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Baudynamik
Jan Höffgen
18. Februar 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Koordinatensysteme 2
2 Bewegungsgleichungen 2 2.1 Allgemeines................................................ 2 2.2 Synthetische Methode nach d’Alembert................................ 4 2.3 Analytische Methode mit den Lagrange’schen Gleichungen 2. Art.................. 4 2.4 Systeme mit zwei Freiheitsgraden.................................... 5
3 Fourierentwicklung 5
2 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN
1 Koordinatensysteme
- karthesisch
- ~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez
- ~v(t) = ˙x(t)~ex + ˙y(t)~ey + ˙z(t)~ez
- ~a(t) = ¨x(t)~ex + ¨y(t)~ey + ¨z(t)~ez
- polar
- ~er (ϕ) = cos ϕ~ex + sin ϕ~ey , eϕ(ϕ) = − sin ϕ~ex + cos ϕ~ey
- d~ dϕer = ~eϕ
- d~ dϕeϕ = ~er
- e~˙r = d~ dter = d~ dϕer ϕ˙ = ˙ϕ~eϕ
- e~˙ϕ = d~ dteϕ = − ϕ~˙er
- ~r(t) = r(t)~er (ϕ(t))
- ~v(t) = ˙r~er + r ϕ~˙eϕ
- ~a(t) = (¨r − r ϕ˙^2 )~er + (2 ˙rϕ^2 + r ϕ¨)~eϕ, mit ϕ˙ = ω, Zylinderkoord. im 3D
2 Bewegungsgleichungen
2.1 Allgemeines
k m = 2πf^ =^
2 π T : Eigenkreisfrequenz
- δ = 2 dm : Abklingkoeffizient
- τ = ω 0 · t: dimensionslose Eigenzeit
- D = 2 √dkm : dimensionsloses Dämpungsmaß ∗ 1 < D: Kriechbewegung ∗ 0 < D < 1 : gedämpfte Schwingung ∗ D = 0: ungedämpfte Schwingung ∗ − 1 < D < 0 : oszillatorische Anfachung ∗ D < − 1 : nicht oszillatorische Anfachung
- Ω = (^2) Tπe : Erregerkreisfrequenz
- η = (^) ωΩ 0 : Abstimmungsverhältnis
- ν =
1 − D^2
- Typen von Bewegungsgleichungen
- Ungedämpfte freie Schwingung ∗ DGL: x¨ + ω^2 x = 0 ∗ Lsg: x(t) = C cos(ωt − α)
- Gedämpfte freie Schwingung ∗ DGL: x¨ + 2δ x˙ + ω^2 x = 0 ∗ Lsg (für D 1 ): x(t) = Ce−δt^ cos(
1 − D^2 ωt − α) = Ce−δt^ cos(ντ − α)
- Ungedämpfte erzwungene Schwingung mit F (t) = F 0 cos(Ωt) ∗ DGL: x¨ + ω^2 x = ω^2 X 0 cos(Ωt) ∗ Lsg: xp(t) = X 0 V cos(Ωt) · V = (^1) −^1 η 2 im Allgemeinen; muss bestimmt werden durch Ableiten von xp und Koeffizientenvergleich
2 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN
- Isolierung
- Aktiv: Abschirmung von Maschinen vom Restbauteil (k mΩ
2 2 )
- Passiv: Abschirmung des Bauteils vom bewegten Boden
- Übetragungsfunktion V 2 ≡ Vergrößerungsfunktion für Fundamenterregung
2.2 Synthetische Methode nach d’Alembert
- Definition der Bewegung jedes einzelnen Körpers (Rot., Trans., Rot.+Trans.)
