Preuzmite Trigonometrija uvod i više Beleške u PDF od Matematika samo na Docsity!
Trigonometrija - osnovne formule
Definicija trigonometrijskih funkcija – u pravokutnom trokutu:
sinα =
nasuprotna kateta
hipotenuza
a
c
β
α
c a
C b
B
A
cosα =
prileˇze´ca kateta
hipotenuza
b
c
tgα =
nasuprotna kateta
prileˇze´ca kateta
a
b
ctgα =
prileˇze´ca kateta
nasuprotna kateta
b
a
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija u nekim vaˇznijim kutevima:
stupnjevi: 0 ◦^30 ◦^45 ◦^60 ◦^90 ◦^120 ◦^150 ◦^180 ◦^270 ◦^360 ◦
radijani: 0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
π π 1
π 2 π
sin 0
cos 1
tg 0
ctg ±∞
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija na jediniˇcnoj kruˇznici:
Prvi kvadrant:
sinϕ > 0 cosϕ > 0 tgϕ > 0 ctgϕ > 0
y
x
tg
ctg
ϕ
ϕ
sin
ϕ
cosϕ
ϕ
Drugi kvadrant: sinϕ > 0 cosϕ < 0 tgϕ < 0 ctgϕ < 0
y
x
ϕ
tg
ctg ϕ
ϕ
ϕ sin cosϕ
Tre´ci kvadrant:
sinϕ < 0 cosϕ < 0 tgϕ > 0 ctgϕ > 0
y
x
ϕ
tg
ctg
ϕ
cosϕ
ϕ
sin
ϕ
Cetvrti kvadrant:^ ˇ sinϕ < 0 cosϕ > 0 tgϕ < 0 ctgϕ < 0
y
x
tg
ctg ϕ
ϕ
cosϕ
sin
ϕ ϕ
Osnovne trigonometrijske formule:
sin 2 α + cos 2 α = 1 tgα =
sinα
cosα
ctgα =
cosα
sinα
- Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija:
sin(−α) = −sinα cos(−α) = cosα tg(−α) = −tgα ctg(−α) = −ctgα
- Izraˇzavanje jedne trigonometrijske funkcije pomo´cu druge:
sinα =
1 − cos^2 α =
tgα √ 1 + tg 2 α
1 + ctg 2 α
cos α =
1 − sin 2 α =
1 + tg 2 α
ctgα √ 1 + ctg 2 α
tgα =
sin α √ 1 − sin 2 α
1 − cos^2 α
cos α
ctgα
ctgα =
1 − sin 2 α
sin α
cos α √ 1 − cos^2 α
tgα
- Funkcije zbroja i razlike kutova:
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg(α ± β) =
tgα ± tgβ
1 ∓ tgα · tgβ
ctg(α ± β) =
ctgα · ctgβ ∓ 1
ctgβ ± ctgα
- Funkcije dvostrukih kutova: sin 2α = 2 sin α · cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
tg2α =
2tgα
1 − tg 2 α
ctg2α =
ctg 2 α − 1
2ctgα
- Funkcije poloviˇcnog kuta: sin
α
2
1 − cos α
2
cos
α
2
1 + cos α
2
tg
α
2
1 − cos α
1 + cos α
1 − cos α
sin α
sin α
1 + cos α
ctg
α
2
1 + cos α
1 − cos α
1 + cos α
sin α
sin α
1 − cos α
- Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija:
sin α + sin β = 2 · sin
α + β
2
· cos
α − β
2
sin α − sin β = 2 · cos
α + β
2
· sin
α − β
2
cos α + cos β = 2 · cos
α + β
2
· cos
α − β
2
cos α − cos β = − 2 · sin
α + β
2
· sin
α − β
2
tgα ± tgβ =
sin(α ± β)
cos α · cos β
ctgα ± tgβ = ±
sin(α ± β)
sin α · sin β
tgα + ctgβ = ±
cos(α − β)
cos α · sin β
ctgα − tgβ = ±
cos(α ± β)
sin α · cos β
sin α sin β =
[cos(α − β) − cos(α + β)] cos α cos β =
[cos(α − β) + cos(α + β)]
sin α cos β =
[sin(α − β) + sin(α + β)]
- Rjeˇsavanje trokuta:
- Sinusov pouˇcak:
a
sin α
b
sin β
c
sin γ
ili a : b : c = sin α : sin β : sin γ
- Kosinusov pouˇcak: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab · cos γ
cos α =
b 2
2 bc
cos β =
a 2
2 ac
cos γ =
a 2
2 ab
- Jednostavne trigonometrijske jednadˇzbe:
sin x = a x = (−1) k sin
− 1 a + kπ cos x = a x = ± cos − 1 a + 2kπ tg x = a x = tg−^1 a + kπ
ctg x = a x = ctg − 1 a + kπ
v1.2 by tkr
