Analiza LVN Kola Prvog Reda: Teorija i Primena, Esej od Analiza električnih kola

Preuzmite Analiza LVN Kola Prvog Reda: Teorija i Primena i više Esej u PDF od Analiza električnih kola samo na Docsity!

Poglavlje 2

Analiza LVN kola prvog reda

Matematiˇcki model elektriˇcnog kola u vremenskom domenu, koje sadrˇzi dva ili viˇse razliˇcitih elemenata, ima oblik integro-diferencijalne ili diferencijalne jednaˇcine. Poˇsto LVN kola pripadaju klasi LVN sistema sve osobine LVN sistema, koje su izvedene u prethodnim poglavljima, koriste se u analizi LVN kola. Radi jednos- tavnijeg razumijevanja postupka analize kola u vremenskom domenu poˇzeljno je prvo obraditi kola prostije strukture. Zato je u ovom poglavlju opisana analiza kola prvog reda, a u poglavljima 3 i 4 analize kola drugog i viˇseg reda. Pri tome se pod analizom kola (sistema) podrazumijeva:

• izraˇcunavanje analitiˇckog oblika odziva kola na akumuliranu energiju (prirodni odziv ) i na karakteristiˇcne pobudne signale (prinudni odziv ),
• analiza oblika i karakteristika odziva,
• analiza uticaja parametara kola na karakteristike odziva (parametarska ana- liza).

2.1 Rjeˇsavanje kola sa poznatim poˇcetnim

vrijednostima

Pri rjeˇsavanju kola potrebno je odrediti odziv kola y(t) za vremenski interval t ≥ t 0. U cilju pojednostavljenja matematiˇckih proraˇcuna najˇceˇs´ce se usvaja t 0 = 0. Iz teorije sistema poznato je da je odziv sistema y(t) jednoznaˇcno definisan u intervalu −∞ < t < +∞ samo ukoliko je poznat analitiˇcki oblik ulaznog signala x(t) za svako t iz intervala −∞ < t < +∞, odnosno za sluˇcaj da je ulazni signali bilateralan. U analizi elektriˇcnih kola vrijednost ulaznog signala x(t) obiˇcno nije poznata za t < t 0. Da bi u tom sluˇcaju odziv kola y(t) bio jednoznaˇcno odredjen potrebno je i dovoljno da se ”istorijat” sistema opiˇse pomo´cu poˇcetnih vrijednosti varijabli stanja z(t 0 ), koje se nazivaju nezavisne poˇcetne vrijednosti. Preme tome, stanje kola za t ≥ t 0 jednoznaˇcno odredjuju:

2.2. SOPSTVENI ODZIV KOLA PRVOG REDA 27

Jednaˇcina stanja kola za t ≥ 0 izvodi se na osnovu Kirhofovih zakona za napone (KZN) i struje (KZS), uvaˇzavaju´ci vi karakteristike elemenata. Za usvojene refe- rentne smjerove struje i napona vrijedi:

• prema KZN: vg = vR + vL
• prema KZS: ig = iR = iL

Uvaˇzavaju´ci vi karakteristike elementa slijedi:

vR = RiR

vL = L

diL dt

, iL(0) = IL 0

Tada jednaˇcina stanja za nezavisnu varijablu iL(t) za t ≥ 0 ima oblik:

L

diL dt

• RiL = vg , iL(0+) = IL 0 (2.1)

Jednaˇcina 2.1 jednoznaˇcno definiˇse odziv kola iL(t) za t ≥ 0. Premda se anali- tiˇcki oblik odziva iL(t) moˇze odrediti klasiˇcnim postupkom rjeˇsavanja diferen- cijalne jednaˇcine 2.1, odredjivanjem homogenog i partikularnog rjeˇsenja, u cilju objaˇsnjenja procesa u kolima u toku tranzijentnog stanja u nastavku ovog poglavlja posebno ´ce biti odredjene komponente odziva: sopstveni odziv kola iLn(t)(za vg (t) = 0) i odziv kola iz stanja mirovanja iLs(t) (za iL(0) = 0).

