TU Bergakademie Freiberg
Institut für Elektrotechnik
Wechselstromtechnik
Skriptum für Nichtelektrotechniker
Verfasser: Prof. Dr.-Ing. habil. U. Beckert
Datum: Januar 2006
Umfang: 39 Seiten
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TU BAF, Inst. f. Elektrotechnik. Prof. Beckert. 8. )t(u. )t(i. Bei einer Spule mit der Induktivität L eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus, s. Bild 4.
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TU Bergakademie Freiberg
Institut für Elektrotechnik
Wechselstromtechnik
Skriptum für Nichtelektrotechniker
Verfasser: Prof. Dr.-Ing. habil. U. Beckert
Datum: Januar 2006
Umfang: 39 Seiten
Prof. Beckert
Inhaltsverzeichnis
- Definition und Kenngrößen eines Wechselstroms
- Effektivwert
- Verhalten von R, L, C bei Wechselstrom
- Analytische Berechnung von Wechselstromkreisen
- Berechnung von Wechselstromkreisen mittels Zeigerdarstellung
- Beispiele zur Zeigerdarstellung
- Wechselstromleistung
- Prinzip der Blindstrom-Kompensation
- Beispiele zur Blindstrom-Kompensation
Prof. Beckert
i
0 2 (t)
- π π π ϕi
(T)
2 π
I^
ωt
Bild 2: Sinusförmiger Wechselstrom
Es bezeichnen
i den Augenblickswert, Iˆ die Amplitude oder den Scheitelwert, ω die Kreisfrequenz, f die Frequenz, T die Periodendauer, ϕ i (^) den (Null-) Phasenwinkel.
Es gilt:
T
f = T
2 f π ω = π = (3)
Schreibweise:
Ein Wechselstrom ist durch drei Größen gekennzeichnet:
- die Amplitude Iˆ
- die Frequenz f
- den (Null-) Phasenwinkel ϕi
D. h. auch, zwei Wechselströme sind nur dann gleich, wenn sie in Amplitude, Frequenz und Phasenwinkel übereinstimmen!
Vereinbarungsgemäß werden für die Augenblickswerte die entsprechenden Kleinbuchstaben, also u und i, verwendet. Die Großbuchstaben, also U und I, bezeichnen in der Wechselstromtechnik die noch zu definierenden Effektivwerte von Spannung und Strom.
Prof. Beckert
2. Effektivwert
Der Effektivwert, d.h. der „wirksame Wert“, ist die wichtigste Kenngröße eines Wechselstromes bzw. einer Wechselspannung. Wenn nicht ausdrücklich anders vermerkt, werden sämtliche Spannungen und Ströme in der Wechselstromtechnik als Effektivwerte angegeben. Wenn man z.B. sagt, die Netzwechselspannung hat den Wert 230 V, so bedeutet das, der Effektivwert der Netzwechselspannung beträgt 230 V.
Definition des Effektivwertes: Der Effektivwert eines Wechselstromes ist der Wechselstrom, der in einem ohmschen Widerstand die gleiche Stromwärme bewirkt, wie ein Gleichstrom mit demselben Betrag.
Davon ausgehend lässt sich ein Ausdruck für den Effektivwert des Wechselstromes ableiten:
Ein zeitlich beliebig verlaufender Wechselstrom verursacht in der Zeit in einem
Ohmschen Widerstand die Stromwärme:
i (t ) dt
t
T
2 T
d W =p(t)dt =i^2 (t)R d.
Während der Dauer einer Periode entsteht die Stromwärme:
= ∫ (4) 0
W R i^2 (t)dt
Ein Gleichstrom I erzeugt in der gleichen Zeit T die Stromwärme:
W = R I (5)
Durch Gleichsetzen der Ausdrücke (4) und (5) gemäß Definition erhält man über
= ∫ 0
(^2) i (^2) (t)dt T
R I R
T
die Definitionsgleichung des Effektivwertes:
= ∫ 0
i^2 (t)dt T
I
T (6)
Analog gilt für den Effektivwert einer Wechselspannung:
= ∫ 0
u^2 (t)dt T
U
T
Der Effektivwert wird wie eine Gleichgröße gekennzeichnet, d.h. in Großbuchstaben ohne besondere Kennzeichnung. Die Schreibweise Ieff ist unüblich.
Prof. Beckert
mit der Amplitude
R
Uˆ
Iˆ^ =. (13)
Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom ist Null.
