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ANALYSIS
Ableitungs
funktion
Begriff
der
Ableitung
Änderungs
verhalten kann eine
der
folgenden
Arten Qualitäten
zeigen
:
ab
fallend
an
steigend
/
qualitativ
gleichbleibend
konstant
Stärke
einer
Änderung
quantitativ
wird durch
die
Steigung
angegeben
:
Änderungs
rate
durchschnittliche
Änderungs
rate von
f-
entspricht
im Schaubild der
Steigung
ms
der Sekante S durch die
Punkte Pond Q
R ✗
s
k
i
Pz Xz Yz
Yz
=
OY
Ms
=
Xz
X
,
DX
lokale
Änderung
srateuonf
☐
Ableitung
von fan
der Stelle %
:
Mt
f
'
±
Tangenten Steigung
anxo
durchschnittliche mittlere lokale momentane
Änderung
srate
Änderungs
rate
Steigung
der Sekante
im Intervall
[
✗
„
X)
bzw
.
Steigung
der
Tangenten ,
in
einem Punkt
durch zwei
Kurven
punkte
Px
,
/
fcx.
)
und
Pxolfcxo)
)
bzw
. an einer
Stelle
×
.
PX
,
fcxz
)
mt
=
f-
'
Ko
→
Differentialquotient
K
"^
☐
Differenzen quotient
Ms
=
3 ¥
=
xz
×
,
Definition
:
„
Gibt
es an
jeder
Stelle
% XOED
eine
eindeutige
Steigung
Mt
=
f-
'
( xo ,
dann heißt
die
Funktion f- ableitbar differenzierbar
;
die
Zuordnung
✗
Mt
fix
) heißt erste
Ableitungs
funktion
der
Funktion
f
"
Graphisches
Differenzieren
y
Werte
von f-
'
(x) sind
die
Tangenten Steigungen
mt
Von
glx
jeweils
an
den Stellen
%
NY ny
3-
①
^
}
z
B
. z
ts
:
Mt
=
=
ft
☐
Q
,
^ -
° "
s
Q
}
tz
:
Mt
=
2
=
f
'
☐
Q
,
B Qy
'
}
÷
!
:P
"
'
n
×
I
I
!
I
×
t
}
:
Mt
= 0
=
f
'
(1) ☐
Q
( 110
→ - → -
tu
:
Mt
=
=
f
'
☐
Qy
(31-2)
z
'
(
X )
R
.
fix
)
Ableitungs
funktionen
und
Ableitungsregeln
Quadrat
funktion fcx)
=P ist die
Ableitungs
funktion fix)
flx
)
:
c ✗
^
✗
2
×
}
✗
4
✗
n
f-
'
(x )
: O
Ä ZI 5 × 24 ;
}
nin
Faktor
regel
Faktor vor ✗
"
wird übernommen
f-
(x)
=
a. ✗
n
☐
fix
)
=
a.
n
.
✗
n -
Bsp
:
FH
)
= % ✗
9
f-
'
(x)
=
3 × 8
Summen
regel
Sommerferien wird summandenweise
abgeleitet
Bsp
:
f-
(
x)
= ×
}
2x
☐
f-
'
(x
)
=
3 × 2
2
f-
(x)
=
glx
)
hk
)
☐
fix
)
=
gkx
)
th
'
(x)
fortgesetztes
Ableiten
fix
)
abgeleitet
gibt
f-
"
(x)
,
f
"
H)
abgeleitet
wird zu f-
"
(
x) usw .
..
eine
ganz
rationale Funktion
von Grad n
hat
n
+1 verschiedene
Ableitungs
funktionen
;
die lntt)
Ableitungs funktion
ist 0
Ableitung
der
natürlichen
Exponentialfunktion
f-
(x)
=
ex
=
f-
'
( x)
=
f-
"
(
x )
=
f-
"
(
x )
=
...
die erste
,
zweite
.
.
..
Ableitungs
funktion
von fix
)
ei ist
stets die
Ausgangsfunktion
☐
die
Funktionswerte
von fcx
)
stimmen mit den
Tangentensteigungen
überein
Ableitung
von
trigonometrischen
Funktionen
f-
"
( x
)
sin (x)
f-
'
(x )
Ableitungs
Kreislauf
bei fcx)
= sin (
x )
und
glx
)
=
Cos (x)
:
Cos (x) Eos (x
)
jede
Ableitung
ist wieder die
Ausgangsfunktion
f
r
f.
