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Université Paris-Dauphine DUMI2E, Algèbre 1, 2009-
Chapitre 2 : ensembles
1 Définitions
Un ensemble est une collection d’objets. Ces objets sont appelés éléments de l’ensemble. Pour dire que x est un élément de l’ensemble E, on écrit x ∈ E. Pour dire que x n’est pas un élément de E, on écrit x /∈ E. Un ensemble est caractérisé par ses éléments. Deux ensembles A et B sont donc égaux s’ils ont les mêmes éléments. On note alors A = B. L’ensemble qui contient les éléments T ruc, Bidule et M achin se note
{T ruc, Bidule, M achin}
Un objet est élément d’un ensemble donné s’il figure dans la liste des éléments de cet ensemble. L’ordre dans laquelle on écrit les éléments ne compte donc pas : l’ensemble {M achin, T ruc, Bidule} est le même que l’ensemble {T ruc, Bidule, M achin}. De même, si l’on rajoute dans la liste des éléments un élément qui y figure déjà, on ne change pas l’ensemble : l’ensemble
{T ruc, Bidule, M achin, Bidule}
est le même que l’ensemble {T ruc, Bidule, M achin}. On peut décrire un ensemble de deux manières. Soit en donnant la liste de ses éléments de manière explicite, soit en le définissant comme l’ensemble des éléments satisfaisant une certaine propriété. Par exemple, l’ensemble A des entiers allant de 0 à 5 inclus peut notamment être décrit des trois manières suivantes :
A = {n ∈ N, n ≤ 5 } = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } = {n ∈ Z, 0 ≤ n ≤ 5 }
L’ensemble qui n’a aucun élément s’appelle ensemble vide. On le note ∅. On a donc ∅ = {}.
Les ensembles que vous êtes les plus habitués à manipuler sont des ensembles de nombres : N, Z, Q, R, C, R+, N∗, { 1 , 2 , 3 }, etc. Toutefois, il y a bien d’autres ensembles intéressants en mathématiques. Par exemple, l’ensemble des fonctions continues de R dans R ; l’ensemble des fonctions polynômes ; l’ensemble des suites de réels qui convergent ; ou des ensembles d’objets que vous ne connaissez pas encore, comme les matrices. On peut aussi s’intéresser dans des applications des mathématiques à des ensembles issus de la vie courante : l’ensemble des femmes de plus de 65 ans, l’ensemble des étudiants de Dauphine, etc.
Inclusion, ensemble des parties
On dit que l’ensemble A est inclus dans l’ensemble B si tout élément de A est un élément de B. On note alors A ⊂ B. Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est inclus dans B et B est inclus dans A. La méthode la plus courante pour montrer que deux ensembles sont égaux est d’ailleurs de procéder par double inclusion, c’est à dire de montrer d’abord que A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A. L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble : pour tout ensemble B, ∅ ⊂ B (en effet, puisque ∅ n’a pas d’éléments, il n’est pas possible de trouver un élément de ∅ qui ne soit pas dans B). Pour dire que A est inclus dans B, on dit aussi que A est un sous-ensemble de B, ou encore que A est une partie de B. L’ensemble des parties de B se note P(B).
Exemple : soit B = { 1 , 2 , 3 }. Quels sont les parties de B? Ce sont les ensembles inclus dans B. C’est à dire : ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, et { 1 , 2 , 3 } = B. On a donc :
P(B) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, B}
Remarques : ⋄ l’ensemble B et l’ensemble vide sont bien des ensembles inclus dans B. Ce sont donc bien des parties de B. Un sous-ensemble de B qui est différent de B est un sous-ensemble strict de B. Un sous-ensemble de B qui est différent de B et de ∅ est un sous-ensemble non-trivial de B.
⋄ un ensemble qui ne contient qu’un seul élément s’appelle un singleton. Il faut bien distinguer le nombre 3 du singleton { 3 }. Ces deux objets n’ont pas la même nature. Le premier est un nombre, c’est un objet du même type que 2 , 5 , 12 , etc. Le second est un ensemble de nombres, c’est un objet du même type que { 1 , 2 , 3 }, { 4 , 8 }, { 2 , 5 , 7 , 9 }, etc. De la même façon, supposons qu’il y ait un seul étudiant de Dauphine qui soit né un 29 février. Il y aurait quand même une différence de nature entre l’ensemble des étudiants de Dauphine né un 29 février et cet étudiant. Le premier est un ensemble d’étudiants (qui pourrait, a priori, être vide, ou avoir plusieurs éléments), le second est un étudiant.