ϕ =ϕu −ϕi = 0 (14)
Beim ohmschen Widerstand sind Spannung u ( t)und Strom i(t)in Phase , s. Bild 3.
3
u,i u (t)
(^0) ωt
i (t)
π 2 π π
u
i
R
Bild 3: u (t)und i (t)am ohmschen Widerstand
3.2 Spule:
Bei einer Spule mit der Induktivität L gilt bekanntlich der Strom-Spannungs-Zusammenhang
d t
u (t) = L d i(t) u(t)dt L
i (t) = (^) ∫
Beim Anlegen einer Wechselspannung gemäß Gl. (8) erhält man für den Augenblickswert des Stromes:
cos^ (^ t u) L
U
u(t)dt L
i (t) ω +ϕ ω
= (^) ∫ = −
i (t)= Iˆ^ sin(ωt+ϕu −π 2 ) =Iˆsin(ωt+ϕi ) (16)
mit der Amplitude
L
U
Iˆ
ω
und der Phasenverschiebung
ϕ = ϕu −ϕi = +π 2 (18)
Prof. Beckert
Bei einer Spule mit der Induktivität L eilt die Spannung u (t )dem Strom i(t) um 90°
voraus , s. Bild 4.
3
u,i u (t)
(^0) ωt
i (t)
π π/2 2 π π
u
i
L
Bild 4: u (t )und i (t)an der Induktivität
3.3 Kondensator:
Für einen Kondensator mit der Kapazität C lautet bekanntlich der Strom-Spannungs- Zusammenhang:
d t
i (t) = C
d u(t) (19)
Beim Anlegen einer Wechselspannung gemäß Gl. (8) erhält man für den Augenblickswert des Stromes:
CUˆ cos( t ) dt
i (t)= C =ω ω +ϕu du(t)
i (t) = Iˆsin(ωt+ϕu +π 2 ) = Iˆsin(ωt+ϕi )
= ω ˆ
mit der Amplitude
ˆI (^) C U (21)
und der Phasenverschiebung
ϕ = ϕu −ϕi = −π 2 (22)
Bei einem Kondensator mit der Kapazität C eilt die Spannung (^) u dem Strom um
90° nach, s. Bild 5.
(t ) i(t)
Prof. Beckert
die Wechselspannung
u 1 (t)+u 2 (t) =u(t) = Uˆsin(ωt+ϕu) , (26)
wobei
Uˆ^ = Uˆ 12 +Uˆ^22 + 2 Uˆ 1 Uˆ 2 cos(ϕ 1 −ϕ 2 ) (27)
1 1 2 2
1 1 2 2 u Uˆ cos Uˆ cos
Uˆ sin Uˆ sin tan ϕ + ϕ
ϕ + ϕ ϕ = (28)
**2. Das Produkt zweier Sinusgrößen gleicher Frequenz ist i. A. keine Sinusgröße.
- Die zeitliche Ableitung einer Sinusgröße ist wieder eine Sinusgröße gleicher** Frequenz.
u (t) =Uˆ sin(ωt+ϕu )
Uˆ cos( t ) Uˆ sin( t 2 ) dt
d u = ω ω +ϕu = ω ω +ϕu+π (29)
Es besteht die Aufgabe, für die im Bild 6 dargestellte Schaltung die Zeitfunktionen des Stromes und der Spannungsabfälle zu berechnen.
u R
C
R
u (^) C
i
e(t) ~
gegeben: e (t) =Eˆ sin(ωt )
Bild 6: Reihenschaltung von R und C
Der Maschensatz ergibt:
u (^) R (t)+uc(t) = e(t )
i dt e(t) Eˆ sin( t ) C
R i + (^) ∫ = = ω (30)
Der Lösungsansatz
i (t) = Iˆsin(ωt+ϕi )
Prof. Beckert
wird in den Maschensatz eingesetzt:
cos( t ) Eˆ sin( t ) C
ˆI (^) Rsin( t i ) i ⎥ = ω ⎦
ω +ϕ ω
ω +ϕ −.
