Cabos Coaxiais: Estrutura, Parâmetros e Aplicação em Ondas Eletromagnéticas, Exams of Electronics

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PSI 3483 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

EM MEIOS GUIADOS

Profa. Fatima Salete Correra

 Linhas de Transmissão

• Estruturas formadas por dois ou mais condutores paralelos
• Comprimento maior que /10 da frequência de uso
• Suportam a propagação de ondas eletromagnéticas

Exemplos

Linha bifilar (^) Linha bifilar blindada

Cabo coaxial

Linha de microfita Microstrip line (^) 2

 Exemplo de onda TEM

 Onda TEM em meio com constante dielétrica relativa εr

 Velocidade de propagação: 𝑣 = 𝑐 ε

𝑟

 Comprimento de onda: 𝜆 = 𝑣𝑓 = 𝑓. 𝑐ε𝑟 = 𝜆 ε^0 𝑟

𝑐: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑙𝑢𝑧 𝑛𝑜 𝑣á𝑐𝑢𝑜 𝜆 0 : 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑣á𝑐𝑢𝑜^4

 Distribuição dos campos E e H no modo fundamental

• Modo fundamental → TEM
• Campo elétrico E Distribuição radial
• Campo magnético H Círculos concêntricos

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 Cálculo de Zc - impedância característica do cabo coaxial

 Aproximação estática Tensão contínua aplicada entre os condutores: V 0 → tensão do condutor central 0 → tensão do condutor externo  Cabo coaxial sem perdas  → 𝛆 = 𝛆 = 𝛆𝒓𝛆𝟎

Propagação em z 𝑉 = 𝑉 0. 𝑒−𝑗𝑘𝑧 𝐼 = 𝐼 0. 𝑒−𝑗𝑘𝑧

Impedância característica Zc

𝑍𝑐 = 𝑉 𝐼 =

𝑉 0 𝐼 0 7

 Aproximação estática

 Função potencial Φ 𝑟, 𝜙 Potencial elétrico no interior do cabo coaxial Φ 𝑟 = 𝑏, 𝜙 = 0 𝑉 Φ 𝑟 = 𝑎, 𝜙 = 𝑉 0 𝑉

• Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas

𝑟^2

𝜕^2 Φ

𝜕𝜙^2

 Aproximação estática

 Resolvendo 1 𝑟

𝜕𝑟 𝑟^

𝜕𝑟 =^0

 Condições de contorno Φ 𝑟 = 𝑏, 𝜙 = 0 𝑉 Φ 𝑟 = 𝑎, 𝜙 = 𝑉 0 𝑉  Resulta

Φ cresce com ln(r) , do condutor externo para o condutor central (^) 10

 Aproximação estática

 Conhecido Φ 𝑟, 𝜙 pode-se calcular

𝐸 = −

→ 𝐸^ =^

𝑙𝑛 𝑏 𝑟.^

𝑟.^ 𝑒

𝜂 𝑎𝜙^ =^ −^

𝜂.^

𝑙𝑛 𝑏 𝑟.^

𝑟.^ 𝑒

𝜂 → impedância de onda no meio dielétrico

𝜂 =

𝜀 =^

𝜀𝑟. 𝜀 0 =^

𝜂 0 = 120   377  → impedância de onda no espaço livre^11

 Aproximação estática

 Impedância caraterística do cabo coaxial - ZC 𝑍𝐶 =

𝐼 0 = 𝑉^0

𝜀𝑟^ 𝑙𝑛 𝑏 𝑎

 Potência transmitida - Pt

𝑃𝑡 =

2 𝑉. 𝐼^

0. 𝐼 0 =^

𝜂. ln(𝑏 𝑎)^13

 Modelo de circuito de elementos concentrados

14

 Capacitância por unidade de comprimento - C

𝑉 0 𝑄 = 𝜀^ −

𝜕𝑟.^ 𝑎.^ 𝑑

2𝜋 0

𝑙𝑛 𝑏 𝑎 =^

 Exemplo

a = 1 mm b = 3 mm C =?

r = 2,1 (PTFE)

 0 = 8.854.10-12^ F/m

→ C = 106 pF/m

16

 Indutância por unidade de comprimento - L

𝐿 = (^) 𝐼𝜓 0

𝜓 → 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜

∴ 𝐿 = 2𝜋 𝜇 ln 𝑎𝑏

 Exemplo

a = 1 mm b = 3 mm L =?

r = 2,1 (PTFE)

 =  0 = 4.10-^7 H/m

→ L = 220 nH/m

𝜓 = 𝜇 𝐻 ∙ 𝑎𝜙. 𝑑𝑟 = (^) . 𝑙𝑛𝜇. 𝑉𝑏^0 𝑎

𝑏 𝑎

𝑑𝑟 𝑟

𝑏 𝑎

→ 𝜓 = 𝜇 𝑉^0

I 0 = (^) . 𝑙𝑛 𝑏 𝑎^2 𝑉^0

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 Resistência por unidade de comprimento - R

• Origem - resistência dos condutores interno e externo – Ra + Rb
• Resistência do condutor por unidade de comprimento
  • Corrente uniformemente distribuída no condutor 𝑅𝑎 = 𝐴𝜌𝑎 𝑎

𝑒 𝑅𝑏 = 𝐴𝜌𝑏 𝑏  a - resistividade do condutor interno  b - resistividade do condutor externo Aa - área em que circula a corrente no condutor interno Ab - área em que circula a corrente no condutor externo

• Em corrente contínua corrente circula uniformem-te ao longo do condutor
  • Com o aumento da frequência → Efeito pelicular → Corrente em película próxima da superfície do condutor

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 Resistência por unidade de comprimento - R

• Efeito pelicular 𝐼 = 𝐼 0 𝑒−𝑟/𝛿𝑠  s profundidade de penetração 𝛿𝑠 = 1 𝜋𝑓𝜇𝜎  - condutividade do material do condutor  =  0 = 4.10-7^ H/m f - frequência
• Áreas equivalentes de passagem da corrente contínua 𝐴𝑎 = 𝛿𝑠. 2𝜋. 𝑎 𝑒 𝐴𝑏 = 𝛿𝑠. 2𝜋. 𝑏 (^) 20

a

b