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Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas Universidad de Chile
MA2001-1 C´alculo en Varias Variables. Profesor: Marcelo Leseigneur. Auxiliares: Donato V´asquez - Nicol´as Godoy. 15 de octubre de 2014
Control
Importante: Las preguntas marcadas con (*) son bonus y valen 0.2 pts para la nota total del control.
P1. (a) (1.5 puntos) Sean f : R^4 −→ R, g : R^2 −→ R, h : R −→ R y l : R −→ R^2 de clase C^1. Se define la funci´on: m(x, y) = f (g(x, y^2 ), h(xy) + g(y, x), l(h(yx^2 )))
Calcule
∂m ∂x
y
∂m ∂y
(b) Considere f : R^2 −→ R diferenciable. Se define g : R^2 −→ R por g(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)), donde u(x, y) = x + y y v(x, y) = sin(x − y).
(i) (1 punto) Demuestre que: ( ∂g ∂x
∂g ∂y
∂f ∂u
∂f ∂v
(ii) (1 punto) Verifique lo anterior para f (u, v) = v^2 + u arcsin(v). (iii) (*0.2 nota total) Encuentre el plano tangente de la funci´on f (u, v) en el punto (1, 0).
(c) El objetivo de esta pregunta es resolver la siguiente EDP (ecuaci´on en derivadas parciales)
a
∂u ∂x
(x, y) + b
∂u ∂y
(x, y) + cu(x, y) = f (x, y)
Donde a, b, c ∈ R son constantes y f es una funci´on continua.
(i) (0.5 puntos) Suponiendo a = 0 encuentre una soluci´on para la ecuac´on.
(ii) (0.5 puntos) Volviendo al caso general defina v(ξ, y) = u(x, y) con ξ = bx − ay y use la regla de la cadena para encontrar
∂u ∂x
(x, y) y
∂u ∂y
(x, y) en t´erminos de
∂v ∂ξ
(ξ, y),
∂v ∂y
(ξ, y) y de las constantes a y b.
(iii) (1 punto) Reemplace en la ecuaci´on original y utilice (a) para resolverla.
(iv) (0.5 puntos) Determine la soluci´on para la ecuaci´on original utilizando (c).
(v) (*0.2 nota total) Encuentre una soluci´on particular para el caso a = 3, b = −2, c = 1 y f (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ R^2 tal que verifique adem´as u(x, 0) = x^2
P2. (a) (3 puntos) El objetivo del problema es demostrar otra caracterizacion de la diferenciabilidad para funciones escalares, para ello proceda como sigue:
Si f : Ω ⊆ Rn^ −→ R es diferenciable en x 0 ∈ Ω, demuestre que existe una funci´on G : Ω −→ Rn continua en x 0 tal que f (x) − f (x 0 ) = 〈G(x), x − x 0 〉 Determine G
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas Universidad de Chile
Hint: Recuerde que f : Ω −→ R es diferenciable en x 0 si:
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + 〈∇f (x 0 ), h〉 + (h)
donde l´ım h→~ 0
(h) ‖h‖
= 0. Utilice adem´as el cambio de variables x = x 0 + h y note que
〈x − x 0 , x − x 0 〉 = ‖x − x 0 ‖^2
(b) (3 puntos) Sea f : R^2 −→ R la funci´on definida por
f (x, y) =
arctan(x) sen(y) − xy x^2 + y^2
si (x, y) 6 = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
El objetivo del problema es probar que esta funci´on es C^1. Para ello se pide lo siguiente:
(i) Calcular ∇f (0, 0)
(ii) Defina g(x, y) = arctan(x) sen(y) − xy, ∀(x, y) ∈ R^2. Sume y reste x sen(y) y reordene la expresi´on anterior.
(iii) Demuestre que l´ım (x,y)−→(0,0)
|g(x, y)| (x^2 + y^2 )^3 /^2
(iv) Calcular las derivadas parciales
∂f ∂x (x, y) y
∂f ∂y (x, y), ∀(x, y) 6 = (0, 0) en t´erminos de g(x, y).
(v) Demuestre que ambas tienden a 0 reordenando adecuadamente la expresi´on y utilizando el resultado obtenido en iii).
P3. Elija 2 problemas de los siguientes:
(a) (3 puntos) Compruebe que el sistema
xy^5 + yu^5 + v^5 = 1 x^5 y + y^5 u + v = 1
define dos funciones u = f (x, y), v = g(x, y) de clase C^1 en un entorno U de (x 0 , y 0 ) = (0, 1) tales que f (0, 1) = 1 y g(0, 1) = 0. Si se denota G(x, y) = (f (x, y), g(x, y)). Calcule el jacobiano JG(0, 1).
