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Domanda 1 (SPA)
Si consideri la concentrazione degli introiti pubblicitari (in milioni) ottenuti a fine anno dalle principali nove
emittenti televisive in una determinata nazione.
Emittenti radiofoniche Introiti pubblicitari (
a
i
Emittente A 339
Emittente B 441
Emittente C 697
Emittente D 1320
Emittente E 1524
Emittente F 1798
Emittente G 1857
Emittente H 1889
Emittente I 1994
Si calcoli tramite un opportuno indice il grado di concentrazione del fenomeno
Domanda 1 (SID)
In una produzione di chiodi con macchina automatica, in media un 5% della produzione viene
scartata perché inferiore al minimo permesso di 3 cm. Uno schema di controllo consiste nel
prendere chiodi a caso dalla produzione e nel contare quanti ne vengono presi prima di prenderne
uno imperfetto. Rappresentare i primi termini di questa distribuzione.
Domanda 2
L’indagine multiscopo dell’ISTAT
Domanda 3 (SPA)
Un'agenzia di scommesse assegna alla partita di calcio Genova - Sampdoria le seguenti quote:
Punto 200 euro sulla vittoria del Genoa.
A) Calcolare la speranza matematica.
B) Il gioco può dirsi equo?
Domanda 3 (SID)
Una variabile normale ha media 60 e varianza 64.
Si calcolino le seguenti probabilità:
x ≤ 30
x > 70
Domanda 4
In un paese scandinavo il 70% delle ragazze ha i capelli biondi, il 20% li ha rossi, il 10% marroni. Risulta poi
che ha gli occhi scuri il 10% delle bionde, il 25% delle rosse, il 50% delle more. Se la ragazza con cui ho fatto
amicizia tramite internet mi fa sapere che ha gli occhi scuri, che probabilità c'è che sia bionda?
Domanda 5
Consideriamo un’azienda che produce set di tazzine. In particolare le confezioni contengono 3 tazzine
ognuna. Sappiamo che la probabilità che la probabilità di non osservare tazzine rotte in una confezione è
90%, quella di osservarne 1 è 5% di osservarne 2 è 4% e che, infine, la probabilità che siano tutte e tre rotte
sia dell’1%.
Si rappresenti la funzione di probabilità della variabile casuale X “tazzine difettose”. Si costruisca inoltre la
funzione di ripartizione dandone una rappresentazione grafica.
Domanda 6
In una città della Lombardia si svolge periodicamente un’indagine che vuole verificare quale sia la spesa
media mensile delle famiglie in attività culturali.
In un’indagine di qualche anno fa σ era stato stimato essere 60€. Anche quest’anno si vuole effettuare
l’indagine e si vuole determinare quale sia la giusta grandezza campionaria affinché la media campionaria
non disti dalla media effettiva di più di 15€ con una probabilità al 95%.
Domanda 3
La probabilità è maturata sulla base del rendimento delle due squadre in quel periodo, della forma dei
calciatori migliori e di ogni possibile informazione acquisita. Le probabilità degli eventi associate alle quote
risulterebbero dunque:
p 1
=
≅ 0,926 p 2
=
≅ 0,095 p 3
=
≅ 0,
Sommando le tre probabilità otteniamo:
0,926 + 0,095 + 0,059 = 1,08 > 1
Occorre, pertanto, normalizzare le probabilità:
1 = p
1
2
3
= k · (
) = k · 1,
da cui ricaviamo
k =
≅ 0,926 (k è una costante di proporzionalità)
e dunque
p 1
=
≅ 0,857 p 2
=
≅ 0,088 p 3
=
≅ 0,
Calcolando la speranza matematica otteniamo:
E(vittoria Genoa) = 0,857 · (216 - 200) - (1 - 0,857)· 200 ≅ - 14,
In conclusione, il gioco non è equo, ma utilizzando la probabilità soggettiva (quella dei bookmakers) la
speranza di vincita è circa 8 volte superiore.
Soluzione domanda 3 (SID)
La forma della distribuzione con cui dobbiamo lavorare è la seguente:
La zona ombreggiata è la probabilità che Z assuma valori minori di z.
Quindi per prima cosa è necessario calcolare i valori di z.
z =
x − μ
σ
Per trovare la probabilità x ≤ 30 calcoliamo:
z =
Il valore di z è negativo perciò se abbiamo a disposizione le tavole con i valori negativi sarà necessario solo
cercare il valore della probabilità associata a tale valore di z.
In questo caso, P ( z ≤ −3,75 )=0,
z =
La probabilità di z >1,25 corrisponde alla probabilità di:
1 − P ( z ≤ 1,25)
Domanda 4
Indichiamo con B la percentuale di ragazze bionde, con R quella delle ragazze rosse e con M quella delle
ragazze more. Inoltre, chiamiamo S= "la ragazza ha gli occhi scuri".
Raggruppiamo i dati forniti dal testo nella seguente tabella riassuntiva:
B R M
Colore capelli 70% 20% 10%
Colore occhi 10% 25% 50%
Dalla tabella risulta che la probabilità che le ragazze abbiano un determinato colore sono:
P(B)=0,7 P(R)=0,2 P(M)=0,
Ed inoltre le probabilità che le ragazze abbiano gli occhi scuri condizionate dal colore dei capelli sono:
P(S|B)=0,1 P(S|R)=0,25 P(S|M)=0,
Applicando il teorema di Bayes:
P
B
S
P ( S ∨ B ) · P ( B )
P ( S ∨ B ) · P ( B )+ P ( S ∨ R ) · P ( R )+ P ( S ∨ M ) · P ( M )
Domanda 5
La distribuzione di probabilità è data dal testo. Si può quindi esprimerla per chiarezza in forma tabellare:
X 0 1 2 3
P(X) 0,90 0,05 0,04 0,
La rappresentazione grafica pertanto sarà:
Domanda 6
In questo caso l’esercizio non fornisce l’intervallo di confidenza richiesto ma ci dice che l’estremo destro
può essere al massimo 15 euro superiore alla media campionaria e che l’estremo sinistro può essere al
massimo più piccolo di 15 euro rispetto alla media campionaria. L’errore può essere quindi al massimo 15
euro in più o 15 euro in meno
α =0,
α
α
=0,975 z
0,
n =
2 z ❑
2
d
2
n =
2
Per ogni numerosità campionaria non inferiore a 61, la probabilità che la media campionaria non disti dalla
media effettiva di oltre 15 euro in più o in meno è almeno 0,95.