Unter Berücksichtigung von Gl. (27) und (28) wird daraus
Eˆ sin( t ) CR
sin t arctan C
ˆI (^) R i
2 (^2) = ω ⎟⎟ ⎠
ω ⎟⎟ ω +ϕ − ⎠
ω
Betrag und Phase müssen auf beiden Seiten gleich sein:
2 2 C
R
Eˆ
Iˆ
ω
CR
i arctan = ω
ϕ − CR
i arctan ω
ϕ =
In den Lösungsansatz eingesetzt, ergibt die Lösung:
ω
ω +
⎟⎟ ⎠
ω
CR
sin t arctan
C
R
Eˆ
i (t) 2 2
Bei bekanntem Stromverlauf erhält man für die Spannungsabfälle
ω
ω +
⎟⎟ ⎠
ω
CR
sin t arctan
C
R
Eˆ R
u (t) Ri 2 2
R (32)
−π ω
ω +
- ω
= (^) ∫ = 2 CR
sin t arctan 1 ( CR)
Eˆ
idt C
u (^) C (t) 2 (33)
Prof. Beckert
Zwei Sinusfunktionen gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude und unterschiedlicher Phasenlage, z. B. u(t) und i(t) in einer Wechselstromschaltung, werden, wie in Bild 8 dargestellt, durch zwei Zeiger u und i abgebildet. Die Längen der Zeiger entsprechen den Amplituden der Sinusfunktionen.
I ^
U ^^ ω i = I sinω ^
u,i u = U^ ^sin ( ωt + ϕ)
t
^ I
^ U
ϕ
Zeiger zur Zeit t = 0
u
( t + ϕi)
ϕi ϕu
Bild 8: Zeigerdarstellung einer Sinusspannung und eines Sinusstromes
In linearen Wechselstromschaltungen haben alle Wechselspannungen und Wechselströme die gleiche Frequenz. In Zeigerbildern, bei denen alle Zeiger Sinusfunktionen der gleichen Frequenz darstellen, kann der Umlauf weggelassen werden, denn für die relative Lage der Zeiger zueinander ist es gleichgültig, zu welchem Zeitpunkt man die "Momentaufnahme" des Zeigerbildes macht. Im Allgemeinen interessieren nur die Amplituden und die Phasenlage der
Zeiger zueinander. Man geht zweckmäßig zu ruhenden Zeigern über, die nur noch durch ihre Amplitude und ihre Phasenlage gekennzeichnet sind. Ruhende Zeiger werden mit A, U, I usw. bezeichnet.
Die Vorteile der Zeigerdarstellung sind:
- Bei der Addition/Subtraktion mehrerer Sinusfunktionen erhält man die resultierende Größe durch vektorielle Addition/Subtraktion der entsprechenden Zeiger.
- Die Multiplikation einer Sinusfunktion mit einem skalaren Faktor
R i(t) = u(t)
drückt sich im Zeigerbild durch einen gleichphasigen Zeiger zum Zeiger der Sinusfunktion aus.
- Die Differentiation einer Sinusfunktion drückt sich durch einen um 90° voreilenden
Zeiger, die Integration durch einen um 90° nacheilenden Zeiger gegenüber dem Zeiger der Ausgangsfunktion aus.
Prof. Beckert
Daraus ergeben sich drei Grundregeln für die Konstruktion von Zeigerbildern:
- Am ohmschen Widerstand gilt
u (^) R = R i
Die Zeiger des Stromes und des Spannungsabfalles sind in Phase, Bild 9a. Für ihre Amplituden und Effektivwerte gilt:
Uˆ^ R = R Iˆ U (^) R = R I (35)
- Für die Induktivität gilt der Strom-Spannungszusammenhang
d t
di u (^) L = L (36)
Der Zeiger des Spannungsabfalles eilt dem Stromzeiger um 90° voraus, Bild 9b. Für die Amplituden und Effektivwerte gilt:
Uˆ^ L = ωLIˆ = XL Iˆ U (^) L =XL I
- Am Kondensator gilt der Strom-Spannungszusammenhang
d t
du i = C C = (^) ∫idt C
u (^) C (37)
Der Stromzeiger eilt dem Zeiger des Spannungsabfalles um 90° voraus, Bild 9c. Für die Amplituden und Effektivwerte gilt:
Iˆ X Iˆ
C
Uˆ^ C = C
ω
= U C = XC I
I_
U_ (^) R
U_ (^) L
I_
U_ (^) C
I_
a) b) c)
Bild 9: Zeigerbilder für R, L und C
Prof. Beckert
Bei
u (t) = Uˆ sin(ωt )
gilt also:
i (t) = Iˆsin(ωt+ϕ). (40)
Aus dem Zeigerbild liest man ab:
2 C
2 U = UR +U
und
R
C U
U
tan ϕ =.
