Besser lernen dank der zahlreichen Ressourcen auf Docsity
Heimse Punkte ein, indem du anderen Studierenden hilfst oder erwirb Punkte mit einem Premium-Abo
Prüfungen vorbereiten
Besser lernen dank der zahlreichen Ressourcen auf Docsity
Download-Punkte bekommen.
Heimse Punkte ein, indem du anderen Studierenden hilfst oder erwirb Punkte mit einem Premium-Abo
E1 Gegeben seien die komplexen Zahlen a =3+4i und b = 1 - 7i. ... E4 Wie sieht die komplexe Zahl z = ... komplex konjugierte Zahl.
Art: Prüfungen
1 / 11
Diese Seite wird in der Vorschau nicht angezeigt
Lass dir nichts Wichtiges entgehen!
Wenn wir die Welt um uns betrachten macht es im ersten Moment wom¨oglich wenig Sinn die reellen Zahlen zu erweitern. Alle Messgr¨oßen sind reellwertig, oft sogar nur positiv. Wir werden allerdings bereits in der diskreten Quantenmechanik sehen, dass die kom- plexen Zahlen sehr weit gef¨acherte Anwendungen haben. Beispielsweise um zus¨atzlich zu linear polarisiertem Licht auch die zirkul¨are Polarisation von Licht beschreiben zu k¨onnen.
E1 Gegeben seien die komplexen Zahlen a = 3 + 4i und b = 1 − 7 i. Berechnen Sie:
a. a + b b. a − b c. a · b d. ab
E2 Geben Sie die Zahl z = 3 + 4i mit Hilfe der Eulerformel an.
E3 Bestimmen Sie die komplex Konjugiere, sowie den Betrag der Zahl z = 3 + 4i.
E4 Wie sieht die komplexe Zahl z =
2 · ei·^ π 4 in algebraischer Form aus?
Im n¨achsten Schritt wollen wir uns ansehen, wie man diese Nullstellen rechnerisch bestimmen kann. Wir bleiben bei unserem Beispiel von oben und beginnen mit dem Fall c = − 1. Um die Nullstelle zu berechnen setzen wir die Funktion gleich Null:
x^2 − 1 = 0
Durch Umformen dieser Gleichung erh¨alt man x = ± 1. Dieses Ergebnis stimmt mit den Nullstellen, die man in Abbildung 1 ablesen kann ¨uberein. Nun wollen wir den zweiten Fall betrachten, n¨amlich c = 0. Um die Nullstelle zu berechnen m¨ussen wir die Funktion auch hier Null setzen und erhalten:
x^2 = 0
Wir wissen, dass nur x = 0 diese Gleichung erf¨ullt. Auch dies stimmt mit den abgele- senen Nullstellen aus Abbildung 1 ¨uberein. Jetzt fehlt noch der letzte Fall und dieser ist mit Abstand der interessanteste. Versuchen wir die Nullstelle unserer Funktion f¨ur c = 1 zu berechnen.
x^2 + 1 = 0
Als erstes formen wir diese Gleichung folgendermaßen um:
x^2 = − 1
Wir wollen uns die Frage stellen, ob es eine Zahl gibt, deren Quadrat − 1 ergibt. Mit anderen Worten gesagt, wollen wir die Wurzel der negativen Zahl -1 ziehen. Jedoch kennen wir aus dem Bereich der reellen Zahlen keine solche Zahl, die das erf¨ullt. Auch aus Abbildung 1 ist keine Nullstelle ersichtlich. Mathematisch gesehen spricht allerdings nichts dagegen eine solche Zahl zu definieren und genau das wollen wir nun auch tun^1.
Wir definieren die imagin¨are Einheit i, sodass gilt:
i^2 = − 1
Die komplexen L¨osungen der Gleichung x^2 = − 1 sind somit x = ±i. Es ist leicht zu sehen, dass auch (−i)^2 = − 1 ergibt. Zuvor wollen wir uns ganz allgemein ansehen, wie man mit diesen ”
neuen“ Zahlen rechnen kann. (^1) Man kann einige Argumente finden, warum man beispielsweise nicht durch 0 dividieren darf. Ein
solches Argument findet man allerdings f¨ur die Wurzeln negativer Zahlen nicht. Daher kann man versuchen dieses Problem zu l¨osen.
2 Rechenregeln f¨ur komplexe Zahlen
Bevor wir beginnen mit komplexen Zahlen zu rechnen, sehen wir uns an, wie die- se ganz allgemein aussehen k¨onnen. Dazu werden wir nun zwei weitere quadratische Gleichungen l¨osen.
Wir beginnen mit der ersten Gleichung. Um diese Gleichung zu l¨osen, formen wir sie zuerst einmal um: x^2 = − 4
Wir suchen eine Zahl deren Quadrat -4 ergibt. Dabei hilft es uns, wenn wir die Zahl - als Multiplikation 4 · (−1) schreiben. Durch partielles Wurzelziehen^2 erh¨alt man ± 2 · i. Wir sehen somit, dass man die imagin¨are Einheit mit einer reellen Zahl multiplizieren kann. Widmen wir uns nun der zweiten Gleichung. Um diese zu l¨osen, hilft es uns in die L¨osungsformel der quadratischen Gleichung^3 einzusetzen
x 1 , 2 = −
−4 = 1 ± 2 i
Aus diesem Ergebnis sehen wir, dass es auch sein kann, dass im Allgemeinen eine komplexe Zahl auch einen reellen Teil haben kann.
