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Université de Caen TDs Partie 4 Analyse de données
UFR des Sciences Par Faïcel Chamroukhi 2017/
Exercice 1 Considérons un échantillon de n = 5 individus où chaque individu xi ∈ R d est décrit
par d = 3 variables réelles. Cet échantillon est représenté par la matrice X = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 )
t
suivante :
X =
On va faire une ACP centrée réduite de ce jeu de données.
- Calculer l’individu moyen (le centre de gravité du nuage de données) x¯
- Calculer la matrice Y des données centrées
- Calculer les écarts types σj de chacune des variables
- Calculer la matrice Z des données centrées-réduites
- Calculer la matrice de variance-covariance Σ de Z et la matrice de corrélation R de X.
Commenter.
- Effectuer une décomposition spectrale de la matrice de corrélation R : déterminer les valeurs
propres λj associées aux vecteurs propres non-nuls uj de R.
- Déterminer les facteurs principaux fj et les axes principaux aj du nuage des individus.
Vérifier leurs propriétés statistiques
- Calculer pour chacun des axes factoriels, l’inertie du jeu de données projetées sur l’axe
considéré, et la part d’inertie qu’il explique.
- Calculer les composantes principales cj pour les individus. Comment s’interprètent les com-
posantes principales en fonction des variables de départ. Vérifier leur propriétés statistiques.
- Représenter graphiquement le nuage des individus sur le plan factoriel défini par les deux
premiers axes factoriels. Commenter.
- Représenter graphiquement le nuage des variables sur le plan factoriel défini par les deux
premiers axes factoriels. Commenter.
Solution 1
- L’individu moyen est obtenu en faisant la moyenne des lignes du tableau X : ¯x =
n i= xi/n = √ 10(2, 1 , 3)
T
- La matrice Y des données centrées est obtenue en soustrayant à chaque ligne de X la
moyenne x¯ :
Y = X − (¯x, ¯x, ¯x, ¯x, ¯x)
T
- Le calcul des écarts-type σj (racines carrées des variances σ
2 j ) de chacune des variables peut
se faire de deux façons. La première en appliquant la définition de la variance pour chaque
variable :
σj =
n
n ∑
i=
(xij − x¯j ) 2 =
n
n ∑
i=
y 2 ij
pour j = 1,... , 3 et n = 5.
La deuxième en calculant directement la matrice de variances-covariances et en exploitant
ainsi la formulation vectorielle on trouve directement toutes les variances (et donc les écarts
type) car celles-ci sont les éléments diagonaux de la matrice de variances-covariances :
ΣX =
n
n ∑
i=
(xi−x¯)(xi−x¯)
T
n
n ∑
i=
y i y
T i
n
Y
T Y =
donc σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) T = (2, 2 , 2) T
- La matrice Z des données centrées-réduites est de terme général zij =
xij −¯xj σj
yij σj
. Cela
revient donc à diviser chaque colonne de Y par l’écart type de la variable correspondante :
Z =
Y
- La matrice de variance-covariance Σ de Z : Z étant la matrice centrée-réduite de X donc
sa matrice de covariance de terme correspond à la matrice de corrélation de X. En effet :
n
n ∑
i=
(zi − ¯z)(zi − ¯z)
T
n
n ∑
i=
ziz
T
n
n ∑
i=
yi
y
T
n
n ∑
i=
xi − x¯
xi − ¯x
T
R =
n
n ∑
i=
xi − x¯
σ
xi − ¯x
σ
T
n
n ∑
i=
xi − x¯
xi − x¯
T = Σ
car Z est centrée et donc sa moyenne suivant les lignes ¯z est le vecteur nul. Pour le calcul
on trouve donc :
Σ = R =
Z
T Z =
- L’ACP centrée réduite nécessite le calcul des valeurs propres λj associées aux vecteurs
propres non-nuls uj de la matrice de corrélation R. On résout l’équation Ru = λu. Pour
les valeurs propres, cela revient à résoudre le système det(R − λI) = 0 : ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
1 − λ 1 / 2 − 1 / 2
1 / 2 1 − λ 0
− 1 / 2 0 1 − λ
= (1−λ)
1 − λ 0
0 1 − λ
0 1 − λ
1 − λ 0
- Les composantes principales cj sont les variables définies par les axes principaux (représen-
tant donc la projection des données Z centrées réduites dans ce cas, sur les axes principaux
aj ) : cj = Zaj pour j = 1,... , 3. Ainsi :
c 1 =
c 2 =
c 3 =
Les composantes principales Zuj sont ainsi des combinaisons linéaires des variables de dé-
parts zi.
Les composantes principales sont centrées (¯cj = 0, facile vérifier), orthogonales deux à deux
et donc non corrélées entre elles (c T j ck = 0 pour tout j 6 = k, facile à vérifier), et leurs
variances sont égales aux valeurs propres qui leur sont associées :
1 n
c T j c T j = λj
Exercice 2 Considérons un échantillon de n individus où chaque individu xi ∈ R d est décrit par
d = 3 variables réelles qui ont pour matrice de corrélation
R =
1 ρ −ρ
ρ 1 ρ
−ρ ρ 1
ave − 1 ≤ ρ ≤ 1.
On va faire une ACP centrée-réduite de ce jeu de données.
- Effectuer une décomposition spectrale de la matrice de corrélation R : déterminer les valeurs
propres λj associées aux vecteurs propres non-nuls uj de R.
- Quelles sont les valeurs possibles pour ρ. Justifier que ρ doit vérifier − 1 ≤ ρ ≤ 1.
- Calculer pour chacun des axes factoriels, l’inertie du jeu de données projetées sur l’axe
considéré, et la part d’inertie qu’il explique. Faire une représentation graphique.
- Calculer les composantes principales cj pour les individus. Comment s’interprètent les com-
posantes principales en fonction des variables de départ. Vérifier leur propriétés statistiques.
- Comment s’interprète en fonction des données d’origines xi l’unique composante à retenir
dans ce cas.