Mit U (^) R =R I
I
C
U C XC I
ω
erhält man daraus: 2 C
U = I R^2 +X
2 C
R^2 X
Uˆ
Iˆ
und
C R
R
X
U
U
tan C R
C ω
ϕ = = =
ω
ϕ = CR
arc tan. (42)
Bei der Schreibweise ist zu beachten, dass allgemein A den Betrag des Zeigers A bezeichnet:
A = A (43)
Dabei entspricht A dem Effektivwert von a(t).
Prof. Beckert
6.2 Reihenschaltung von R und L
u R
R
i
u uL
L
_^ I
U_ (^) R
U_ (^) L
ϕ
U_
Bild 11: Reihenschaltung von R und L: Schaltung und Zeigerbild
Gegeben: u (t) = Uˆsin(ωt)
Gesucht: i(t)
Die Konstruktion des Zeigerbildes erfolgt analog zum vorhergehenden Beispiel, wobei zu beachten ist, dass bei der Induktivität die Spannung dem Strom um 90° vorauseilt.
Aus dem Zeigerbild liest man ab, dass jetzt der Strom I der Gesamtspannung U um den
Winkel ϕ nacheilt. Es gilt also
i (t) = Iˆsin(ωt−ϕ). (44)
Aus 2 L
2 U = UR +U
R
L U
U
tan ϕ =
und U (^) R = R I U (^) L = XLI = ωLI
erhält man
R^2 ( L)^2
Uˆ
Iˆ
- ω
ϕ = ⎛ ω R
L
arc tan. (46)
Prof. Beckert
sowie
R
U
I R =
L
U
X
U
I
L
L ω
erhält man: 2 2
L
R
Iˆ^ Uˆ ⎟⎟
ω
ω
ϕ = L
R
arc tan. (51)
6.4 Gemischte Schaltung
i
R
i (^1) R L
2
u (^) R2^ u
uR1 u L
i (^2)
1
^ I U (^) R
U_ (^) L
ϕ
U_ =U_R
ψ
_I
1
_I 2
I_
ϕ
ψ
_I
1
_I 2
ψ
I 2.^ sinψ
I 2. cosψ
Bild 13: Gemischte Schaltung Schaltung und Zeigerbild
Gegeben ist die Gesamtspannung
u (t) = Uˆsin (ω t).
Gesucht ist der Gesamtstrom
i (t) = Iˆsin ( ωt−ϕ). (52)
Prof. Beckert
Die gegebene Schaltung stellt eine Kombination von Reihen- und Parallelschaltung dar. Bei der Reihenschaltung wird bekanntlich jedes Element vom gleichen Strom durchflossen. Die Gesamtspannung der Reihenschaltung ergibt sich als Summe der Teilspannungen (bei Wechselstrom natürlich unter Berücksichtigung ihrer Phasenverschiebung). Bei einer Parallelschaltung liegt über jedem Zweig die gleiche Spannung. Der Gesamtstrom ergibt sich als Summe der Zweigströme.
Für die gegebene Schaltung gilt in Zeigerschreibweise:
U (^) R 1 + UL = U = UR 2 (53)
I 1 + I 2 = I (54)
Bei der Konstruktion des Zeigerbildes verwendet man zweckmäßig I 1 als Bezugszeiger. UR 1
liegt in Phase mit I 1 , U (^) L eilt I 1 um 90° voraus. Die vektorielle Summe von U (^) R 1 und UL
ergibt die Gesamtspannung U , die auch über dem parallelen Zweig R 2 liegt: U (^) R 2 = U
Der Strom I 2 liegt in Phase mit U (^) R 2. Der Gesamtstrom I ist die vektorielle Summe der
Teilströme I 1 und I 2.
Aus dem Zeigerbild liest man ab:
2 2 1 1
2 L
2 U = UR 1 +U = I R +(ωL)
2 2 1
1 R ( L)
U
I
- ω
R 1
L U
U
tan ψ =
ψ = arc tan ( ωL/R 1 ) (56)
Außerdem: U = UR 2 = R 2 I 2
2
2 R
U
I = (57)
Dem erweiterten Zeigerbild der Ströme entnimmt man:
2 2
2 1 2 I 2 = (I +I cosψ) +(I sinψ)
I = I^21 +I^22 + 2 I 1 I 2 cos ψ (58)
- ψ
ψ ϕ = ψ − I I cos
I sin arctan 1 2