Eine komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil a und einem Imagin¨arteil b. Dabei gilt a, b ∈ R z = a + i b
Wir haben gesehen, dass wir eine komplexe Zahl mit Hilfe zweier reeller Zahlen be- schreiben k¨onnen. Man kann somit auch sagen, dass die komplexen Zahlen C dem Raum der zweidimensionalen Vektoren R^2 entsprechen. Dazu sp¨ater mehr. Die Rechengesetze f¨ur komplexe Zahlen sind denkbar einfach definiert. Beginnen wir
2 √a · b = √a · √b (^3) Eine quadratische Gleichung x (^2) + px + q = 0 kann durch die folgende L¨osungsformel gel¨ost werden:
x 1 , 2 = − p 2 ±
√ p^2 4 − q
Wenn man sowohl den Z¨ahler als auch den Nenner ausmultipliziert erh¨alt man:
a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i
a 1 a 2 + b 1 b 2 a^2 + b^2
a 1 b 2 + a 2 b 1 a^2 + b^2
i
Im Teil Ubungsbeispiele¨ werden die Rechenregeln anhand von Beispielen veranschau- licht.
Die Zahl (a − b i), die wir zum L¨osen der Division verwendet haben, wird uns noch ¨ofter begegnen und daher wollen wir ihr einen Namen geben.
Zu einer komplexen Zahl z = a + b i nennen wir die Zahl z∗^ = a − b i die komplex konjugierte Zahl.
3 Geometrische Interpretation und was man daraus
lernen kann
Wir haben bereits gesehen, dass wir die komplexen Zahlen C mit den zweidimensionalen Vektoren des R^2 vergleichen k¨onnen. Eine komplexe Zahl kann als Punkt in der Ebene aufgefasst werden, wobei der Realteil die x-Koordinate und der Imagin¨arteil die y- Koordinate angibt (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Hier sieht man wie eine Vektor (links) und eine komplexe Zahl (rechts) in der zweidimensionalen Ebene dargestellt werden k¨onnen.
Wenn wir zur¨uckdenken welche Eigenschaften wir den Vektoren zugeordnet haben, k¨onnen wir uns ¨uberlegen, ob manche auch auf die komplexen Zahlen ¨ubertragen werden k¨onnen. Wir wollen hier den Betrag anf¨uhren. Dieser wurde bei den Vektoren
¨uber den Satz des Pythagoras eingef¨uhrt. Zur Erinnerung: Ein Vektor ~v =
x y
hat
den Betrag |~v| =
x^2 + y^2. Dieser Betrag beschreibt genau die L¨ange des Vektors. Da eine komplexe Zahl einem Punkt in der Ebene entspricht, werden wir den Betrag, wie auch bei den reellen Zahlen, als Abstand vom Ursprung definieren. Aus Abbildung 2 sehen wir, dass dieser Abstand genau der L¨ange des Vektors entspricht, der zu diesem Punkt zeigt.
Der Betrag einer komplexen Zahl z = a+b i kann folgendermaßen berechnet werden: |z| =
a^2 + b^2
Durch Vergleich mit Gleichung (2) sehen wir, dass auch der folgende Zusammenhang gilt, der uns auch bei der Bra-Ket-Notation wieder begegnen wird:
Der Betrag einer komplexen Zahl kann auch mit Hilfe der komplex konju- gierten berechnet werden.
z∗z = a^2 + b^2 = |z|^2
4 Eine andere Art der Darstellung, sowie ihre Vor-
und Nachteile
Im Baustein ” Koordinatensysteme und -transformationen“ haben wir die Polardarstel- lung von Vektoren bereits kennengelernt. Auch eine komplexe Zahl k¨onnen wir in einer solchen Darstellung angeben. Wir werden sehen, dass wir in der Quantenmechanik oft komplexe Zahlen brauchen, deren Betrag |z| = 1 ist. Diese Eigenschaft k¨onnen wir mithilfe der sogenannten Polardarstellung sehr leicht fordern.
Ein Vektor ~v =
x y
wird in Polarkoordinaten durch seinen Betrag und den Winkel, den er mit der positiven x-Achse einschließt beschrieben. Genau so werden wir auch die Polardarstellung der komplexen Zahl z = a + b i angeben.
Abbildung 3: Hier wurde die komplexe Zahl z = 0, 6 + 0, 8 i auf dem Einheitskreis dargestellt.
Hingegen wird eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten durch ihren Betrag und den Winkel mit der positiven x-Achse beschrieben. Da f¨ur jeden Winkel ϕ = ϕ + 2πn gilt, gilt auch f¨ur eine komplexe Zahl z = |z| · eiϕ^ = |z| · ei(ϕ+2πn)^ mit n ∈ Z. Wenn wir den Winkel ϕ nicht auf das Intervall [0; 2π) einschr¨anken, ist die Polardarstellung nicht eindeutig.
U1^ ¨ a. Wie viele reelle Zahlen gibt es, deren Betrag 1 ist?
b. Wie viele komplexe Zahlen gibt es, deren Betrag 1 ist? c. Was ist die geometrische Bedeutung des Betrags?
U2 Finden Sie zumindest eine L¨¨ osung f¨ur die Gleichung ex^ = − 1 und begr¨unden Sie Ihre ¨Uberlegung. Gibt es weitere L¨osungen und wie k¨onnten diese aussehen?
U3 Wie sieht die komplexe Zahl¨ z =
2 · ei·^
π 4 in algebraischer Form aus? Ist die von Ihnen angegebene L¨osung die einzig m¨ogliche? Falls nein, welche gibt es noch?
U4 Schreiben Sie die komplexe Zahl¨ z = 4 + 3i in Polarkoordinaten an. Ist die von Ihnen angegebene L¨osung die einzig m¨ogliche? Falls nein, welche gibt es noch?
U5 Was passiert, wenn man eine komplexe Zahl zwei mal komplex konjugiert?¨
