koloni pored koeficijenata istog znaka pojavljuju i nule. Broj granično stabilnih polova je jednak broju prelaza sa nenultih na nulte vrednosti i obrnuto
Primer R1 : Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 3 +s^2 +2s+****.
Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
Routh-ova kolona je:
U Routh-ovoj koloni postoje pozitivni i negativni elementi što znači da je sistem nestabilan. Postoje 2 promene znaka (1→-22 i -22→24) što znači da sistem poseduje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -3 i 1±j2.65).
Primer R2 : Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom
f(s) = s^5 +2s^4 +s^3 +3s^2 +4s+****.
Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
Elementi u zagradama se dobijaju ako se vrsta pomnoži najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca elemenata vrste. Tokom formiranja Routh-ove šeme koeficijenata dozvoljeno je vrstu pomnožiti proizvoljnim pozitivnim brojem, što je ovde i iskorišteno. To se čini u cilju eliminacije razlomaka i olakšavanja daljeg računanja.
U Routh-ovoj koloni postoje pozitivni i negativni elementi što znači da je sistem nestabilan. Postoje 2 promene znaka (2→-1 i -1→9) što znači da sistem poseduje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -2.05, -0.71±j0.89 i 0.73±j1.16).
Primer R3 : Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom.
f(s) = s^4 +2s 3 +s^2 +2s+****.
Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
Ako se u Routh-ovoj koloni pojavi nula u vrsti koja nije poslednja, ta nula se privremeno menja malim pozitivnim brojem ε→ 0 do kraja formiranja šeme. Nakon formiranja šeme se
U Routh-ovoj koloni postoje pozitivni, nulti i negativni elementi što znači da je sistem nestabilan. Postoje 2 promene znaka (2→ 0 →-∞ i -∞→1) što znači da sistem poseduje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -1.88, -0.53 i 0.21±j0.98). Primer R4: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s^5 +6s 4 +12s^3 +12s 2 +11s+****.
Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
Primer R6: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 4 -10s^2 +.
Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
R(s)=s^4 -10s 2 +6 , te je: = 4s 3 -20s. Sada Routh-ova šema koeficijenata:
Routh-ova kolona sadrži pozitivne i negativne elemente. Sistem je nestabilan. Postoje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: ±3.06 i ±0.80). Hurwitz-ov kriterijum: Posmatra se karakteristična jednačina (8) i na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma f(s) se formira Hurwitz-ova determinanta koeficijenata kako je to pokazano tabelom 1 (determinanta ∆ (^) h je n-tog reda):
0 0 0 a1 0 0 0 0 a2 a
Sada važi teorema: potreban i dovoljan uslov da algebarska jednačina ima sve korene sa negativnim realnim delom jeste da svi dijagonalni minori Hurwitz-ove determinante budu veći od nule. Na osnovu toga se definiše Hurwitz-ov kriterijum stabilnosti na sledeći način: sistem će biti stabilan ako su svi dijagonalni minori Hurwitz-ove determinante, formirane na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, ve ći od nule. Prema tome potrebni i dovoljni uslovi za stabilnost sistema, prema Hurwitz-u su:
0 ⁞
Pošto se u poslednjoj koloni Hurwitz-ove determinante nalaze sve nule osim a 0 , to je:
∆n = ∆ (^) n-1a 0.
Sistem će biti nestabilan ako su neki dijagonalni minori pozitivni a neki negativni. Sistem će biti granično stabilan ako je poslednji dijagonalni minor ( ∆ (^) h ) jednak nuli, a svi prethodni
pozitivni.
∆n=0^ ⇔^ a^ 0=0^ ∨^ ∆^ n-1=0. Ako je^ a0=0^ tada sistem poseduje pol u koordinatnom početku, a^ ako je ∆n-1 =0^ sistem poseduje bar jedan par polova na imaginarnoj osi. Moguć^ je naravno i slučaj a0=∆n-1 =0 , kada postoje polovi i u koordinatnom početku i na imaginarnoj osi.
Primer H1 : Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 3 +s 2 +2s+****.
Rešenje :Formira se Hurwitz-ova determinant:
Dijagonalni minori su: ∆1=
Primer H3 : Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s^4 +2s^3 +2s 2 +2s+****.
