Nur auf Docsity: Lade Mathematical methods lecturel und mehr Skripte als PDF für Mathematik herunter!
1.5 Aussagen
In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein “statement”, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! ¨Außerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder falsch zu sein, gelten nicht als Aussagen.
Beispiel 1.10 • “Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutsch- land ist h¨oher als das der USA” ist eine offenbar falsche Aussage.
- “Gute Nacht, Freunde” ist keine Aussage.
H¨aufig h¨angen Aussagen auch von variablen Parametern x ab. Wir sprechen dann von Aussageformen A(x).
Beispiel 1.11 “F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen x gilt: x ist Primzahl” ist eine offen- bar falsche Aussage. Eine richtige Aussage w¨are: “F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen x gilt, dass x nicht negativ ist.” Ein anderes Beispiel einer Aussageform ist: “Unter allen G¨utern gibt es minde- stens ein Gut x, dessen Preis sich ver¨andert”.
F¨ur Aussageformen f¨uhren wir folgende Bezeichnungen ein:
A(x) gilt f¨ur alle x:
x
A(x)
A(x) gilt f¨ur mindestens ein x:
x
A(x)
Interessant wird es, wenn man Aussagen A und B miteinander verkn¨upft. Der Wahrheitswert der verkn¨upften Aussage h¨angt vom Wahrheitswert von A und B ab. Wir wollen das am Beispiel erl¨autern:
Beispiel 1.12 Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Ma- thematik” ist wahr, wenn Franz mindestens eines der beiden F¨acher Wirt- schaft oder Mathematik studiert, eventuell auch beide. Die Aussage ist eine Verkn¨upfung der beiden Aussagen “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften” sowie “Franz studiert Mathematik” durch ein oder. Beachte: Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathe- matik” ist auch wahr, wenn Franz ganz fleißig ist und sowohl Wirtschaftswis- senschaften als auch Mathematik studiert. Es handelt sich beim mathematischen oder nicht um ein entweder-oder.
Konjunktion
Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A und B, geschrieben A ∧ B, wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Die Aussage A und B ist falsch, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A, B falsch ist. Man nennt dies auch die Konjunktion der Aussagen A und B.
Disjunktion
Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A oder B, geschrieben A ∨ B, wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Die Aussage A oder B ist falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind. Man nennt dies auch die Disjunktion der Aussagen A und B.
Man stellt dies h¨aufig auch durch sogenannte Wahrheitstafeln dar. Das ist eine Tabelle, in die wir die m¨oglichen Wahrheitswerte von A und B eintragen (w f¨ur wahr und f f¨ur falsch) und dann die entsprechenden Wahrheitswerte der verkn¨upften Aussagen auswerten. Hier ist die Wahrheitstafel f¨ur die Konjunk- tion:
A B A ∧ B w w w w f f f w f f f f
und hier die f¨ur die Disjunktion:
A B A ∨ B w w w w f w f w w f f f
Kehrt man eine Aussage in ihr Gegenteil um, erh¨alt man die Negation der Aussage. Bezeichnung: A. Klar ist, dass eine negierte wahre Aussage falsch wird und umgekehrt.
Beispiel 1.13 Wir wollen die Aussage A “Deutschland ist Exportweltmeister und Fußballweltmeister” negieren, d.h. wir suchen die Aussage, die wahr ist genau in den F¨allen, in denen A falsch ist. A ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist, wenn also Deutschland nicht Exportweltmeister oder nicht Weltmeister ist.
Dieses Beispiel zeigt, wie wir eine Konjunktion negieren:
A ∧ B = A ∨ B
Ahnlich sieht es mit der Negation der Disjunktion aus:^ ¨
A ∨ B = A ∧ B
x
A(x) Die Preise aller G¨uter bleiben konstant.
x
A(x) Die Preise aller G¨uter ver¨andern sich.
x
A(x) Nicht f¨ur alle G¨uter bleiben die Preise konstant.
x
A(x) Nicht f¨ur alle G¨uter ver¨andern sich die Preise.
(5.)
x
A(x) Der Preis mindestens eines Gutes bleibt konstant.
x
A(x) Der Preis mindestens eines Gutes ver¨andert sich.
x
A(x) Der Preis keines Gutes bleibt konstant.
x
A(x) Der Preis keines Gutes ver¨andert sich.
Beachten Sie, dass hier die erste und achte, die zweite und siebte, die dritte und sechste sowie die vierte und f¨unfte Aussage jeweils gleich sind.