(b) (3 puntos) Sea f : U × [a, b] −→ R continua con U ⊆ Rn^ abierto, tal que existen las derivadas parciales de primer orden y son continuas. Sea g : U −→ [a, b] y h : U −→ [a, b] de clase C^1 (U ). Se definen: ϕ(x) =
∫ (^) g(x)
a
f (x, t)dt, ψ(x) =
∫ (^) h(x)
g(x)
f (x, t)dt
Calcule: (i) ∂ϕ ∂xi
(x) para i = 1,... , n
(ii)
∂ψ ∂xi
(x) para i = 1,... , n
(iii) φ′(α) para α 6 = 0 si φ(α) =
∫ (^) α^2
α
sen(αx) x
dx
Hint: Use sin demostrar la regla de Leibniz:
∂xi
∫ (^) d
c
f (x, t)dt =
∫ (^) d
c
∂f ∂xi
(x, t)dt
Universidad de Chile Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas Departamento de Ingenier´ıa Matem´atica MA2001-1 - C´alculo En Varias Variables 15 de octube de 2014
Pauta Control 2
Profesor: Marcelo Leseigneur Auxiliares: Nicolas Godoy, Donato V´asquez
P1. (a) Sean f : R^4 → R, g : R^2 → R, h : R → R y l : R → R^2 de clase C^1 , y sea la funci´on:
m(x, y) = f (g(x, y^2 ), h(xy) + g(y, x), l(h(yx^2 )))
Calcular ∂m ∂x y ∂m ∂y. Soluci´on: Denotemos l(t) = (l 1 (t), l 2 (t)), seg´un esto se tiene ∂l ∂t = ( ∂l ∂t^1 , ∂l ∂t^2 ) y como todas las funciones solo dependen de un parametro queda l′(t) = (l 1 ′(t), l′ 2 (t)), de la misma forma h′(t) = ∂h ∂t (t). Luego:
∂m ∂x
∂f ∂x 1
∂x 1 ∂x
∂f ∂x 2
∂x 2 ∂x
∂f ∂x 3
∂x 3 ∂x
∂f ∂x 4
∂x 4 ∂x
∂f ∂x 1
∂g(x, y^2 ) ∂x
∂f ∂x 2
∂h(xy) + g(y, x) ∂x
∂f ∂x 3
∂l 1 (h(yx^2 )) ∂x
∂f ∂x 4
∂l 2 (h(yx^2 )) ∂x
= ∂f ∂x 1
∂g ∂x
(x, y^2 ) + ∂f ∂x 2
(yh′(xy) + ∂g ∂y
(y, x)) + ∂f ∂x 3
(2xyh′(yx^2 )l′ 1 (h(yx^2 ))) + ∂f ∂x 4
(2yxh′(yx^2 )l′ 2 (h(yx^2 )))
De la misma forma se calcula ∂m ∂y
∂f ∂x 1
2 y ∂g ∂y
(x, y^2 ) + ∂f ∂x 2
(xh′(xy) + ∂g ∂x
(y, x)) + ∂f ∂x 3
(x^2 h′(yx^2 )l′ 1 (h(yx^2 ))) + ∂f ∂x 4
(x^2 h′(yx^2 )l 2 ′(h(yx^2 )))
En cada parte las derivadas de f est´an evaluada en (g(x, y^2 ), h(xy) + g(y, x), l(h(yx^2 ))). (b) Considere f : R^2 → R diferenciable. Se define g : R^2 → R por g(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)), donde u(x, y) = x+y y v(x, y) = sin(x − y).