- Koordinaten einführen
- Anzahl Freiheitsgrade
- Freischnitt aller Teilkörper in allgemeiner Lage
- GGW an jedem Körper
Fx = m · x¨
- Drallsatz um Schwerpunkt:
M S^ = JS^ · ϕ¨
M A^ = JA^ · ϕ¨
- JA^ = JS^ + m · zs
- Prismen: JS^ = IP γt = IP mA
- Quarder: JS^ = m 12 (b^2 + l^2 )
- Kreiszylinder: JS^ = m 2 r^2
- Stab: JS^ = 121 ml^2
- Bindungsgleichungen
- Linearisieren
- Bewegungsgleichungen
2.3 Analytische Methode mit den Lagrange’schen Gleichungen 2. Art
- Anzahl FHGe (f )
- generalisierte Koordinatenn qk, k = 1, ..., f
- Ortsvektoren zu einzelnen (n) Schwerpunkten in allgemeiner Lage ri = ri(q 1 , ..., qk), i = 1, ..., n
- NN definieren
- Berechnung der Quadrate der Geschwindigkeiten | r˙i|
- Energieausdrücke
- T = Ttrans + Trot = 12 m| r˙i|^2 + 12 J(S/A)^ ϕ˙^2
- V = VLage + VF eder = mgh + 12 ku^2 + 12 cϕ^2
- Generalisierte Kräfte Q∗ k =
j F^
∗ j ◦^
∂rj ∂qk
- f Lagrange’sche Gleichungen: (^) dtd
∂T ∂ q˙k
3 FOURIERENTWICKLUNG
2.4 Systeme mit zwei Freiheitsgraden
- Allgemeine Form der ungedämpften Schwingung: M q¨ + Kq = 0
[
m 11 m 12 m 12 m 22
]
[
k 11 k 12 k 12 k 22
]
[
c 1 c 2
]
· cos(ωt + α)
- Bestimmung der Eigenvektoren über charakteristische Gleichung: det(K − ω^2 M ) = 0
b^2 − 4 ac) ∗ a = m 11 m 22 − m^212 ∗ b = k 11 m 22 + k 22 m 11 − 2 k 12 m 12 ∗ c = k 11 k 22 − k 122
- Amplitudenverhältnis κi = m^11 ω
(^2) i −k 11 k 12 −m 12 ω^2 i
- Wenn κ 1 = 1 Starrkörperbewegung in einem mehr-FHG-System
- Eigenvektoren
- Grundschwingung: φ 1 =
[
κ 1
]
[
κ 2
]
- Eigenformen: 1. FHG um 1 auslenken, 2. FHG um κi auslenken
- Abschätzen der kleinsten Eigenfrequent über den Rayleigh-Koeffizienten: w^21 ≤ R = ϕT^ ·K·ϕ ϕT^ ·M ·ϕ
- Raten von ϕ, z. B. ϕ =
[
]
oder ϕ =
[
]
- Homogene Lösung der Bewegungsgleichung: qH = q 1 + q 2
[
κ 1
]
cos(ω 1 t + α 1 )
[
κ 2
]
cos(ω 2 t + α 2 )
≡ q 1 (t) = C 11 cos(ω 1 t + α 1 ) + C 12 cos(ω 1 t + α 2 ) ≡ q 2 (t) = C 11 κ 1 cos(ω 1 t + α 1 ) + C 12 κ 2 cos(ω 1 t + α 2 )
- Partikulärlösung bei harmonischer Erregung: qP =
[
a 1 a 2
]
cos(Ωt)
[
b 1 b 2
]
sin(Ωt)
- Getrennt nach Sinus und Kosinus ableiten, einsetzen und LGS über Determinanten lösen
- Schwingungstilgung: a 1 = 0!
3 Fourierentwicklung
- Für T-periodische Funktion f und Intervall I der Länge T gilt: F (x) = a 0 +
k=1(ak^ cos(^ 2 kπ T x) +^ bk^ sin(^
2 kπ T x))
I f^ (x)dx
I f^ (x) cos(^
2 kπ T x)dx
I f^ (x) sin(^
2 kπ T x)dx
- f ungerade ↔ ak = 0 für k ≥ 0
- f gerade ↔ bk = 0 für k ≥ 1