Implikation und ¨Aquivalenz
Die Implikation (geschrieben A ⇒ B) ist falsch, wenn A wahr ist, B aber falsch. In allen anderen F¨allen ist die Implikation wahr. Sprechweise: Wenn A, dann B. Wahrheitstabelle:
A B A ⇒ B w w w w f f f w w f f w
Das ist etwas gew¨ohnungsbed¨urftig, weil A ⇒ B wahr ist, wenn A falsch ist (Aus etwas Falschem darf man alles folgern). Wir nennen A eine hinreichende Bedingung f¨ur B und B eine notwendige Bedingung f¨ur A. Gilt A ⇒ B und B ⇒ A, so nennt man die beiden Aussagen ¨aquivalent. Bezeichnung: A ⇔ B. Die zugeh¨orige Wahrheitstafel ist
A B A ⇔ B
w w w w f f f w f f f w
Zwei Aussagen heißen also ¨aquivalent, wenn sie beide wahr oder beide falsch sind.
Beispiel 1.15 Betrachte die Aussage
“Wenn die Inflation steigt, dann sinkt die Arbeitslosenquote.”
Wir ¨uberlegen uns, welche der folgenden Aussagen dazu ¨aquivalent sind:
- Damit die Arbeitslosenquote sinkt, muss die Inflation steigen.
- Eine hinreichende Bedingung daf¨ur, dass die Arbeitslosenquote sinkt, ist ein Anstieg der Inflation.
- Die Arbeitslosenquote kann nur fallen, wenn die Inflation steigt.
- Wenn die Arbeitslosenquote nicht sinkt, dann steigt die Inflation nicht.
- Die Inflation kann nur steigen, wenn die Arbeitslosenquote sinkt.
Offensichtlich bestehen alle diese Aussagen aus zwei Teilaussagen
Die Arbeitslosenquote sinkt. (Aussage A)
und
Die Inflation steigt. (Aussage B).
Diese Aussagen sind unterschiedlich verkn¨upft. Wir wollen die Wahrheitstafeln f¨ur diese Verkn¨upfungen aufstellen. Die urspr¨ungliche Aussage lautet B ⇒ A, und ihr Wahrheitswert wird zun¨achst bestimmt:
A B B ⇒ A (1) (2) (3) (4) (5) w w w w w w w w w f w f w f w w f w f w f w f f f f w w w w w w
Also sind die Aussagen (2), (4) und (5) ¨aquivalent zur urspr¨unglichen Aussage.
Wir wollen die Aussagen (1) bis (5) noch einmal analysieren:
Beispiel 1.17 Angenommen, jemand behauptet n^2 + n + 41 sei f¨ur alle nat¨urli- chen Zahlen n eine Primzahl. Wir setzen ein und erhalten, dass n^2 + n + 41 eine Primzahl f¨ur alle Zahlen n zwischen 0 und 39 ist. Ist das ein Beweis? Nein! Au- ßerdem ist die Aussage, dass n^2 +n+41 f¨ur alle nat¨urlichen Zahlen eine Primzahl ist, falsch: Setzen Sie einfach n = 40 ein! Wir haben somit ein Gegenbeispiel gefunden.
Etwas formaler. Wir hatten die Aufgabe zu entscheiden, ob eine Aussage A(x) f¨ur alle x gilt. Um zu beweisen, dass die Aussage stets gilt, ben¨otigen wir einen Beweis. Wenn wir aber zeigen wollen, dass die Aussage nicht immer gilt, gen¨ugt es, ein x so anzugeben, dass A(x) falsch ist. Wir haben damit die Allge- meing¨ultigkeit widerlegt. Im obigen Beispiel k¨onnen wir die Behauptung, jede Zahl der Form n^2 + n + 41 sei ein Primzahl, widerlegen, denn f¨ur n = 40 ist n^2 + n + 41 offensichtlich keine Primzahl!
Halten wir fest:
Die G¨ultigkeit einer Aussage A(x) kann man nicht beweisen, indem man die G¨ultigkeit f¨ur einige Werte von x ¨uberpr¨uft. Man kann aber zeigen, dass die Aussage A(x) nicht allgemeing¨ultig ist, wenn man nur ein Gegenbeispiel angibt, also ein xg , f¨ur das A(xg ) falsch ist.
1.6 Mengen
Ein zentrales Konzept f¨ur die Mathematik ist der Begriff der Menge.
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Ob- jekte. Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob das Objekt zur Menge geh¨ort oder nicht. Die Objekte heißen Elemente der Menge
Ist a ein Element der Menge M , schreiben wir auch
a ∈ M
andernfalls
a /∈ M.
Die Elemente einer Menge sind immer alle verschieden.
Es gibt unterschiedliche M¨oglichkeiten, Mengen zu beschreiben. Wir wollen die Menge M aller geraden ganzen Zahlen zwischen 2 und 15 beschreiben:
- Aufz¨ahlung M = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 }.
- teilweise Aufz¨ahlung M = { 2 , 4 , 6 ,... , 12 , 14 }. Hierbei muss man aufpassen, dass es nicht zu Missverst¨andnissen kommt.