i) Demuetre que: ( ∂g ∂x )^2 + ( ∂g ∂y )^2 = 2( ∂f ∂u )^2 + 2 cos^2 (x − y)( ∂f ∂v )^2 Soluci´on: Por regla de la cadena se tiene
∂g ∂x
∂f ∂u
∂u ∂x
∂f ∂v
∂v ∂x ∂g ∂y
∂f ∂u
∂u ∂y
∂f ∂v
∂v ∂y ∂u ∂x
∂v ∂x
= cos(x − y)
∂u ∂y
∂v ∂y
= − cos(x − y)
reemplazando se tiene ∂g ∂x
∂f ∂u
∂f ∂v
cos(x − y)
∂g ∂y
∂f ∂u
∂f ∂v cos(x − y)
Elevando al cuadrado ( ∂g ∂x
∂f ∂u
∂f ∂u
∂f ∂v
∂f ∂v
∂g ∂y
∂f ∂u
− 2 cos(x − y) ∂f ∂u
∂f ∂v
∂f ∂v
y sumando : (^) ( ∂g ∂x
∂g ∂y
∂f ∂u
∂f ∂v
ii) Verifique lo anterior para f (u, v) = v^2 + u arcsin(v). Soluci´on: En primer lugar calculemos g seg´un el cambio de variables y sus derivadas parciales
g(x, y) = sen^2 (x − y) + x^2 − y^2
∂g ∂x
= 2 cos(x − y) sen(x − y) + 2x
∂g ∂y
= −2 cos(x − y) sen(x − y) − 2 y
entonces ( ∂g ∂x
∂g ∂y
= 8 cos^2 (x − y) sen^2 (x − y) + 8 cos(x − y) sen(x − y)(x + y) + (x + y)^2
Ahora calculemos las derivadas parciales de f en terminos de x e y
∂f ∂u
= arcsin(v) = x − y
∂f ∂v
= 2v +
u √ 1 − v^2
= 2 sen(x − y) +
x + y √ 1 − sen^2 (x − y)
2 cos(x − y) sen(x − y) + x + y cos(x − y) finalmente se tiene :
∂f ∂u
∂f ∂v
= 8 cos^2 (x − y) sen^2 (x − y) + 8 cos(x − y) sen(x − y)(x + y) + (x + y)^2
Con lo cual se concluye lo pedido. iii) Encuentre el plano tangente de la funci´on = f (u, v) anterior, en el punto (x 0 , y 0 ) = (1, 0). Soluci´on: la f´ormula para el plano tangente a la superficie definida por z = h(x, y) en (x 0 , y 0 , h(x 0 , y 0 )) es z − h(x 0 , y 0 ) = ∇h(x 0 , y 0 ) ·
x − x 0 y − y 0
En este caso se tiene que f (u(x, y), v(x, y)) = g(x, y) y por comodidad vamos a calcular el gradiente de g.
∇g(1, 0) =
2 sen(1) cos(1) + 2 −2 sen(1) cos(1)
la ecuaci´on del plano tangente es
z = 2(x − 1)(sen(1) cos(1) + 1) − 2 y sen(1) cos(1) + sen^2 (1) + 1
(c) El objetivo de esta pregunta es reolver la siguiente EDP(ecuaci´on en derivadas parciales)
a
∂u ∂x
(x, y) + b
∂u ∂y
(x, y) + cu(x, y) = f (x, y)
Donde a, b, c ∈ R son constantes y f es una funci´on continua. i) Suponga que a = 0 y encuentre una soluci´on para la ecuaci´on. ii) Ahora en el caso general defina v(ξ, y) = u(x, y) con ξ = bx − ay y use la regla de la cadena para encontrar ∂u ∂x (x, y) y^
∂u ∂y (x, y) en terminos de^
∂v ∂ξ (ξ, y),^
∂v ∂y (ξ, y),^ a^ y^ b. iii) Reemplace en la ecuaci´on original y utilice (a) para solucionarla. iv) Determine la solucion para la ecuaci´on original utilizando (c).
P2. (a) Sea Ω ⊂ Rn^ y f : Ω → R. La siguiente propiedad que se le pide probar es otra caracterizacion de la diferenciabilidad para funciones escalares. Se pide lo siguiente: Si f : Ω → Rn^ es diferenciables en x 0 ∈ Ω, demuestre que existe una funci´on G : Ω → Rn^ continua en x 0 tal que f (x) − f (x 0 ) = 〈G(x), x − x 0 〉 Determine G Hint: Recuerde que f : Ω → R es diferenciable en x 0 si:
