Vorlesung Technische Informatik 1 SS 2020 T. Ihme
Beispiele für die Bedeutung eines n-bit-Wortes:
• Befehl (instruction)
• Zahl (number)
•Zeichen (character)
•Bildelement (pixel)
Codes (1)
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Technische Informatik 1, Mitschriften von Technische Informatik
Paritätsbit 16 richtig (16,17,18,19,20,21 enthalten zusammen 4 Einsen) ... Algorithmus zur Berechnung der Prüfsumme: Codes (25). Polynomialcodes ...
Art: Mitschriften
2021/2022
1 / 37
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Beispiele für die Bedeutung eines n-bit-Wortes:
- Befehl (instruction)
- Zahl (number)
- Zeichen (character)
- Bildelement (pixel)
DEZ HEX Zeichen DEZ HEX Zeichen DEZ HEX Zeichen DEZ HEX Zeichen 00 00 NUL 32 20 SP 64 40 @ 96 60 ` 01 01 SOH 33 21! 65 41 A 97 61 a 02 02 STX 34 22 " 66 42 B 98 62 b 03^03 ETX^ 35^23 #^ 67^43 C^ 99^63 c 04 04 EOT 36 24 $ 68 44 D 100 64 d 05 05 ENQ 37 25 % 69 45 E 101 65 e 06 06 ACK 38 26 & 70 46 F 102 66 f 07 07 BEL 39 27 ' 71 47 G 103 67 g 08 08 BS 40 28 ( 72 48 H 104 68 h 09^09 HT^ 41^29 )^ 73^49 I^ 105^69 i 10 0A LF 42 2A * 74 4A J 106 6A j 11 0B VT 43 2B + 75 4B K 107 6B k 12 0C FF 44 2C , 76 4C L 108 6C l 13 0D^ CR^ 45 2D^ -^ 77 4D^ M^ 109 6D^ m 14 0E SO 46 2E. 78 4E N 110 6E n 15 0F^ SI^ 47 2F^ /^ 79 4F^ O^ 111 6F^ o 16 10 DLE 48 30 0 80 50 P 112 70 p 17^11 DC1^ 49^31 1 81^51 Q^ 113^71 q 18 12 DC2 50 32 2 82 52 R 114 72 r 19^13 DC3^ 51^33 3 83^53 S^ 115^73 s 20 14 DC4 52 34 4 84 54 T 116 74 t 21^15 NAK^ 53^35 5 85^55 U^ 117^75 u 22 16 SYN 54 36 6 86 56 V 118 76 v 23^17 ETB^ 55^37 7 87^57 W^ 119^77 w 24 18 CAN 56 38 8 88 58 X 120 78 x 25^19 EM^ 57^39 9 89^59 Y^ 121^79 y 26 1A SUB 58 3A : 90 5A Z 122 7A z 27 1B^ ESC^ 59 3B^ ;^ 91 5B^ [^ 123 7B^ { 28 1C FS 60 3C < 92 5C \ 124 7C | 29 1D^ GS^ 61 3D^ =^ 93 5D^ ]^ 125 7D^ } 30 1E RS 62 3E > 94 5E ^ 126 7E ~ 31 1F^ US^ 63 3F^?^ 95 5F^ _^ 127 7F^ DEL
ASCII (bzw, ISO 7-bit) – Zeichencode
Unicode
- 65,536 code points
- enthält Latin-1 als Untermenge (336 code points)
- weitere Sprachenbeispiele:
- griechisch (144), kyrillisch (256), armenisch (96), hebräisch (112)
- code points für Sonderzeichen:
- z.B. Indizes (48), Währungssymbole (48), math. Symbole (256)
- Symbole für chinesisch, japanisch, koreanisch
- 6,400 code points frei definierbar für den lokalen Gebrauch
- steigende Akzeptanz, wird schon unterstützt von einigen Programmiersprachen (Java) und Betriebssystemen (Windows NT … Windows 8, Linux, Mac OSX)
Beispiel für die Verwendung von graphischen Symbolen (Teletext):
Zeichensatztabelle (westeuropäische Sprachen) für den Videotext Decoder SAA5281 (Philips)
Distanz zwischen 2 Binärworten
Der 4-bit GRAY CODE
Dezimal- wert
Binär- wert
Gray- code
Dezimal- wert
Binär- wert
Gray- code
0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 x 1
0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 x x x 3
0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 x x 2
0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 x 1
Wort 1 Wort 2 Unterschied Hamming-Abstand
Der Hamming-Abstand ist einfach die Anzahl von Positionen, in denen sich zwei binäre Folgen unterscheiden.
Optischer Codierer mit BINÄR CODES
Optischer Codierer mit GRAY CODES
transparent - logisch 1
undurchsichtig - logisch 0
Licht- detektoren
Licht- quellen binäre Ausgänge
Sektor Winkel Binärcode
0 1 2 3 4 5 6 7 0- 45- 90- 135- 180- 225- 270- 315-
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
Sektor Winkel Graycode
0 1 2 3 4 5 6 7 0- 45- 90- 135- 180- 225- 270- 315-
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
Beispiel einer Codierscheibe
Fehlererkennende (EDC) bzw. fehlerkorrigierende Codes (ECC)
Einsatz von ECCs insbesondere bei:
- stark gestörten Übertragungswegen
- militärische Datenübertragungen auf Funkwegen
- bei Computerspeichern, um Lesefehler ohne Wiederholvorgang zu beheben z.B. ECC-RAM, CD, Plattenspeicher
Definitionen:
Codewort ∶= mit zusätzlichen (redundanten) Kontrollbits versehenes Quellwort
𝑚𝑚 ≔ Länge des Quellwortes (Anzahl der Nutzdatenbits)
𝑟𝑟 ≔ Anzahl der Kontrollbits
𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 + 𝑟𝑟 ∶= Länge des Codewortes
Ein binärer Code ist eine Teilmenge von 𝑅𝑅𝑛𝑛^2. Seine Elemente können auch als
Codevektoren (Spaltenvektoren) aufgefasst werden
m r
Codewort
Prüfbarkeit auf p-Bit-Fehler:
Sei 𝐶𝐶 ⊆ 𝑅𝑅𝑛𝑛^2 ein Code.
