Nur auf Docsity: Lade MATHS DEVOIR 2 TERMINALE und mehr Abiturprüfungen als PDF für Mathematik herunter!
MA06 – Corrigé Devoir N° 3
Exercice 1
Dans le cube ABCDEFGH , on considère le point I , centre de la face ABFE , et le point J ,
milieu de l’arête FG
. Dans tout l’exercice, on se place dans le repère (^) ( A AB AD AE^ ;^ ,^ , ).
Quoi
1. Le repère (^) ( A AB AD AE^ ;^ ,^ , )est un repère orthonormé.
2. Les coordonnées des points I , J et D dans ce repère sont
et( 0;1;0)
3. Le vecteur IJ a pour coordonnées
, c’est-à-dire
Le vecteur (^) ID a pour coordonnées
, c’est-à-dire
4. Puisque l’on est dans un repère orthonormé, on peut calculer le produit scalaire des
vecteurs à partir de leurs coordonnées. Ainsi
IJ ID
Les vecteurs IJ et ID sont orthogonaux, ce qui signifie que les droites ( IJ )et ( ID )sont
orthogonales. Puisque ces droites ont le point I en commun, elles sont perpendiculaires en
I : le triangle IJD est bien rectangle en I
5. Le vecteur DI a pour coordonnées
Le vecteur DJ a pour coordonnées
, c’est-à-dire
Il en vient que ( )
DI DJ
Par ailleurs,
2 2 1 2 1 1 1 3 ( 1) 1 2 2 4 4 2
DI DI DI
2 2 1 2 1 9 3 1 1 1 1 2 4 4 2
DJ DJ DJ
( )
EI ID
EI IJ
Le vecteur EI est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ( IJD ), il est donc
normal à ce plan.
8. D’après les questions précédentes, la hauteur du tétraèdre IJDE issue de E est le
segment IE
. Le volume de ce tétraèdre vaut donc
Aire de IJD IE
3
.
Or, le triangle IJD est rectangle en I. Son aire vaut donc
2
IJ ID
. On sait que
ID =. De
plus,
2 2 2 1 1 1 1 1 1 3
IJ IJ IJ
Ainsi, l’aire du triangle IJD vaut
De plus,
2 2 1 2 1 1 1 1 0 0 (^2 2 4 4 )
EI EI EI
Finalement, le volume du tétraèdre IJDE vaut
1 3 2 1 1
3 8 2 8
Exercice 2
1. Le vecteur AB a pour coordonnées
soit
Le vecteur BC a pour coordonnées
( )
−^ −
soit
Or,
15 5
4 3
− − −
. Les vecteurs AB et BC ne sont donc pas colinéaires. Les points A , B et
C ne sont donc pas alignés.
2. On a déjà vu que le vecteur (^) BC a pour coordonnées
. Le vecteur
2
5
t BC
− a donc
pour coordonnées
( )
( )
t
t
t
, c’est-à-dire
t
t
t
Le vecteur BM a pour coordonnées
( )
t
t
t
soit
t
t
t
On trouve bien que
2
5
t BM BC
−
3. Que peut-on en déduire sur les points B , C et M?
4. Le repère est orthonormé. On a donc
2 2 2 2 2 2 2
AM = (1 + 3 t − 3) + ( t − 5) + (1 − t − 1 ) = (3 t − 2) + ( t − 5) + −( t )
Ainsi,
AM = 9 t − 12 t + 4 + t − 10 t + 25 + t = 11 t − 22 t + 29
5. On considère la fonction f définie pour tout réel x par ( ) 2 f x = 11 x − 22 x + 29
a. f est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur R. De plus, pour tout
réel x , f ' ( x )= 22 x − 22
b. 22 x − 22 0 x 1. On en déduit le tableau de variations de f.
f admet un minimum en x = 1 et ce minimum vaut 18.
6. On admet que la distance AM est minimale si et seulement si la quantité
^ AM est
minimale.