⋄ dans l’exemple ci-dessus, B a 3 éléments et P(B) a 8 = 2^3 éléments. Ce n’est pas un hasard. On montrera plus tard que si E est un ensemble fini à n éléments, alors P(E) est un ensemble fini à 2 n^ éléments.
2 Union et intersection de deux ensembles
Dans tout ce qui suit, A et B désignent des ensembles. L’union des ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. On la note A ∪ B. Formellement,
x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B)
L’intersection des ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. On la note A ∩ B. Formellement, x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A et x ∈ B)
Par exemple, si A = { 2 , 5 , 7 } et B = { 1 , 5 , 7 , 9 }, on a A ∪ B = { 2 , 5 , 7 , 1 , 5 , 7 , 9 } = { 1 , 2 , 5 , 7 , 9 }, et A ∩ B = { 5 , 7 }. Si A ⊂ B, on a A ∪ B = B et A ∩ B = A. En fait, les trois propositions A ⊂ B, A ∪ B = B et A ∩ B = A sont équivalentes (prouvez-le !). Deux ensembles A et B sont dits disjoints si A ∩ B = ∅. Des ensembles A 1 ,A 2 ,...,An sont deux à deux disjoints si pour tous i et j dans { 1 , 2 , ..., n},
i 6 = j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅
Remarque : les notations utilisées pour l’union et l’intersection vous sont familières : vous les utilisiez en théorie des probabilités pour désigner la réunion ou l’intersection de deux événements. Ceci vient du fait qu’en théorie des probabilités, un événement est une partie de l’ensemble des possibles.
Commutativité, associativité, distributivité
Soit A, B, C des ensembles quelconques. On a : A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A. On dit que l’union et l’intersection sont des opérations commutatives. D’autre part,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C et A ∩ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∪ C
On dit que l’union et l’intersection sont des opérations associatives. Enfin,
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) etA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
On dit que l’union est distributive sur l’intersection et que l’intersection est distributive sur l’union. La commutativité et l’associativité de l’union (respectivement, de l’intersection) se déduisent de la com- mutativité et de l’associativité du OU (respectivement, du ET).De même, pour prouver que l’union est distributive sur l’intersection, et que l’intersection est distributive sur l’union, il suffit d’utiliser la distribu- tivité du OU sur le ET, et la distributivité du ET sur le OU. Faites-le!
Proposition : soit E un ensemble. Soient A et B des parties de E. On a alors :
A ⊂ B ⇔ CE (B) ⊂ CE (A)
Preuve. Preuve 1 (par double inclusion) Supposons A ⊂ B. Montrons CE (B) ⊂ CE (A). Soit x dans CE (B). On a donc x ∈ E et x /∈ B. Comme A ⊂ B et x /∈ B, il s’ensuit que x /∈ A. Or x ∈ E. Donc x ∈ CE (A). Donc CE (B) ⊂ CE (A). Réciproquement, supposons CE (B) ⊂ CE (A). Notons A′^ = CE (B) et B′^ = CE (A). A′^ et B′^ sont deux parties de E telles que A′^ ⊂ B′. D’après la démonstration qui vient d’être faite, on a donc CE (B′) ⊂ CE (A′). Or CE (B′) = CE (CE (A)) = A et de même CE (A′) = B. Donc A ⊂ B. Preuve 2 (pour amuser les aficionados de la logique). A, B, CE (A), CE (B) sont des parties de E. De ce fait, CE (B) ⊂ CE (A) ssi pour tout x dans E, si x /∈ B alors x /∈ A. Ceci étant vu, soit x dans E. La propo- sition "si x /∈ B alors x /∈ A" est équivalente à la proposition "non(x /∈ B) ou x /∈ A", donc à la proposition "x ∈ B ou non(x ∈ A)", donc à la proposition "non(x ∈ A) ou x ∈ B", c’est à dire à la proposition "Si x ∈ A alors x ∈ B". Finalement, CE (B) ⊂ CE (A) ssi pour tout x dans E, si x ∈ A alors x ∈ B, c’est à dire ssi A ⊂ B.