Rešenje: Formira se Hurwitz-ova determinanta: 2 2 0 0 1 2 1 0 0 2 2 0 0 1 2 0
Dijagonalni minori su:
2
2 2 0 1 2 1 = 0 2 2
Pošto su prva dva minora pozitivna a druga dva nula sistem je granično stabilan i sistem ima dva pola na imaginarno osi (polovi sistema su: -1, -1 i ±j). Primer H4 : Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s^4 +3s^2 +s+****.
Rešenje: Formira se Hurwitz-ova determinanta:
Dijagonalni minori su: Prvi minor je nula a ostali negativni pa je sistem nestabilan.
Broj promena znaka u nizu količnika jednak je dva, što znači da postoje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -0.29±j0.84 i 0.29±j1.57).
Sistem je opisan matematičkim modelom u prostoru stanja:
⋅
x = Ax + Bu , (11a) y = Cx + Du. (11b)
Funkcija prenosa sistema je: (12)
Iz izraza (12) se vidi da je imenilac funkcije prenosa sistema det[s I - A ]. Imenilac funkcije prenosa sistema je karakteristični polinom f(s) , što znači da je: f(s) = det[s I - A ]. (13)
Sada se za analizu stabilnosti može primeniti neki od ranije navedenih kriterijuma Routh-a ili
Hurwitz-a.
Znači procedura za analizu stabilnosti sistema opisanih matematičkim modelom u prostoru stanja je:
Primer. SAU je prikazan blok dijagramom na slici. Odrediti interval pojačanja K za koji je
sistem stabilan.
Rešenje. Funkcija spregnutog prenosa sistema je
Uslov stabilnosti sistema: K>0 (oblast desno od f(k)-ose na slici)
32+32K>0⇒K>- (oblast desno od prave K=-10.67) 64-38K-K^2 >0⇒-39.6<K<1.6(oblast ispod parabole 64-38K-K^2 =0,a iznad K-ose) Objedinjavanjem gornjih uslova dobija se uslov stabilnosti sistema 0<K<1.6. Oblast stabilnosti je osenčena na slici.
Gde su K 1 I K 2 realni parametric.Odrediti oblast stabilnosti sistema u ravni parametra K10K (^) 2.
Rešenje. Karakteristični polinom sistema je f(s)=2s^3 +8s^2 +(K^ 1+2K2)s+(4K1+2K^ 2). Rausova šema koeficienta je:
Uslov stabilnosti sistema: K 2 > 0
4K 1 + 2K 2 > 0 ⇒ K 2 > -2K (^) 1.
Oblast stabilnosti je prikazana na slici.
Primer. SAU je prikazan blok dijagramom na slici. U ravni parametara a0K odrediti oblast u kojoj je sistem stabilan.
Rešenje. Funkcija spregnutog prenosa sistema je
Primer. Funkcija spregnutog prenosa SAU je Ws(s)=gde je K realan parameter.Primenom Hurvicovog kriterijuma odrediti interval vrednosti parametra K za koji će sistem biti stabilan
Rešenje. Karakteristični polinim sistema je f(s)=s^4 +6s 3 +(k+9)s^2 +6s+8.Hurvicova determinantna je
Dijagonalni minori su:
∆h=288K^ ⇒K>
Sistem je stabilan za svako K>0.
P rimer .Karakteristični polinom sistema je :f(s)=s^5 +s^4 +7s^3 +5s^2 +10s+K,gde je K realan parameter.Primenom Hurvicovog kriterijuma odrediti interval vrednosti parametra K za koji će sistem biti stabilan.
Rešenje .Hurvicova determinantna je:
1 5 K 0 0 1 7 10 0 0 0 1 5 K 0 0 1 7 10 0 0 0 1 5 K
Dijagonalni minori su :
∆1=
∆2=2⇒K>-
∆3=K⇒^ K>
∆4=K(6-K) ⇒K<
∆h=K^2 (6-K) ⇒K<
Sistem je stabilan za svako 0<K<6.
Sadržaj:
Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja
Algebarski kriterijumi stabilnosti Routh-a i Hurwitz-a.