2.2 Sopstveni odziv kola prvog reda

Sopstveni odziv kola nastaje usljed djelovanja zateˇcene akumulirane energije u dinamiˇckim elementima. Zateˇcena vrijednost energije se u toku tranzijentnog procesa razmjenjuju izmedju elemenata kola. Ukoliko se u kolu na slici 2.1.b usvoji vg (t) = 0, izvodi se kolo prikazano na slici 2.2.

Slika 2.2: Sopstveni odziv RL kola

U trenutku t = 0 na zavojnici je zateˇcena energija wm(0) = LI^2 L 0 /2, koja se u toku tranzijentnog procesa (za t > 0) disipacijom na otporniku transformiˇse u

vR^ vL

iL

_

L

iL ( 0 ) = IL 0

R

_

i R

28 POGLAVLJE 2. ANALIZA LVN KOLA PRVOG REDA

toplotnu energiju. Jednaˇcine stanja kola u tranzijentnom procesu imaju oblik:

vL + vR = 0 iL = iR, iL(0+) = IL 0

odakle se, uvaˇzavaju´ci vi karakteristike, izvodi model tranzijentnog stanja kola u obliku diferencijalne jednaˇcine:

L

diL dt

• RiL = 0, za iL(0+) = IL 0 (2.2)

Jednaˇcina 2.2 identiˇcna je lijevoj strani jednaˇcine 2.1. Ukoliko prosto kolo prvog reda sadrˇzi kondenzator sa poˇcetnom vrijednoˇs´cu napona vC (0) = VC 0 , koja odredjuje zateˇcenu akumuliranu energiju wC (0) = CV (^) C^20 /2, tada je ˇsema sopstvenog odziva RC kola prikazana na slici 2.3.

Figure 2.3: Sopstveni odziv RC kola

Jednaˇcine stanja sopstvenog odziva RC kola imaju oblik:

vC = vR iC + iR = 0

odnosno diferencijalna jednaˇcina stanja ima oblik:

C

dvC dt

R

vC = 0, vC (0) = VC 0 (2.3)

Jednaˇcine 2.2 i 2.3 ˇceˇs´ce se piˇsu u obliku:

diL dt

R

L

iL = 0 , iL(0) = IL 0 dvC dt

RC

vC = 0 , vC (0) = VC 0

U opˇstem sluˇcaju jednaˇcina stanja za sopstveni odziv kola prvog reda (RL ili RC) ima oblik: dyn dt

• αyn = 0, yn(0) = yn 0 (2.4)

R

_

i R

vR C

ic

vC

_

v C(0) = Vc

3 POGLAVLJE 2. ANALIZA LVN KOLA PRVOG REDA

2.2.1 Sopstveni odziv kao funkcija poˇcetnih vrijednosti

Prirodni (sopstveni) odziv kola prvog reda ima oblik:

yn(t) = Aest

Poˇcetna vrijednost yn(0+) odredjuje iznos konstante A, odnosno vrijedi:

yn(0+) = Ae^0 = A

Numeriˇcka vrijednost yn(0+) moˇze se za elektriˇcna kola odrediti ”posmatranjem” kola u trenutku t = 0+. Ukoliko u kolu u trenutku t = 0 nema prikljuˇcenih impulsnih generatora, vrijedi zakon o kontinuitetu poˇcetnih vrijednosti varijabli stanja:

vC (0+) = vC (0−) iL(0+) = iL(0−)