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + 〈∇f (x 0 ), h〉 + ǫ(h)
donde l´ımh→~ 0 ǫ ‖(hh‖) = 0. Adem´as use el cambio de variables x = x 0 + h y note que 〈x − x 0 , x − x 0 〉 = ‖x − x 0 ‖^2 Soluci´on: Si usamos el cambio de variables del hint y y adem´as que f es diferenciables nos queda :
f (x) − f (x 0 ) = 〈∇f (x 0 ), x − x 0 〉 + ǫ(x − x 0 )
Adem´as como 〈x − x 0 , x − x 0 〉 = ‖x − x 0 ‖^2 , asumiendo que x 6 = x 0 podemos escribir ǫ(x − x 0 ) como
〈x − x 0 , x − x 0 〉 ǫ(x − x 0 ) ‖x − x 0 ‖^2
= ǫ(x − x 0 )
y tambi´en
f (x) − f (x 0 ) =
∇f (x 0 ) +
(x − x 0 ) ‖x − x 0 ‖^2
ǫ(x − x 0 ), x − x 0
Observando lo anterior definimos
G(x) =
∇f (x 0 ) + (^) ‖(xx−−xx 00 ‖) 2 ǫ(x − x 0 ) x 6 = x 0 ∇f (x 0 ) x = x 0
Para ver que G(x) es continua en x 0 probemos que l´ımx→x 0 G(x) = ∇f (x 0 )
l´ım x→x 0 ∇f (x 0 ) +
(x − x 0 ) ‖x − x 0 ‖^2
ǫ(x − x 0 )
notemos que
l´ım x→x 0
(x − x 0 ) ‖x − x 0 ‖^2
ǫ(x − x 0 )
= l´ım x→x 0
‖x − x 0 ‖
|ǫ(x − x 0 )| = l´ım h→~ 0
‖h‖
|ǫ(h)| ︸ ︷︷ ︸ → 0
Con lo que se puede concluir que
l´ım x→x 0 ∇f (x 0 ) +
(x − x 0 ) ‖x − x 0 ‖^2
ǫ(x − x 0 ) = ∇f (x 0 )
y por lo tanto G(x) es continua en x 0 (b) Sea f : R^2 → R la funci´on definida por
f (x, y) =
arctan(x) sen(y) − xy x^2 + y^2
si (x, y) 6 = (0, 0)
y f (0, 0) = 0. Vamos a probar que es C^1. Para ello se pide lo siguiente: i) Calcular ∇f (0, 0) ii) defina g(x, y) = arctan(x) sen(y) − xy∀(x, y) ∈ R^2. Sume y reste x sen(y) y reordente la expresi´on anterior. iii) Demuestre que l´ım (x,y)→(0,0)
|g(x, y)| (x^2 + y^2 )
iv) Calcular las derivadas parciales ∂f ∂x (x, y) y ∂f ∂y (x, y)∀(x, y) 6 = (0, 0) en t´erminos de g(x, y). v) Demuestre que ambas tienden a 0 reordenando adecuadamente la expresi´on y utilizando el resultado obtenido en iii)
Soluci´on:
i) Las derivadas parciales en (0,0) se deben calcular por definici´on:
Df ((0, 0); (e 1 , e 2 )) = l´ım h→ 0
f (he 1 , he 2 ) − f (0, 0) h con (e 1 , e 2 ) = (1, 0) o (e 1 , e 2 ) = (0, 1) para obetener las derivadas parciales con respecto a x o y. Podemos asumir que dentro del l´ımite h 6 = 0 y por lo tanto queda
l´ım h→ 0
arctan(h) sen(0) h^2
= 0, l´ım h→ 0
arctan(0) sen(h) h^2
ya que la funciones que est´an dentro de los limites son constantes iguales a 0, por lo tanto
∇f (0, 0) =
ii) Haciendo lo pedido se tiene
g(x, y) = sen(y)(arctan(x) − x) + x(sen(y) − y)
iii) Podemos acotar la funci´on dentro del l´ımite de la siguiente manera
| sen(y)(arctan(x) − x) + x(sen(y) − y)| (x^2 + y^2 )
| sen(y)(arctan(x) − x)| √ x^2 + y^2 (x^2 + y^2 )
|x(sen(y) − y)| √ x^2 + y^2 (x^2 + y^2 )
| sen(y)| |y|
| arctan(x) − x| x^2
| sen(y) − y| y^2 No es dificil ver que l´ım x→ 0
| arctan(x) − x| x^2 = l´ım y→ 0
| sen(y) − y| y^2
con lo cual se concluye lo pedido iv) En (x, y) 6 = (0, 0) se pueden calcular directamente las derivadas parciales en terminos de g