"
(× ,
sin
( X)
f-
"
(x )
die
Produkt
regel
"
" """"""
"" ""
"
Ableitungs
funktion
:
UK)
= ✗ u
'
(x)
= 1
✓ (
X )
= e.
×
v1 (×,
= e.
× }
f-
"
(×) = ✗
. e
✗
ex
y
f
'
(X )
=
UCX
)
.
U
'
(x)
u
'
(x)
=
e.
×
✗
flx
)
=
✗
2
.
✗
2-
2
U (
x
)
=
✗
2
U
'
(X
) =
2x
}
f
'
( x)
=
✗
2
?
2x
V (x )
= ✗
2-
2 u
'
( x
) = 2x
f-
"
( X )
= 2 ×3+2× 3
f
'
(x
) =
4 × 3
Ux
Ketten
regel
Bsp
:
fcx
)
= 4 ×+
}
Funktion vcx
)
heißt innereFunktion
;
Ucx) vlx)
= 4 ×+
v
'
(x)
= 4
heißt
äußere
Funktion U
(Vd
)
=
vcx)
}
☐
u
'
( Vd
) )
=
ucx))
'
Ist
die Funktion
feine
verkettete Funktion
☐
4.3 4 ×+22=-11×3--12 4 ×+
'
fix
)
=
u ou (
x)
,
dann
gilt
für
ihre
Ableitungs funktion f
'
:
f-
"
(X
)
=
'
Vluyn
fcx
)
=
/ ze
"
VCX) =
innere ✗ äußere
„ „„
er
}
f
'
H)
% e
"
spezielle
Ketten
regeln
: f-
'
( x)
= % e
"
f-
(x)
= eb
✗
☐
f-
'
( x)
= b. eb
✗
f.
(x)
e
"
V (x
) = ✗
f-
( x
)
=
Sin
(K
x
☐
ftx
)
Cos
K
✗
oder
„ „
=
gg.eu
}
f-
"
(x)
=
.
e
"
fcx
)
= Cos
K
X)
oft
x)
=
K
. -
sin
K
.
×
f
"
(x )
=
e
"
f-
(x)
= % Cos
% ✗
VCX
)
=
Tz ✗
Ulx)
= %
u
}
/
"
(×)
= %
' %
f- sin u
f-
'
(x)
=
Ex
f-
'
(x )
=
% sin
✗
VLX)
}
f-
'
(x)
=
% Cos
v
Tangente
und Normale
Ulx )
=
-439in (u f
/
(x
)
= -
Cos
✗
geg
:
fcx
) und ✗
fix)
ableiten und
✗
Wert einsetzen
☐
mt
Berührfunkt
B ✗ fcx)
Tangenten gleichung
aus Punkt
B und
Steig
ung
me
☐
flx)
= mxtb
Bsp
:
fcx
)
= 43 ×3-4×+
,
☐
Normale
:
Steigung
mn
£
,
und
mit
f-
= %. 33-4.3+5=
☐ B 312
Punkt B die Normalen
gleichung
aufstellen
f-
'
(x )
= ✗
2-
☐
f-
'
=
=
Mt
}
"
Tangente
g.
(x )
=
mxtb
☐
2=5.
b
Normale
2-
'
2
=
15 + b
^
glx
)
=
5 ×-
°
B
= b
i i i
✗
z
Normale
hlx
)
:
Mn
=
¥
☐
hlx)
=
f-
✗
B
fcx
)
Gleichungen
lösen
Wurzel ziehen
bei
ungerader
Wurzel ist
negative
Zahl
möglich
fcx
)
= -
Fox
}
415 fcx)
✗
"
=
0
☐
Xn
,
=
Xn
,
=
✗ n
}
=
0
0
=
¥
✗
3-
415 / +
☐
ansonsten
einfache
Lösung 45=-70× 3
| :(
%)
wenn
Radikand Zahlen unter
T
%
=
×
}
IN
,
dann 2
Lösungen
und
✗
=
=
0
,
dann eine
doppelte
Lösung
X
,
=
Xz
,
dann keine
Lösung
Satz vom
Null
produkt
bei
einer
Multiplikation
mit 0 als
Produkt muss
Bsp
:
fcx
)
= 0
=
(x
✗
2x -6)
mind
.