Odatle se poˇcetna vrijednost yn(0+) moˇze odrediti posmatranjem kola u trenutku t = 0−. Prema tome, prirodni odziv kola prvog reda ima oblik:

yn(t) = yn(0+)est^ = yn(0+)e−αt

Za analizirana RL i RC kola, poˇcetne vrijednosti varijabli stanja odredjuju se iz relacija:

iL(0+) = iL(0−) = IL 0 vC (0+) = vC (0−) = VC 0

Tada je analitiˇcki oblik rjeˇsenja:

iL(t) = IL 0 e

−R L t, t ≥ 0 vC (t) = VC 0 e

−t RC (^) , t ≥ 0

Za sluˇcaj da je poˇcetna vrijednost varijable stanja definisana za t = t 0 (yn(t 0 )) prirodni odziv ima oblik:

yn(t) = yn(t 0 )e−α(t−t0), t ≥ t 0 (2.6)

Iz prethodnog izvodjenja zakljuˇcujemo da je:

Prirodni odziv kola prvog reda je linearna funkcija poˇcetnih vrijednosti varijabli stanja, koja je definisana za vremenski interval t ≥ t 0.

Linearnost prirodnog odziva jednostavno se dokazuje za funkciju 2.6, poˇsto za nju vrijede osobine homogenosti i aditivnosti.

2.3. ODZIV KOLA PRVOG REDA IZ STANJA MIROVANJA 31

Slika 2.4: Sopstveni odziv mehaniˇckog sistema prvog reda

2.2.2 Sopstveni odziv analognog mehaniˇckog sistema

prvog reda

Na slici 2.4 prikazan je model sopstvenog odziva analognog mehaniˇckog sistema prvog reda. Tijelo mase M ima poˇcetnu brzinu V 0 i koeficijent trenja K. Usljed djelovanja sile trenja tijelo se usporava sve dok se ne zaustavi. U ovom procesu sva zateˇcena kinetiˇcka energija wk(0) = M v^2 (0)/2 = M V 02 /2 pretvori u toplotnu energiju. Pretpostavljaju´ci da je sila trenja proporcionalna brzini, jednaˇcina stanja za t > 0 ima oblik:

M

dv dt

• Kv = 0, v(0) = V 0

odakle slijedi: dv dt

K

M

v = 0

Jednaˇcina stanja za analogni mehaniˇcki sistem ima isti oblik kao i jednaˇcina stanja elektriˇcnog kola. Prema tome diferencijalna jednaˇcina, koja odredjuje prirodni odziv dinamiˇckog sistema prvog reda, ima opˇsti oblik definisan jednaˇcinom 2.4 i rjeˇsenje opisano relacijom 2.6.

2.3 Odziv kola prvog reda iz stanja mirovanja

Odziv uslijed prikljuˇcenja generatora na kolo u kome u trenutku t 0 = 0 nije pos- tojala akumulirana energije u dinamiˇckim elementima naziva se odziv iz stanja mirovanja ili. prirodni odziv. Odgovaraju´ce kolo se izvodi iz kola sa slike 2.1. kada je poˇcetna vrijednost struje iL(0+) = 0. Tada jednaˇcina stanja kola, za t ≥ 0, ima oblik: diL dt

R

L

iL =

L

vg , iL(0+) = 0

Dualni model odziva iz stanja mirovanja, za kolo prvog reda koje sadrˇzi konden- zator, ima oblik prikazan na slici 2.5.

v

M

B

v (0) = V 0

2.3. ODZIV KOLA PRVOG REDA IZ STANJA MIROVANJA 33

Prema tome odziv iz stanja mirovanja za kola prvog reda ima analitiˇcki oblik:

ys(t) =

∫ (^) t

0 −

e−α(t−τ^ )x(τ )dτ (2.8)

Za razliˇcite oblike pobudnih signala x(t) integral 2.7 definiˇse oblik odziva iz stanja mirovanja ys(t).