∂f ∂x
∂g ∂x
x^2 + y^2
2 x (x^2 + y^2 )^2
g(x, y)
∂f ∂y
∂g ∂y
x^2 + y^2
2 y (x^2 + y^2 )^2
g(x, y)
v) En primer lugar calculemos (^) ∂x∂g ∂g ∂x
1 + x^2
sen(y) − y
luego (^) ∣ ∣ ∣ ∣
∂g ∂x
x^2 + y^2
1 + x^2
| sen(y) − y| y^2
x^2 |y| x^2
Ahora para ∂g ∂y ∂g ∂y
= cos(y) arctan(x) − x
luego (^) ∣ ∣ ∣ ∣
∂g ∂y
x^2 + y^2
|(arctan(x) − x) cos(y)| x^2
|x(cos(y) − 1)| y^2
tambien 2 xg(x, y) (x^2 + y^2 )^2
g(x, y) (x^2 + y^2 ) (^32)
2 x √ x^2 + y^2
i) Definamos h(x, s) =
∫ (^) s a f^ (x, t)dt, de esta menera queda^ ϕ(x) =^ h(x, g(x)), luego por relga de la cadena
∂ϕ ∂xi
∑^ n
j=
∂h ∂xj
(x, g(x))
∂xj ∂xi
∂h ∂s
(x, g(x))
∂s ∂xi
Adem´as ∂h ∂xi (x, g(x)) =
∫ (^) g(x)
a
∂f (x, t) ∂xi dt por relga de Leibniz
∂h ∂s
(x, g(x)) = f (x, g(x)) por TFC
∂xj ∂xi
= 0∀i 6 = j
y por lo tanto ∂ϕ ∂xi
(x) =
∫ (^) g(x)
a
∂f ∂xi
(x, t)dt + f (x, g(x))
∂g ∂xi
(x)
ii) De manera an´aloga definimos ǫ(x, y, z) =zy f (x, t)dt, de esta manera que ψ(x) = ǫ(x, h(x), g(x)), y por lo tanto ∂ψ ∂xi
(x) =
∫ (^) h(x)
g(x)
∂f ∂xi
(x, t)dt + f (x, h(x))
∂h ∂xi
(x) − f (x, g(x))
∂g ∂xi
(x)
iii) Podemos usar lo obenitdo en ii) con f (α, x) = sen( xαx ), h(α) = α^2 y g(α) = α y luego se tiene
φ′(α) = ∂φ ∂α
(α) =
∫ (^) α^2
α
cos(αx)dx + 2 sen(α^3 ) α
sen(α^2 ) α
(c) [Debe usar regla de la cadea en i) y ii)] Sean f, g : Rn^ → R diferenciables en x 0 ∈ D. Sea D˜ = {x ∈ D : g(x) 6 = 0} con x 0 ∈ D˜. Se define la funci´on h : D˜ → R de la siguiente manera:
h(x) =
f (x) g(x)
i) Demuestre formal y expl´ıcitamente que h es diferenciable en x 0. ¿Tiene sentido estudiar la diferenciabilidad de h en x 0? ii) Demuestre que ∇h(x 0 ) =
g(x 0 )∇f (x 0 ) − f (x 0 )∇g(x 0 ) [g(x 0 )]^2
iii) Considere las siguientes funciones f (x, y) = x^3
xy, g(x, y) =
x^3 − y, Calcular el gradiente de f g (x, y) en forma directa y utilizando la f´ormula obtenida en ii). Soluci´on: i) Si se define φ(x, y) = x y , no es dificil ver que para y 6 = 0 φ es C^1 , basta ver que ∂φ ∂x = (^1) y y ∂φ ∂y = − y 2 x son continuas para y 6 = 0, notemos que h(x) = φ(f (x), g(x)), es diferenciable para x ∈ D˜ por regla de la cadena, pues φ, h(x) y f (x) son diferenciables en x 0. ii) Por relga de la cadena Jh(x 0 ) = Jφ(f (x), g(x)) · J(f (x 0 ), g(x 0 ))
J(f (x 0 ), g(x 0 )) =
(∇f (x 0 ))t (∇g(x 0 ))t
Jφ(f (x), g(x)) =
1 g(x 0 )
−f (x 0 ) g(x 0 )^2
entonces Jh(x 0 ) =
1 g(x 0 )
−f (x 0 ) g(x 0 )^2
(∇f (x 0 ))t (∇g(x 0 ))t
g(x 0 )
(∇f (x 0 ))t^ −
f (x 0 ) (g(x 0 ))^2
(∇g(x 0 ))t
g(x 0 ) (∇f (x 0 ))t^ − f (x 0 ) (∇g(x 0 ))t [g(x 0 )]^2
Luego como Jh(x 0 ) = (∇h(x 0 ))t^ queda
∇h(x 0 ) = g(x 0 )∇f (x 0 ) − f (x 0 )∇g(x 0 ) [g(x 0 )]^2
iii) Usando la f´ormula se obtine
∇h(x, y) =
x^2 − y
7 2 x^
y
x^3 − y − 3 x
5 √xy 2
x^3 −y 1 2 x^
(^72) y
− 1 2
x^3 − y − x
3 √xy 2
x^3 −y