𝐶𝐶 heißt auf 𝑝𝑝-Bit-Fehler prüfbar wenn für jedes 𝑥𝑥 aus 𝐶𝐶 gilt:
K 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ⋂ 𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 wobei K 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 | d 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ≤ 𝑝𝑝
𝐶𝐶 ist auf 𝑝𝑝-Bit-Fehler prüfbar genau dann wenn für alle 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 aus 𝐶𝐶 gilt:
d 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ≥ 𝑝𝑝 + 1
Korrigierbarkeit von p-Bit-Fehlern:
𝐶𝐶 heißt auf 𝑝𝑝-Bit-Fehler korrigierbar, wenn für alle 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 aus 𝐶𝐶 gilt:
K 𝑥𝑥, 𝑝𝑝 ⋂ K 𝑦𝑦, 𝑝𝑝 =
𝐶𝐶 ist auf 𝑝𝑝-Bit- Fehler korrigierbar genau dann wenn für alle 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 aus 𝐶𝐶 gilt:
d(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ≥ 2𝑝𝑝 + 1
Veranschaulichung des Codeprinzips:
räumliche Darstellung von Codes:
(^000 )
010
100 101
110 111
011 Ungültiges Codewort Gültiges Codewort
2 mögliche Codewörter
n
2 gültige Codewörter
m
Paritätscode für einen Block von Quellworten (geblockter Paritätscode):
D 0
D 1
D 2
D 0
D 1
D 2
D 3
Bit Wort 1 Wort 2 (^) Wort 3 Wort 4 Wort 5 Wort 6 Wort 7
Bit Wort 1 Wort 2 Wort 3 Wort 4 Wort 5 Wort 6
Vertikale Paritätsbits Horizontale Paritätswort
D 0
D 1
D 2
D 3
Bit Wort 1 Wort 2 (^) Wort 3 Wort 4 Wort 5 Wort 6 Wort 7
ok (^) ok X ok ok ok ok
ok X ok ok
Durch Erkennung des Paritätsfehlers in einer Zeile kann die fehlerhafte Bitposition gefunden werden (z.B. D 1 .). Durch Erkennung eines Paritätsfehlers in einer Spalte kann das fehlerhafte Wort gefunden erkannt werden (z.B. Wort 3). Nun kann der Fehler lokalisiert werden: Bit D 1 im Wort 3.
Paritätscode für einen Block von Quellworten (geblockter Paritätscode):
Kurzdarstellung des Hamming-Algorithmus:
- Kodierung auf der Sender (Schreib-)seite:
- Die Bits des Codewortes werden von 1 bis 𝑛𝑛 (𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 + 𝑟𝑟) durchnummeriert, wobei die Positionsnummer als binäres Polynom dargestellt wird.
- Als 𝑟𝑟 Kontrollbits 𝑝𝑝𝑖𝑖 werden jene Bits verwendet, deren Positionsnummer eine Zweierpotenz darstellt, also die Bits 𝑖𝑖 = 1,2,4, … , 2𝑛𝑛−^.
- Die restlichen Bits mit den Positionsnummern 3,5,6,7,9 … werden mit den 𝑚𝑚 Datenbits 𝑑𝑑 (^) 𝑖𝑖 an der Position 𝑥𝑥𝑖𝑖 belegt.
- Die Kontrollbits dienen als Paritätsbits. Das Kontrollbit 𝑝𝑝𝑖𝑖 stellt die Parität aller Nutzdatenbits 𝑑𝑑 (^) 𝑖𝑖 mit 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 1 her, deren 𝑖𝑖-ter Polynomial-Koeffizient (Positionsnummer an der Stelle 𝑖𝑖) eine 1 enthält.
1
𝑝𝑝 0
𝑝𝑝 2 = 𝑑𝑑 3 xor 𝑑𝑑 2 xor 𝑑𝑑 1 𝑝𝑝 1 = 𝑑𝑑 3 xor 𝑑𝑑 2 xor 𝑑𝑑 0 𝑝𝑝 0 = 𝑑𝑑 3 xor 𝑑𝑑 1 xor 𝑑𝑑 0
Polynomial- Koeffizienten
Bit-Nr.
Zuordnung
Kurzdarstellung des Hamming-Algorithmus:
- Fehlerkontrolle auf der Empfängerseite / Leseseite:
- Auf der Basis des vorliegenden Codewortes werden erneut nach der gleichen Regel wie oben Kontrollbits 𝑝𝑝𝑖𝑖∗^ erzeugt
- Es wird das Syndrom 𝑆𝑆 gebildet, wobei 𝑆𝑆𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑖𝑖 xor 𝑝𝑝𝑖𝑖∗^ für 𝑖𝑖 = 1,2,4, … , 2𝑛𝑛−1.
- Ist das zu kontrollierende Codewort fehlerfrei 𝑆𝑆 = 0
- Existiert genau ein Fehler 𝑆𝑆 als Binärzahl gelesen identifiziert die Positionsnummer des zu korrigierenden Bits.