Jednaˇcina 2.7 je nehomogena diferencijalna jednaˇcina prvog reda sa poznatim poˇcetnim uslovima. Prema teoriji diferencijalnih jednaˇcina, rjeˇsenje nehomogene diferencijalne jednaˇcina ima oblik:

y(t) = yh(t) + yp(t), y(0) = 0

gdje su:

• yh(t) rjeˇsenje homogene diferencijalne jednaˇcine dyh/dt + αyh = 0,koje se naziva homogeno rjeˇsenje.
• yp(t) partikularno rjeˇsenje koje zadovoljava jednaˇcinu 2.7 odnosno za koje vrijedi: dyp/dt + αyp = x(t)

Oblik partikularnog rjeˇsenja zavisi od oblika pobudnog signala x(t). Poˇsto vrijedi:

y(0) = yh(0) + yp(0)

za y(0) = 0 vrijedi: yh(0) = −yp(0)

U prethodnom poglavlju izveden je opˇsti oblik homogenog rjeˇsenja yh(t) za jednaˇcinu prvog reda: yh(t) = yh(0)e−αt

Odavde se izvodi analitiˇcki oblik odziva iz stanja mirovanja:

ys(t) =

∫ (^) t

0 −

e−α(t−τ^ )x(τ )dτ = yh(0)e−αt^ + yp(t) = −yp(0)e−αt^ + yp(t)

Dakle, odziv iz stanja mirovanja ima dvije komponente:

• priguˇsnu komponentu,ˇcija poˇcetna vrijednost zavisi od yp(0)
• komponentu yp(t), koja zavisi od oblika pobude x(t)

Prva komponenta zavisi od karakteristika kola i predstavlja reakciju kola u trenutku t = 0 na prikljuˇcenje pobudnog signala. Ova komponenta se priguˇsuje sa kons- tantom priguˇsenja τ = 1/α. Druga komponenta yp(t) jednaka je partikularnom rjeˇsenju jednaˇcine 2.7. Ukoliko je ys(t) ograniˇcena funkcija (ˇsto vrijedi za LVN kola, osim za specijalne sluˇcajeve koji ´ce se posebno obraditi), tada je partikularno rjeˇsenje jednako stacionarnom stanju kola, koje se uspostavlja nakon komutacije za t → +∞. Na osnovu ove osobine LVN kola partikularno rjeˇsenje yp(t) moˇze se odrediti kao stacionarni odziv kola, koje se formira nakon komutacije (za t ≥ 0). Ovaka osobina LVN kola koristi se u praktiˇcnom rjeˇsavanju odziva kola.

34 POGLAVLJE 2. ANALIZA LVN KOLA PRVOG REDA

2.3.1 Odskoˇcni odziv

Odziv kola prvog reda iz stanja mirovanja na odskoˇcnu pobudu x(t) = Xu(t) naziva se odskoˇcni odziv. Za prosto RL kolo odskoˇcni odziv se dobija za sluˇcaj djelovanja pobude vg (t) = Vg u(t), a za prosto RC kolo za oblik pobudnog signala ig (t) = Ig u(t). Za oba sluˇcaja partikularno rjeˇsenje se odredjuje kao stacionarno stanje u kolu nakon komutacije. Za kolo sa slike 2.1 struja iL(t) u novo-uspostavljenom sta- cionarnom stanju za (t → +∞) ima oblik:

lim t→+∞ iL(t) =

Vg R

= I

odakle je partikularno rjeˇsenje iLp(t) = Iu(t). Analogno za kolo na slici 2.5. za (t → +∞) napon na kondenzatoru ima vrijednost:

lim t→+∞ vC (t) = Ig R = V

tako da je odgovaraju´ce partikularno rjeˇsenje vCp(t) = V u(t). Odskoˇcni odziv u prostom RL kolu ima oblik:

iLs(t) = iLh(t) + iLp(t) = −iLp(0)e−αt^ + iLp(t) = = (−Ie−αt^ + I)u(t)

Za prosto RC kolo odskoˇcni odziv ima oblik:

vCs(t) = vCh(t) + vCp(t) = −vCp(0)e−αt^ + vCp(t) = = (−V e−αt^ + V )u(t)

Dijagrami promjena iLs(t) i vCs(t) prikazani su na slici 2.6.