1 Faktor
gleich
0 sein ×
,
= 0
= ✗
31+
Xz
= 0
=
3--0=2×-61+
Ausklammern mit Salz
vom
Null
produkt
3
=
×
, -
=
×
,
6=
×
:
2
f- (x)
=
1/4× 3
2 × 2
t 4
✗
=
0
3 =
×
,
=L
Bsp
:
fix
)
=
II. K¥-
Null
produkt
Mitternachtsformel
✗
^
= 0 ✗
„ s
= 0
= ✗
2-
9
bei e-
Funktionen
9
= ✗
2
IM
☐
✗ z , }
=
± }
e
"
-1-
☐
keine
Lösung
Bsp
:
O
= ×
.
e-
×
2 e-
×
0
=
e-
✗
( X
e-
✗
o
O
=
✗
2
=
✗
Logarithmieren
mit
beiden
Seiten
"
"
"
.
In und
e
gegenseitig
auflösen Ze
"
=
6 |
: 2
e.
×
=
3
In
☐ In
(e)
= In
✗
=
In (3)
Lösen
von
trigonometrischen Gleichungen
keine
Bsp
:
Zsin ( x)
=
2
I
: 2
Verschiebung
in
y
Richtung
sin
( x )
=
1
☐
✗
= sin
= %
sin (
x )
=
... -
✗
= sin
(...
)
☐
weitere Werte
für
✗
indem mit Periode addiert
Cos (x)
=
.
..
→
✗
=
Cos
und subtrahiert wird
☐
bei Cos
± ✗
,
da achsen
symmetrisch
zur
y-Achse
substitution
ersetze mit
z oder U
,
nach Lösen der
Bsp
:
fcx)
=
×
"
9 ×2+20= ✗
zersetzt
mit z
Gleichung
wieder zurück
substituieren
flz
)
=
2-2-92-+
☐
Mitternachts
auch bei e-
Funktionen
,
z.B.:
statt e.
✗
=
2-
;
Z ,
= 4
= ✗
2
IM
Zz
= 5-
2 IM
dann e
" ±
- und lösen mit Mitternachtsfor -
= ✗
„z
±
☒
=
✗
sin
net
bei
trigonometrischen Gleichungen
statt
z.B. :
fix
)
=
Cos
¥
x) +1=
Substitution mit
2-
statt
E-
✗
☐
fcz
= %
Cos
(Z ) +1=41-
f-
( Z)
= % Cos
(Z)
=...
Eigenschaften
von
Schaubildern
Steigung
sverhalten und Extrem
punkte Bsp
:
fcx)
=
0,5× 3
3 ×2+4,5× 1
.
fix
)
=
✗2-6×+4,
Bedingungen
für
Extrem
punkte
auf
dem
Schaubild
f-
"
A)
= 3 ×-
von f
1
. f-
'
(x)
=
0=312×2-6×+4,5 mit Mitternachtsformel
f
"
(× )
= 0
VZW von
nach
f
"
(
x )
< O
: Hp
2 .
Ki
=3 und ✗
<
= 1 Ns) in f-
"
(x )
:
f
"
1 ×1+-
!
Uzw von
"
(
x) > O
: Tp
f
"
=
0
,
daherTP
;
f-
"
=
-3<
,
daher
HP
|
3
.
X
,
und ×
,
in fcx)
einsetzen
für
y
Koordinaten
Steigung
verhalten Monotonie
i
;
f
steigt streng
monoton
:
fix
)
;
f
fällt streng
monoton
:
fix
)
f
steigt
monoton :-/
'
(x)
!
f fällt
monoton
:
fix
)
O
I
I
I
☐ bei
„
normaler
"
Monotonie sind auch stellen
,
an
welchen
! das Schaubild die
Steigung
0 besitzt
,
erlaubt
TTT
nicht
streng
monoton
,
streng
monoton
steigend
sondern nur monoton
streng
monoton
fallend
streng
monoton
steigend
steigend
Krümmung
sverhalten
und
Wendepunkte
Schaubild
f-
hat an der Stelle
xo
einen
Wendepunkt ,
wenn
die
folgenden
zwei
Bedingungen
erfüllt
sind
f
"
(
✗
o
= 0
f
"
K
-1-0 bzw
. hat
bei
✗
☐
einen
Vorzeichen
Wechsel
☐
Krümmung richtung
ändert sich am
Wendepunkt
f-
"
(x) ist die
"
Krümmung
funktion
"
von
f
f-
"
(x)
0
,
dann
links
gekrümmt
f-
"
(x)
< 0
,
dann rechts
gekrümmt
☐
Sonderfall
:
Sattelpunkt
Wendepunkt
mit
Steigung
m
= 0 bzw .