- Beschreibung durch charakteristische Eigenschaften M := {x : x ∈ Z und x ≥ 2 und x ≤ 15 und x gerade}.
Die leere Menge ∅ ist die Menge, die kein Element enth¨alt.
Beispiel 1.18 ∅ = {x : x wohnt in der Bundesrepublik Deutschland und x ist im Jahre 1700 geboren}
Die M¨achtigkeit oder Ordnung einer Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Unsere oben betrachtete Menge M = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 } hat also die M¨achtigkeit 7. Schreibweise:
|M | = Anzahl der Elemente in M.
Falls M unendlich viele Elemente hat, schreiben wir |M | = ∞ (∞: unendlich).
Intervalle
Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von Intervallen
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} offenes Intervall, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
halboffene Intervalle.
Intervalle der Form
[a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} (a, ∞) = {x ∈ R : x > a} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlos- sene, die letzten beiden offene Intervalle.
Beziehungen zwischen Mengen
Wir nennen A eine Teilmenge von B, wenn jedes Element aus A auch ein Ele- ment von B ist. Dabei darf auch A = B gelten.
A ⊆ B: A Teilmenge von B A ( B: A Teilmenge von B und A 6 = B
Die Differenz von Mengen ist wie folgt definiert:
A \ B = {x : x ∈ A und x /∈ B.}
A B
A \ B
Ist A eine Teilmenge einer Menge Ω (dieses Ω geht oft aus dem Zusammenhang hervor, z.B. Ω = R), so schreiben wir statt Ω \ A auch A oder, genauer, AΩ = Ω \ A:
A
A
Beispiel 1.20 Wir betrachten die folgenden vier Mengen:
A = {x : x ∈ R und 1 ≤ x ≤ 6 }
B = {x : x ∈ N und x < 6 }
C = {x : x ∈ N und x ≥ 2 }
D = {x : x ∈ R und x < 6 }
Dann gilt:
A ∩ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
A \ D = { 6 }
A ∩ C = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
C \ A = {x : x ∈ N und x > 6 }
B ∩ C = { 2 , 3 , 4 , 5 }
B ∪ C = N
A ∩ N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
AR = {x : x ∈ R und (x < 1 oder x > 6)}
BN = { 6 , 7 , 8 ,.. .}.
Mengenalgebra
Idempotenzgesetze A ∪ A = A A ∩ A = A
Kommutativgesetze A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Assoziativgesetze A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Distributivgesetze A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Inklusionsgesetze A ⊆ A ∪ B A ∩ B ⊆ A
Man macht sich diese Regeln am besten anhand einiger Mengendiagramme (Venn-Diagramm) klar. Wir illustrieren hier nur das erste Distributivgesetz. Im ersten Diagramm sehen wir die Menge B ∩ C schraffiert. Danach vereini- gen wir diese Menge mit A. Im letzten Bild haben wir die Mengen A ∪ B und
Beispiel 1.
- X: Menge der MathematikerInnen. Y : Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen. Eine Relation zwischen X und Y wird z.B. durch “Mathematiker x ist j¨unger als Wirtschaftswissenschaftler y” erkl¨art.
- Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller M¨anner. Als Relation zwischen X und Y w¨ahlen wir “verheiratet”.
- A = { 1 , 2 }, B = { 2 , 3 }. Dann ist
A × B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.
Wir erhalten z.B. folgende Relationen:
R 1 = {(a, b) ∈ A × B : a = b} = {(2, 2)}
R 2 = {(a, b) ∈ A × B : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
R 3 = {(a, b) ∈ A × B : a ≤ b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 2)} = A × B
R 4 = {(a, b) ∈ A × B : a + b = 2} = ∅
Man kann diese Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu malen wir die Menge A und die Menge B auf und verbinden zwei Elemente mit einem Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen:
R 3
R 1
R 2
R 4
Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile be- ginnen k¨onnen. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile ankommen. Solche Pfeildiagramme sind nat¨urlich unhandlich, wenn die Mengen X und Y unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, k¨onnen wir versuchen, die Menge der Punkte (x, y) ∈ R in einem Koordinatensystem zu skizzieren.
Abbildungen
In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun.
Eine Abbildung f : X → Y aus X nach Y ist eine Relation zwischen X und Y , so dass es zu jedem x ∈ X h¨ochstens ein y ∈ Y gibt, so dass x und y in Relation zueinander stehen. Das Element y wird mit f (x) bezeichnet.