Complémentaire de l’union, complémentaire de l’intersection.
Proposition : Soient E un ensemble, et A et B deux sous-ensembles de E. On a : (i) CE (A ∪ B) = CE (A) ∩ CE (B). (ii) CE (A ∩ B) = CE (A) ∪ CE (B)
En notant A¯ le complémentaire dans E de A, les propriétés précédentes s’écrivent :
A ∪ B = A¯ ∩ B¯ et A ∩ B = A¯ ∪ B¯
Ces propriétés se retiennent de la manière suivante :
- le complémentaire de l’union est l’intersection des complémentaires
- le complémentaire de l’intersection est l’union des complémentaires
Preuve. Les résultats de la proposition sont intuitivement évidents : le (i) dit qu’un objet n’est pas dans l’union de A et de B s’il n’est ni dans A ni dans B ; le (ii) qu’un objet n’est pas dans l’intersection de A et de B s’il n’est pas dans A ou s’il n’est pas dans B. Voici toutefois une preuve rigoureuse du (i). Soit x ∈ A ∪ B. On a d’une part x ∈ E, et d’autre part non(x ∈ A ou x ∈ B), donc non(x ∈ A) et non(x ∈ B). Donc x ∈ A¯ et x ∈ B¯, donc x ∈ A¯ ∩ B¯. On a donc A ∪ B ⊂ A¯ ∩ B¯. Réciproquement, soit x ∈ A¯ ∩ B¯. On a d’une part x ∈ E, et d’autre part (x ∈ A¯) et (x ∈ B¯), donc non(x ∈ A) et non(x ∈ B), donc non(x ∈ A ou x ∈ B), donc non(x ∈ A ∪ B). Donc x ∈ A ∪ B. On a donc A¯ ∩ B¯ ⊂ A ∪ B. Donc par double inclusion A ∪ B = A¯ ∩ B¯. Le lecteur attentif remarquera qu’au lieu d’une preuve par double inclusion on aurait donner une preuve plus rapide par équivalences successives. C’est vrai ici, et le raisonnement est assez simple pour qu’il n’y ait pas grand risque d’erreur. Toutefois, nous ne répéterons jamais assez que pour des preuves plus complexes, raisonner par équivalence est très souvent source d’erreurs. La preuve du (ii) est similaire à celle du (i) et laissée en exercice.
4 Mise en garde
Il y a des liens entre les expressions utilisées en logique (et, ou, etc.) et les opérations sur les ensembles (intersection, union, etc.), mais il ne faut pas mélanger. Les expressions "et", "ou", "implique", etc. sont à placer entre des propositions, pas entre des ensembles. Les signes ∩, ∪, ⊂, etc. sont à placer entre des ensembles, pas entre des propositions. En d’autres termes, si P et Q sont des propositions, "P et Q" a un sens, mais "P ∩ Q" n’en a pas. Si A et B sont des ensembles, "A ∩ B" a un sens, mais "A et B" n’en a pas.
5 Produit cartésien
Un couple est la donnée de deux objets dans un certain ordre. Bien noter que dans un couple, l’ordre compte : (1, 3) 6 = (3, 1). Un triplet (resp. quadruplet, quintuplet) est la donnée de trois (resp. quatre, cinq) objets dans un certain ordre. Soit n un entier naturel non nul. Un n-uplet est la donnée de n objets dans un certain ordre. A partir de deux ensembles A et B, on crée un nouvel ensemble noté A × B, dont les éléments sont les couples (a, b) constitués d’un élément a de A et d’un élément b de B, dans cet ordre.
A × B = { (x, y), x ∈ A et y ∈ B }.
On l’appelle produit cartésien de A et de B.
Exemple 1 : si A = { 1 , 2 , 3 } et B = { 1 , 7 }, alors
A × B = {(1, 1), (1, 7), (2, 1), (2, 7), (3, 1), (3, 7)
et B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)} Exemple 2 : si A = {saumon, poulet} et B = {banane, orange}, alors
A × B = { (saumon, banane), (saumon, orange), (poulet, banane), (poulet, orange) }
(Pour vous persuader de l’importance de l’ordre dans un couple, dites-vous que manger une banane après avoir mangé du saumon n’est pas la même chose que manger du saumon après avoir mangé une banane)
On peut généraliser cette construction à un nombre fini d’ensembles. Ainsi, si A 1 , A 2 ,...,An sont des ensembles, on peut construire l’ensemble
A 1 × A 2 × · · · × An
dont les éléments sont des n-uplets (a 1 , a 2 · · · , an) tels que ai ∈ Ai pour tout i dans { 1 , 2 , ..., n}.
