STABILNOST SISTEMA, Ispiti od Diferencijalne jednačine

Preuzmite STABILNOST SISTEMA i više Ispiti u PDF od Diferencijalne jednačine samo na Docsity!

STABILNOST SISTEMA

• Najvaznija osobina sistema automatskog upravljanja je stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani sistem automatskog upravljanja bude stabilan. To je osnovni preduslov prakticne primene.

• Za normalno funkcionisanje sistema veoma je bitno da on bude neosetljiv na slučajne poremećaje i smetnje koji u toku rada na njega deluju, tj. da bude stabilan.
• Sistem je stabilan ukoliko se posle prestanka poremećajnog dejstva i završetka prelaznog procesa ponovo vrati u prvobitno i zauzme novo ravnotežne stanje.
• Ukoliko se sistem ne vrati u ravnotežno stanje iz kojeg je izveden, nego se od njega neprekidno udaljava monotono ili oscilatorno sa stalno rastućim amplitudama, onda je to nestabilan sistem

Ta tri stanja mogu se pregledno prikazati na primeiu pomeranja kuglice po površinama različitog profila usled kratkotrajnog spoljnjeg dejstva na njih slika

Položaj kuglice 1 na površini 2: a— stabilan, b — nestabilan, c — neutralan

Opšte rešenje jednačine dobija se u vidu zbira homogenog Y h(t) partikulamog y p (t) rešenja, što se može napisati:

Homogeno rešenje predstavlja slobodno kretanje sistema koje je određeno početnim uslovima i osobinama samog sistema, dok partikularno rešenje predstavlja prinudno kretanje koje je određeno poremečajnim dejstvom i karakteristikama sistema

Za stabilan rad sistema potrebno je da se prelazni proces (u toku kojeg sistem prelazi iz jednog zadatog ravnotežnog stanja u drugo) sa vremenom prigušuje

, tj. da homogeno rešenje sa vremenom teži ka nuli što se

analitički može izraziti uslovom

Rešenje diferencijalne jednačine dobija se polazeći od pretpostavke da će u rešenju sigurno biti član oblika

Koreni karakteristične jednačine mogu biti realni ili kompleksni, i u opštem slučaju mogu se napisati u obliku

Iz definicije stabilnosti sistema proizilazi zaključak da će sistem čija karakteristična jednačina ima oblik biti stabilan samo u tom slučaju ako svi realni koreni i svi realni dolovi kompleksnih korenova karakteristične jednačine imaju negativne vrednosti.

Impulsni odziv sistema u zavisnosti od prirode resenja

karakteristicne jednacine.

• Prema tome, ispitivanje stabilnosti linearnih SAU svodi se na matematicki utvrdjivanje znaka realnog dela korena karakteristicne jednacine, a geometrijski na odredjivanje polozaja korena karakteristicne jednacine u kompleksnoj ravni u odnosu na imaginarnu osu.

Stabilnost sistema na osnovu korena karakteristične jednačine

KRITERIJUMI STABILNOSTI

Za istrazivanje stabilnosti vazno je da li se vrednosti korena karakteristicne jednacine tacke nalaze na levoj ili desnoj strani poluprave s-ravni. Za analizu stabilnosti sistema automatskog upravljanja kriterijumi mogu biti:

• algebarski (numericki)
• graficki (grafoanaliticki) Algebarski kriterijumi primjenljivi su i za kvalificiranje stabilnosti opstih linearnih sistema, ne samo sistema automatskog upravljanja.

• Potreban i dovoljan uslov da svi koreni karakteristicne jednacine imaju negativne realne delove, odnosno da je sistem apsolutno stabilan, jeste da svi koeficijenti karakteristicne jednacine budu veci od nule i da sve Hurwitzove determinante budu vece od nule.

• Prednosti ovog kriterijuma su te da nije potrebno poznavati resenje diferencijalne jednacine da bi se ustanovila apsolutna stabilnost, vec samo koeficijente karakteristicne jednacine.
• Nedostaci koje ovaj kriterijum ima su da mora biti poznata diferencijalna jednacina, ne moze da se odredi uticaj pojedinih elemenata na stabilnost sistema, odredjuje se samo apsolutna stabilnost, nema informacija o relativnoj stabilnosti.
• Hurwitzov kriterijum stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriterijumu stabilnosti.