HTW Berlin Tanja Opitz
SS 13 LZM
Algebraische Normalform
Trigonometrische Normalform
Exponentielle Normalform
∗
|
|
∗
∗
|
|
∗
∗
Kenngrößen:
Wichtige Formeln zur Umformung:
||
arg
→
!"
#$%
&
'
→
("%
ä
!"
#$%
&
'
→*"+,/.!(#$%
→ /"%0 /1(+%!#$%
0°45 360°
04529
|
|
:
;
;
||∗cos
||∗sin
.$(%ß
/"%0 9
180°
D
E
E
E
E
F
E
E
E
E
G
H!%
I
J
K
ü
M
0
;
O
0
9
2Kü0;M0
H!%I
J9Kü50
39
2Kü0;50
H!%
I
J
2
9
K
ü
M
0
;
5
0
Rechenoperationen:
z
1
= a
1
+ i*b
1
oder z
1
= |z
1
|*exp(
ϕ
1
*i) und z
2
= a
2
+ i*b
2
oder z
2
= |z
2
|*exp(
ϕ
2
*i)
Addition/ Subtraktion:
Multiplikation/ Division:
→ algebraische Normalform
z
1
± z
2
= (a
1
± a
2
) + i*(b
1
± b
2
)
→ algebraischen Normalform
z
1
* z
2
= (a
1
a
2
– b
1
b
2
) + i*(a
1
b
2
+ b
1
a
2
)
z
1
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
+
i*
b
1
a
2
– a
1
b
2
z
2
(a
2
)² + (b
2
)² (a
2
)² + (b
2
)²
→ trigonometrische + exponentielle Normalform
Multiplikation Division
Produkt der Beträge + Summe der Winkel Quotient der Beträge + Differenz der Winkel
z
1
*z
2
= |z
1
|*|z
2
|*exp(i*(
ϕ
1
+
ϕ
2
)) z
1
: z
2
= |z
1
|:|z
2
|*exp(i*(
ϕ
1
-
ϕ
2
))
z
1
*z
2
= |z
1
|*|z
2
|*(cos(
ϕ
1
+
ϕ
2
)+ i*(sin(
ϕ
1
+
ϕ
2
)) z
1
: z
2
= |z
1
|:|z
2
|*(cos(
ϕ
1
-
ϕ
2
)+ i*(sin(
ϕ
1
-
ϕ
2
))
→ BEACHTE: ϕ sollte im Intervall 0 ≤ ϕ < 2π liegen
Konjugiertes Komplex:
Potenzen:
Wurzeln:
Logarithmus:
z* =
P
= a – b*i
mit z = a+b*i
Formel von MOIVRE:
z
n
= |z|
n
* exp(i*n*
ϕ
)
z
n
= |z|
n
* (cos(n*
ϕ
)+ i*(sin(n*
ϕ
))
→ Gleichung hat genau eine Lösung
√
R
:
|
|
R
∗
S
∗
T
U
;
VW
X
k = {0; 1; 2; … ; n-1}
→ Gleichung hat genau n Lösungen
ln(z) = ln(|z|) + i*
ϕ
→ input: exponentielle Normalform
→ output: algebraische Normalform
FORMELSAMMLUNG - KOMPLEXE ZAHLEN