Slika 2.6: Odskoˇcni odziv: a. RL kolo, b. RC kolo

Do istog rezultata moˇze se do´ci ako se u izraz 2.7 uvrsti x(τ ) = Vg u(t)/L poˇsto vrijedi:

iLs(t) =

L

∫ (^) t

0 −

e−α(t−τ^ )Vg u(τ )dτ ) =

Vg L

e−αt

∫ (^) t

0 −

eατ^ dτ =

I

• I

i Lp iLs

t

iL (^) vC

V

• V

v Cp vCs

vCh

t iLh

36 POGLAVLJE 2. ANALIZA LVN KOLA PRVOG REDA

prikazani su na slici 2.8.

Slika 2.8: Dijagrami promjene struja i (^) C i iR pri odskoˇcnom odzivu RC kola

U RC kolu u trenutku t = 0+, napon vCs(0+)ne moˇze se trenutno mijenjati zbog inercije kondenzatora, tako da vrijedi vCs(0+) = 0 i iR(0+) = vCs(0+)/R = 0. Za t = 0+^ ukupan iznos struje generatora prolazi kroz kondenzator. Sa akumuli- ranjem energije u kondenzatoru, napon vCs(t) se poveˇcava, a struja iC (t) opada. Proces je potpuno analogan procesu u dualnom RL kolu. Uoˇcimo da se struja kroz kondenzator i napon na zavojnici mogu skokovito mjenjati, poˇsto ove veliˇcine ne predstavljaju varijable stanja. Prema tome, za jednaˇcinu stanja kola prvog reda:

dys dt

• αys = Xy u(t), y(0) = 0

odskoˇcni odziv za t ≥ 0 ima oblik:

gy (t) = ys(t) =

α

Xy (1 − e−αt)u(t)

2.3.2 Impulsni odziv

Odziv iz stanja mirovanja LVN kola na impulsnu pobudu δ(t) naziva se impulsni odziv i oznaˇcava se sa h(t). Zbog karaktera impulsne pobude za interval t < 0 vrijedi h(t) = 0. Impulsni odziv h(t) kola prvog reda odredjuje se iz relacije:

h(t) = ys(t) =

∫ (^) t

0 −

e−α(t−τ^ )δ(τ )dτ = e−αt

∫ (^) t

0 −

eατ^ δ(τ )dτ

= e−αt

0 −

eα^0 δ(τ )dτ = e−αt

0 −

δ(τ )dτ = e−αtu(t)

U opˇstem sluˇcaju za diferencijalnu jednaˇcinu:

dh(t) dt

• αh(t) = aδ(t)

i

Ig iR

iC (^) t

2.3. ODZIV KOLA PRVOG REDA IZ STANJA MIROVANJA 37

impulsni odziv ima oblik: h(t) = ae−αtu(t) (2.9) Za impulsni odziv rednog RL kola jednaˇcina stanja ima oblik:

L

diL dt

• RiL = δ(t), iL(0−) = 0

odnosno: diL dt

• αiL =

L

δ(t), gdje je α = R/L

Na osnovu relacije 2.9 impulsni odziv RL kola ima oblik:

iL(t) = hiL(t) =

L

e−αtu(t) =

L

e−^

RL t u(t)

Dijagram promjene impulsnog odziva hiL(t) prikazan je na slici 2.9.

