Institut für Analysis und Numerik
Universität Magdeburg
Thomas Richter
Gozel Judakova
Übung Nr. 3 zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II
Sommersemester 2020
Intervallschachtelung Man lese Abschnitt 6.1.2 Intervallschachtelung und be-
antworte kurz die folgenden Fragen
1. Unter welchen Bedingungen konvergiert die Intervallschachtelung gegen eine Null-
stelle?
2. Wir gehen aus vom Startintervall I= [2, 8]. Wieviele Schritte sind notwendig, um
einen Fehler von 0.01 zu garantieren? (Unabhängig von der Funktion f(x))
3. Man nenne ein Beispiel für ein Nullstellenproblem, wo die Intervallschachtelung
nicht angewendet werden kann, obwohl die Funktion innerhalb eines Intervalls
I= [a,b]eine Nullstelle hat. (Es reicht eine kurze Beschreibung einer speziellen
Situation, eine Skizze oder die Angabe einer Funktion)
Das Newton-Verfahren Man lese Abschnitt 6.1.3 Das Newton-Verfahren. Zentral
ist hier Konvergenzsatz 6.7 und der zugehörige Beweis. Man schaue sich auch das Video
zumNewton-Verfahren.:
Man gebe kurze Antworten:
1. Was ist die Konstruktionsidee des Newton-Verfahrens?
2. Wir betrachten die Funktion f(x) = 1
2x2−2x+1. Ausgehen vom Startwert x0gebe
man die ersten beiden Iterierten x1,x2des Newton-Verfahrens an.
3. Welche Bedingung muss für den Startwert gelten, damit das Newton-Verfahren
konvergiert?
4. Was bedeutet quadratische Konvergenz? Was bedeutet lineare Konvergenz. Man
gebe entweder eine eindeutige Formel an oder beschreibe den Unterschied.
5. An welcher Stelle wird die Bedingung m:= min[a,b]|f0(x)|>0beim Nachweis
der Konvergenz des Newton-Verfahrens zwingend benötigt?
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