hat bei ×
.
eine
waagerechte
Tangente
f
'
(x)
= 0
=
Mt
f
"
(
x )
= 0
f
"
(x)
Zusammenhang
der Schaubilder
f-(x) f
'
(x) f
"
(x)
n
"
„
Y
I.
"
HP
z
|
z -
f-
i.
..
÷
.
! ;
Tp
×
÷.
:
"
;
M
;
×
:
,
μ
✗
|
V
s
z
jp
Symmetrie
verhalten
bei
Polynom
funktionen
nur
bei
ganzen
,
positiven
Zahlen z.B. : x
?
✗ ?
✗
'
,
✗
2
Achsen
Symmetrie
zur y-Achse
:
nur
gerade
Hoch
zahlen
Bsp
:
fcx
)
=
×
"
6 × 2
5
°
✗
°
ist
auch
gerade
Punkt
symmetrisch
zum
Ursprung
:
nur
ungerade
Hochzahlen
Bsp
:
fcx)
=
¥
✗
}
1-
✗
allgemein
:
As zur
y-Achse
fl
=
f-
(x)
PS
zum
Ursprung
fl
=
fc
x )
Kurvendiskussion
Parabeln
ungerader Ordnung
verlaufen vom
II.in den I. Quadranten
,
Parabeln
gerader Ordnung
verlaufen
vom
II.
in den
I.
Quadranten
☐
bei
gespiegelten
Schaubildern
ändert sich der Verlauf
gemäß
der
Spiegelung
Bestimmen von
trigonometrischen
Funktionen
fcx
)
=
a
sin (
b( x
c
)) + d
n
Streckung
in
y
Richtung
mit Faktor tat
a
< O
:
Spiegelung
an ✗
a
Streckung
in ✗
Richtung
mit
Faktor
✗
=D
v
n
%
Periode
:p
=
¥
ob
=
§
Verschiebung
in ✗
Richtung
um <
a
LE
:
c
0
links
,
< <
0
rechts
☐
wenn nur HP und TP
gegeben
,
f-
Cos
( x) und c an
×
HP
Verschiebung
in
y
Richtung
und
sin ( ✗
E)
=
Cos
( x )
;
Cos (x
E)
=
sin (
x
)
LE
r
Nullstellen
±
Wendepunkte
auf
y
=D
Kurve
schwingt
um
Mittellinie
y
=D
sinus
:
im
Ursprung
in
f-
Abständen
Cos
: bei
f-
in
E-
Abständen
Werte
Menge
:
kleinster
y
Wert
bis
größter y
Extrem
punkte
Sinus
:
erster
EP bei
f-
}
von TP zu
TP oder HP zu
HP sind es
p
;
Casinos
:
erster
EP bei ✗
= 0 von benachbarten
HP
zu
TP sind es
f-
☐
wenn
nur
H
„
ly
"
) und Tl ×
,
I
Yt
gegeben
sind
:
Amplitude
:
YH
YT
z
Mittellinie
:
y
= Y
"
YT.
Periode
:
¥
=
XT
HH ,
wenn TP und HP
Z
benachbart sind
Bestimmen von
Exponentialfunktionen
e
°
ist
immer 1
fcx
)
=
ae
" ✗
+ b
y
= b
waagerechte Asymptote
e
"
e.
^
= 2
,
Streckung
in
y
K
< O :
Asymptote
rechts
.
In
(e)
= 1
Richtung
K >
O :
Asymptote
links
a
< O
:
Spiegelung
an
der
✗
Achse
Extremwert
aufgaben
Bestimmen des relativen
Minimums Maximums mithilfe von
Ableitungen
:
f
'
(x)
= 0
'
2 .