Slika 2.9: Impulsni odziv kola prvog reda (redno RL kola)

Izmedju odskoˇcnog odziva g(t) i impulsnog odziva h(t) vrijede relacije:

dg(t) dt

= h(t)

g(t) =

∫ (^) t

−∞

h(τ )dτ

ˇsto je identiˇcan odnos koji vrijedi izmedju odgovaraju´cih pobudnih signala: odskoˇcnog u(t) i impulsnog δ(t). Za RL kolo odskoˇcni odziv gi(t) ima oblik:

gi(t) = (−e−αt^ + 1)

α

L

u(t) =

R

u(t)(1 − e−αt)

Odavde se odredjuje impulsni odziv:

hi(t) =

dg dt

R

δ(t)(1 − e−α^0 ) +

R

u(t)αe−αt^ =

L

e−αtu(t)

Dobijeni izraz je identiˇcan analitiˇckom obliku impulsnog odziva koji je izveden direktnim postupkom rjeˇsavanja diferencijalne jednaˇcine.

i L

t

L

1

e a tu ( ) t

a

(^1) -

i L ( ) 0 - = 0 0

2.3. ODZIV KOLA PRVOG REDA IZ STANJA MIROVANJA 39

• impulsni odziv rednog RL kola, kod prikljuˇcenja naponskog generatora vg (t) = Φ 0 δ(t), jednak prirodnom odzivu RL kola sa poˇcetnom vrijednoˇs´cu struje IL 0 = Φ 0 /L.
• impulsni odziv paralelnog RC kola, kod prikljuˇcenja strujnog generatora ig (t) = Q 0 δ(t), jednak je prirodnom odzivu RL kola sa poˇcetnom vrijednoˇs´cu napona VC 0 = Q 0 /C.

2.3.3 Odskoˇcni i impulsni odziv kola prvog reda: sumarno

razmatranje

U tabeli 2.1 prikazani su analitiˇcki oblici i dijagrami odskoˇcnog g(t) i impulsnog h(t) odziva za karakteristiˇcne strukture kola prvog reda (prosta RL i RC kola). Pod odzivom kola za prikljuˇceni naponski generator podrazumjeva se struja generatora (na ulazu u kolo), a za prikljuˇceni strujni generator napon na krajevima generatora (na ulazu u kolo).

Za specijalni sluˇcaj kola prvog reda, za koja je α = 0, koja su prikazana na

R

1

0 0

0

0

0

0

0 0

t t

t

t

t

t

t t

i (^) i

i i

i i

i i

( (^ )) u ( ) t R

(^11) - e- RLt

( ) u ( ) t

L

(^1) e- RLt L

1

u ( ) t

R

(^1) e- tRC R

1

( ) u ( ) t

RC

t R

d - e- tRC 2

1 1

R^2 C

1

u ( ) t C ( ) t

R

• d 1

R

1

C R ( ) t^ C ( ) t

(^1) d + d '

( ) ( ) t

L

ut R

g 1 1

R

1

R

1

L

1

( ) u ( ) t

L

t R

1 1 d +

t

t

t

t

t t

t t

v v

v

v

v v

v

v

R

R ( 1 - e - tRC ) u ( ) t C

1

C

1

1. 377

u^ ( ) t

C

(^1) e- tRC

T = RC

T 0 0

0

0

0

0

0 0

R R e- ( RL ) tu ( ) t

R d( ) t

L

• R^2

( ) ( R^ L ) t

L

• u tR^2 e-

L R

L d ( ) t + Ru ( ) t

L d '( ) t^ + R d( ) t

R Ru ( )^ t^ C g( ) t

1

R

C

1

( ) u ( ) t

C

R t 1 d +

L eS +- R

dt Ri e^ S

di L + =

i

dt i = dq C R

dtq Cq eS

R d + 1 =

eS +-

S S (^) e dt R

de i C 1 = +

eS +- C R

i

eS +- R

i L

0

e t dt L

e R

i

t = S + ò S

C R v

iS

dtv Rv iS

d C + = 1

R

iS L^ dt

v = d F

dt L i^ S

d R

F + F= 1 1

dt

di v = RiS + L S

L v R

iS

= + ò ( )