In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass in jedem Element x ∈ X h¨ochstens ein Pfeil beginnt:
Manchmal wird zus¨atzlich gefordert, dass jedem x ∈ X ein y so zugeordnet wird, dass x und y in Relation stehen. Wir benutzen hier manchmal folgende Sprechweise: Wenn jedem x ∈ X h¨ochstens ein y zugeordnet wird, so sprechen wir von einer Funktion aus X nach Y. Wird jedem x ∈ X genau ein f (x) zugeordnet, so wollen wir von einer Abbildung von X nach Y sprechen:
Beispiel 1.23 Wir betrachten f : R → R definiert durch f (x) = lg x (deka- discher Logarithmus). Wir haben schon gesehen, dass der Logarithmus nur f¨ur positive Zahlen erkl¨art ist. Der Definitionsbereich ist also R+:
–1.
–0.
1
5 10 15 20
x
Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken ¨uber die Frage, ob eine Abbil- dungen von oder aus einer Menge X erkl¨art ist. Wichtig ist nur, dass bei der Beschreibung einer Abbildung durch eine Vorschrift, wie z.B. lg x oder (^) x (^21) − 1 , zu beachten ist, dass diese Vorschrift f¨ur einige Werte von x m¨oglicherweise nicht definiert ist. Oft liegt das daran, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere M¨oglichkeiten: Logarithmen oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische Funktionen haben Stellen, wo sie nicht definiert sind, z.B. tan(π/2) ist nicht definiert.
Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht man von Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind. Wenn wir hier von Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa nur R, sondern auch R^2 , R^3 usw. Denken Sie daran: ¨Okonomische Daten h¨angen fast nie nur von einer Variablen ab.
Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv wenn aus f (x 1 ) = f (x 2 ) stets x 1 = x 2 folgt. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ Y (mindestens) ein x ∈ X gibt mit f (x) = y. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist und es zu jedem x ∈ X ein y gibt mit f (x) = y (f also insbesondere eine Abbildung von X nach Y ist).
F¨ur unsere Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das Folgendes:
injektiv: in jedem y ∈ Y endet h¨ochstens ein Pfeil surjektiv: in jedem y ∈ Y endet mindestens ein Pfeil bijektiv: in jedem y ∈ Y endet genau ein Pfeil und in jedem x ∈ X beginnt genau ein Pfeil.
−x^2 + 1 = y, also −x^2 = y − 1, also x^2 = 1 − y. Eine L¨osung ist x = −
1 − y: Beachten Sie, dass 1 − y ≥ 0, wir k¨onnen also die Wurzel ziehen. Wenn wir dieses x nun in die Funktionsvorschrift einsetzen, m¨ussen wir beachten, dass x 0 gilt, wir sind also im zweiten Fall unserer obigen Definition von f. Einsetzen liefert
f (−
1 − y) = −(1 − y) + 1 = y,
wir haben also ein x gefunden mit f (x) = y. Die Abbildung ist nicht injektiv, weil f (0) = f (−1) = 0 gilt. Hier ist der Funktionsgraph:
- Die Abbildung f (x) = x^2 ist weder injektiv noch surjektiv: Sie ist nicht injektiv, weil beispielsweise f (2) = f (−2) = 4 gilt (allgemeiner: f (x) = f (−x)), und sie ist nicht surjektiv, weil f (x) ≥ 0 gilt, es gibt also f¨ur negative Zahlen y kein x mit f (x) = y. Wenn wir den Bildbereich aber einschr¨anken und f als Abbildung R → R≥ 0 auffassen, dann ist f surjektiv (aber immer noch nicht injektiv).
- Die Funktion f (x) = 2x^ ist injektiv: Die L¨osung von 2x^ = y ist x = log 2 (y). Allerdings ist die Funktion nicht surjektiv, weil stets 2x^ 0 gilt. Die Funk- tion f −^1 erhalten wir, indem wir versuchen, f (x) = y nach x aufzul¨osen. Das ist aber ja gerade die Logarithmusfunktion. Wir haben beide Funk- tionen im folgenden Graphen visualisiert (rot 2x; blau der Logarithmus):
Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f −^1 : Y → X durch folgende Vorschrift: f −^1 (y) = x, wobei x ∈ X durch die Eigenschaft f (x) = y bestimmt ist. Beachte, dass x wegen der Injektivit¨at eindeutig bestimmt ist. In unseren Pfeilbildern bedeutet dies einfach, dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbil- dung f −^1 heißt die zu f inverse Abbildung.
Beachte, dass auch f −^1 injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist und zus¨atzlich f −^1 auch surjektiv ist.
Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau ein Pfeil aus und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das heißt insbesondere, dass X und Y gleich viele Elemente haben.
Wir erhalten die inverse Abbildung von f , indem wir f (x) = y nach x aufl¨osen, sofern dies m¨oglich ist. Wir vertauschen dann x und y und erhalten so die Umkehrfunktion.
Beispiel 1.25 Wir betrachten
f (x) =
e−x^ + 1