Cas particulier : A × A se note A^2 , A︸ × · · · ×︷︷ A︸ n fois
se note An.
Par exemple on note N^2 l’ensemble des couples d’entiers naturels et R^2 l’ensemble des couples de réels.
Exercice 2 Soient A et B les intervalles : A = [0, 1] et B = [2, 5]. Dessiner dans le plan R^2 les ensembles A × B et B × A. Bien noter que A × B 6 = B × A.
6 Union et intersection d’un nombre quelconque d’ensembles
Notations Les notions d’union et d’intersection se généralisent à un nombre quelconque d’ensembles. Commençons par l’union. Soit n ≥ 1 un entier et A 1 , A 2 ,..., An des ensembles. L’union des ensembles A 1 , A 2 ,...,An se note A 1 ∪ A 2 ∪ .... ∪ An, ou encore, de manière plus concise,
⋃
i∈{ 1 , 2 ,...,n}
Ai
C’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un des ensembles Ai : on a donc
x ∈ A 1 ∪ A 2 ∪ .... ∪ An ssi il existe i dans { 1 , 2 , ..., n} tel que x ∈ Ai
7 Quelques propriétés évidentes
Voici quelques propriétés évidentes que vous pouvez utiliser directement. Ci-dessous, si une formule est donnée sous la forme d’une implication, c’est que sa réciproque est fausse.
Ensembles : Soient A, B, C des ensembles. On a toujours : ⋄ Si A ⊂ B et B ⊂ C alors A ⊂ C. ⋄ A ∩ B ⊂ A et A ⊂ A ∪ B ⋄ Si A ⊂ B alors pour tout ensemble C, A ⊂ (B ∪ C) et (A ∩ C) ⊂ B ⋄ (A ⊂ C et B ⊂ C) ⇔ A ∪ B ⊂ C ⋄ A ∪ ∅ = A et A ∩ ∅ = ∅ ⋄ (A 6 = ∅ ou B 6 = ∅) ⇔ (A ∪ B 6 = ∅)
Ensembles et quantificateurs (en plus des formules du polycopié de logique) ⋄ Si A ⊂ B et (il existe x dans A tel que P (x)) alors (il existe x dans B tel que P (x)) ⋄ Si A ⊂ B et (pour tout x dans B, on a P (x)) alors (pour tout x dans A, on a P (x)) ⋄ (Il existe x dans A tel que P (x)) ou (il existe x dans B tel que P (x)) ⇔ il existe x dans A ∪ B tel que P (x). ⋄ Si (il existe x dans A ∩ B tel que P (x)) alors ([Il existe x dans A tel que P (x)] et [il existe x dans B tel que P (x)]).
⋄ (Pour tout x dans A, on a P (x)) et (pour tout x dans B, on a P (x)) ⇔ pour tout x dans A ∪ B, on a P (x).
8 Rappel des principales définitions et propriétés
Soient E un ensemble et A, B, C des parties de E. Soit I un ensemble d’indices, et pour tout i dans I, soit Ai une partie de E. Par définition :
A ∪ B = {x, x ∈ A ou x ∈ B} A ∩ B = {x, x ∈ A et x ∈ B} A\B = {x, x ∈ A et x /∈ B} CE (A) = E/A, noté aussi A¯ ou Ac A × B = {(a, b), a ∈ A et b ∈ B} An^ = A︸ × · · · ×︷︷ A︸ n fois ⋃
i∈I
Ai = {x, ∃i ∈ I, x ∈ Ai}
i∈I
Ai = {x, ∀i ∈ I, x ∈ Ai}
Principales propriétés (ci-dessous, si X ⊂ E, on note X¯ le complémentaire de X dans E) :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ B = A¯ ∩ B¯ A ∩ B = A¯ ∪ B¯ A¯^ ¯ = A A ⊂ B ⇔ B¯ ⊂ A¯
Les propriétés des deux premières lignes se généralisent à un nombre quelconque d’ensembles.
