Probabilità
Secondo la definizione classica, la probabilità è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e
il numero dei casi possibili, tutti equiprobabili.
La definizione classica, però, affermando l’equiprobabilità dei casi, contiene una
supposizione a priori. Per questo motivo, solitamente, si utilizza la definizione di frequenza
relativa; cioè il rapporto tra il numero di volte in cui si è verificato un evento e il numero di
prove effettuate. La probabilità statistica di un evento E è la frequenza relativa del
verificarsi di un evento quando il numero delle prove si può ritenere “sufficientemente” alto.
La probabilità soggettiva di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona
attribuisce al verificarsi dell’evento, secondo la sua opinione.
Per ogni esperimento si può costruire un insieme U detto universo o spazio degli eventi,
formato da tutti i possibili esiti. Un evento casuale E si identifica con un sottoinsieme di U.
Dato un evento E, sottoinsieme di U, si dice evento contrario l’insieme complementare di E
rispetto ad U e si indica con nonE. Dati due eventi elementari E1 ed E2, entrambi
sottoinsiemi di U, si dice somma logica l’insieme unione E1UE2. Dati due eventi elementari
E1 ed E2, entrambi sottoinsiemi di U, si dice prodotto logico l’insieme intersezione
E1∩E2. Due eventi E1 ed E2 si dicono incompatibili se non possono verificarsi
contemporaneamente, cioè se E1∩E2=Ø.
3 assiomi:
-Per ogni evento si ha p(E)≥0;
-L’universo U rappresenta l’evento certo: p(U)=1;
-Dati n eventi E1, E2, …, En a due a due incompatibili, si ha: p(E1UE2U…
UEn)=p(E1)+p(E2)+…+p(En).
Probabilità totale
Dati due eventi E1 ed E2 (compatibili o incompatibili), vale la seguente relazione
sulla probabilità totale, cioè della somma logica: p(E1UE2) = p(E1) + p(E2) –
p(E1∩E2).
Probabilità composta
Consideriamo ora due eventi E1 ed E2 e vogliamo calcolare la probabilità
p(E1∩E2) che si verifichino entrambi.
In caso di eventi indipendenti, la probabilità è p(E1∩E2) = p(E1)*p(E2). Qualora i due
eventi fossero dipendenti, la probabilità prende il nome di condizionata. Quando la
probabilità di un evento E2 dipende dal verificarsi dell’evento E1, si parla di probabilità
condizionata e si indica con p(E2|E1) e si legge “probabilità di E2 condizionata ad E1”. La
probabilità è p(E1∩E2) = p(E1)* p(E2|E1).
Schema delle prove ripetute (o di Bernoulli)
Dato un evento, sottoposto a n esperimenti indipendenti ognuno con probabilità costante di
verificarsi, la probabilità di ottenere k successi su n prove è: (coefficiente binomiale di n su
k)*p^k*q^(n-k), con q definito come la probabilità che ha l’evento di non verificarsi.
Teorema di disintegrazione
Se un evento deve ancora accadere, può essere espresso come unione di eventi composti
da eventi a due a due incompatibili. Dove tutti gli eventi sono: non vuoti, incompatibiliti a due
a due e tali che la loro unione sia uguale a U. La formula è p(E)=p(E1)*p(E|E1)+...
Teorema di Bayes
Vieni utilizzato per calcolare la probabilità di una causa che ha scatenato l’evento verificato.
Trasformazioni geometriche
Un’affinità è una trasformazione geometrica espressa da un sistema di equazioni lineari.