t v RiS (^) C iStdt 0

1

v R

iS C

g ( ) t h ( ) t

2.3. ODZIV KOLA PRVOG REDA IZ STANJA MIROVANJA 41

2.3.4 Odziv na sinusni pobudni signal

Ukoliko u kolima prikazanim na slikama 2.1 i 2.5 prikljuˇcimo pobudni signal si- nusnog oblika vg (t) = Vm cos(ω 0 t + θ) odnosno ig (t) = Im cos(ω 0 t + θ), diferenci- jalne jednaˇcine koji opisuju odziv kola na sinusnu pobudu imaju oblik:

diLs dt

R

L

iLs =

L

Vm cos(ω 0 t + θ), iLs(0−) = 0 dvCs dt

RC

vCs =

C

Im cos(ω 0 t + θ), vCs(0−) = 0

U opˇstem sluˇcaju, pri prikljuˇcenju pobudnog signala sinusnog oblika x(t) = Xm cos(ω 0 t + θ) na kola prvog reda, diferencijalna jednaˇcina stanja za t ≥ 0 ima oblik: dys dt

• αys = ax(t), ys(0−) = 0 (2.10)

Opˇsti oblik odziva na sinusnu pobudu (sinusnog odziva) kola prvog reda ima oblik:

ys(t) = yh(t) + yp(t) = Ae−αt^ + Ym cos(ω 0 t + φ), ys(0−) = 0

Vrijednost konstante A odredjuje se iz relacija:

ys(0) = Ae^0 + yp(0) = 0 A = −yp(0+) = −Ym cos φ

Prema tome sinusni odziv kola prvog reda ima oblik:

ys(t) =

[

−Ym cos φe−αt^ + Ym cos(ω 0 t + φ)

]

u(t) (2.11)

Vrijednosti konstanti Ym i φ, koje odredjuju partikularno rjeˇsenje yp(t), ili pri- nudni stacionarni odziv, izraˇcunavaju se prema postupku izvedenom u poglavlju 1, ili odredjivanjem stacionarnog odziva kola za t → +∞, koriˇstenjem simboliˇckog raˇcuna. Za diferencijalnu jednaˇcinu 2.10 za pobudni signal:

x(t) = Xm cos(ω 0 t + θ)

partikularno rjeˇsenje ima oblik:

yp(t) = Ym cos(ω 0 t + φ)

gdje su:

A(jω 0 ) = α + jω 0 6 = 0

A(jω 0 ) = |A(jω 0 )| ejΦ^ =

α^2 + ω 02 ejφ

φ = arctan

ω 0 α Na osnovu prethodnih relacija izraˇcunavamo oblik za struju u RL kolu:

iLs(t) =

[

−Im cos φe−αt^ + Im cos(ω 0 t + φ)

]

u(t)

42 POGLAVLJE 2. ANALIZA LVN KOLA PRVOG REDA

gdje su:

Im =

Vgm

L

R L

• ω^20

Vgm √ R^2 + (ω 0 L)^2

φ = θ − arctan

ω 0 L R α =

R

L

Dijagram promjene struje iLs(t) prikazan je na slici 2.11.

Slika 2.12: Sinusni odziv RL kola

Za paralelno RC kolo strujni sinusni odziv ima oblik:

vCs(t) =

[

−Vm cos φe−αt^ + Vm cos(ω 0 t + φ)

]

u(t)

gdje su:

Vm = Igm

C

1 RC

• ω^20

Igm √( 1 R

• (ω 0 C)^2

φ = θ − arctan[ω 0 RC] = θ − arctan[

ω 0 C G

]

α =

G

C

Analitiˇcki oblik i dijagram promjene napona vCs(t) analogan je obliku i dijagramu promjene struje iLs(t).

2.3.5 Odziv na eksponencijalni i kompleksno-eksponencijalni

pobudni signal

Odziv kola prvog reda iz stanja mirovanja na eksponencijalni pobudni signal x(t) = Xmeσt^ ima oblik:

ys(t) = Ae−αt^ + yp(t), ys(0) = 0 (2.12)

i LS

t q/w 0

i LP

iLh

iLS