Bed
:
f
"
(x)
= , o
f-
"
(
× )
,
dann TP
☐
Minimum
sf
"
(x)
< 0
,
dann HP
☐
Maximum
Funktionswert
des
Hoch
Tiefpunkt
es
bestimmen
Bestimmen
des
absoluten Minimum
Maximum
Funktionswerte an den Rändern des Intervalls werden bestimmt und mit dem relativen
Maximum
Minimum
verglichen
linker Rand und
rechter Rand
Ziel funktionen
Differenz
funktion
d (x)
,
mit der
Differenz
der
Funktionswerte von f und
g
berechnet wird
d (x)
=
f-(
x)
g
(x)
immer oberes Schaubild minus unteres Schaubild
Ziel funktionen am
Beispiel
von Dreiecken
Dreieck im
1
.
Quadranten
Dreieck im
Quadranten
o Y
Alu)
=
E.
u
.
fcu
)
Alu)
=
f.
u
)
.
fcu)
finn
/
°
u
< 0
,
da
Seitenlängen
nicht
negativ
☐ ×
sein können
und
gibt
3. Dreieck im 4. Quadranten
Dreieck
über
mehrere Quadranten
o Y
☐ ×
Alu)
=
?
'
u
. (
Hu)
° "
"
Alu
=
E
( u
s)
.
fcu ,
☐
fcu
)
< O
:
Seitenlänge
kann
f
,
§
°
größerer
kleinerer
}
f
"
""
nicht
negativ
sein
,
daher
Aus
0
pg-
×
wert
Integralrechnung
Das bestimmte
Integral
Flächeninhalt
,
den ein
Graph
mit der Funktion
fcx) einschließt
b
A
=/
f,×
,
d.)
teht für
☐ ×
,
das
gegen
O strebt
a-
steht für
unendliche Summe begrenzt
in einem
Intervall Grenzen
b und a
unbestimmtes
Integral
von f
steht
für
die
Menge
aller Stamm
funktionen von f
:
A
=
/
fix
) dx
ohne Grenzen
OY
Hauptsatz
der Differential
und
Integralrechnung
Für
jede beliebige
Stamm
funktion
F von f- gilt
:
b
|
fcx
)
dx
=
Fcb)
Fca)
a%fcxtdx-L-T-cxi.ba#
a
Berechnung
eines
bestimmten
Integrals
b
b
b
A
=/
fix)
dx
= [17×3]
a
=
Fcb
a I
- eine
beliebige
Stamm
2. obere Grenze bin
Fix
) einsetzen
funktionFuonf
bilden 3.
untere Grenze a in Fix)
einsetzen
Differenz
bilden
Auf
leitungs
regeln
Potenz
regel
:
f-
(x)
=
✗
n
Fix )
=
^
n +
✗
" +
unendlich viele
Lösungen
Summen
regel
Gliedweise
integrieren
fix
)
= 2 ×3+4× 2 + 8
Fcx)
= 2.
In
✗
"
.
13 ×3+
✗
(
FA
)
=
&
✗
"
G-
✗
}
8 ✗
weitere Stammfunktionen
:
f-
(x)
= e
"
Fcx)
=
e
"
c
;
f-
( x
)
= ek
✗
Fc ×,
=
¥
ek
✗
+d
<
Kreislauf
:
Sin (
x )
<
fcx
) = sin
(kx +d)
Fcx)
=
Cos
K✗ +d)
c
fcx
)
= Cos (k✗
Fcx)
=
sin (
kx + d)
c
Cgs
(
x)
f-
(
x)
=
a (mit b)
"
Fcx)
= a
.
m
. in
e)
. ( m✗
+ b)
" +
^
<
☐
Bsp
:
fcx)
= 213 ×-4)
"
Fcx)
= 2
.
5
Flx)
=
¥
(3×-2)
5
Stamm
funktionen
von
Produkten
:
aus
multiplizieren
und
Klammern
auflösen ;
dann
glied
weise
integrieren
Bsp
:
fcx
)
=
×
?
(3×+2)
= 3 × 3 + 2 × 2
Fcx )
=
7-
✗
"
✗
3
Hauptsatz
der Differential
Integralrechnung
für jede beliebige
Stamm funktion
F von f
gilt
:
b
x)
dx
=
Fcb)
=
[Fcx )
]!
Rotationsvolumen von
Flächen zwischen zwei
Kurven
:
Van
Ben
Vinnen
☐
Zuerst
U
außen
und Vinnen
berechnen
,
dann erst
Differenz
bilden
Mittelwert einer Funktion
b
im
=
^
ffcx)
DX
b- a
a
