Cauchy Criterion for Numerical Sequences: Theory and Solved Exercises, Exercises of Mathematics

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Critère de Cauchy d’une suite numérique

avec exercices corrigés

Moumene Fatiha

Année 2024/

Critère de Cauchy d’une suite numérique

Définition

Soit {xn}n∈N une suite numérique. On dit que c’est une suite de

Cauchy si:

∀ > 0 : ∃n ∈ N tel que : ∀n, m ≥ n : |xm − xn| < 

Proposition 1

Toute suite convergente vers une limite finie, est une suite de

Cauchy.

Proposition 2

Toute suite de Cauchy est une suite bornée.

Preuve

Soit {xn}n∈N une suite de Cauchy et soit  = 1.

∃N 1 ∈ N tel que |xn − xN 1 | < 1 , pour tout n ≥ N 1.

Ainsi , pour tout n ≥ N 1 on a:

|xn| − |xN 1 | ≤ |xn − xN 1 | < 1 =⇒ |xn| ≤ 1 + |xN 1 |.

Il existe donc M 1 > 0 tel que ∀n ≥ N 1 , |xn| ≤ M 1

Posons M = max{|x 0 |, |x 1 |,...... , |xN 1 |, M 1 }

Il est facile de voir que ∀n ≥ N 1 , |xn| < M.

On en déduit que la suite {xn}n∈N est bornée

Exercice 1

Montrer que la suite {xn}n∈N∗ définie par:

xn = 1 +

2

2

n 2

est convergente.

|xm − xn| =

n^2

(n + 1)^2

(n + 2)^2

m^2

2

2

n 2

(n + 1)^2

(n + 2)^2

m^2

n(n + 1)

(n + 1)(n + 2)

(m − 1)m

n

n + 1

n + 1

n + 2

m − 1

m

n

m

n

car lim n→+∞

n

n

<  =⇒ n >

Il suffit de prendre n =

[

1 

]

D’où, la suite {xn}n∈N∗ est convergente.

Solution de l’exercice 2

Pour montrer que la suite {xn}n∈N∗^ n’a pas de limite finie, il suffit de

prouver qu’elle n’est pas de Cauchy.

On a pour tout n ∈ N ∗ :

|x 2 n − xn| =

n

n + 1

2 n

n

n + 1

n + 2

2 n

2 n

2 n

2 n

2 n − (n + 1) + 1

2 n

n

2 n

Donc pour  < 1 2

, on a : ∀n ∈ N ∗ : |x 2 n − xn| > 

Par conséquent, {xn}n∈N∗^ ne peut pas être de Cauchy.

Solution de l’exercice 3

Soit  > 0 , soient m, n ∈ N , on a pour m > n :

|Um − Un| =

m

2

m 2

• 1

n

2

n 2

• 1

m

2

• 1 − 1

m^2 + 1

n

2

• 1 − 1

n^2 + 1

m 2

• 1

n 2

• 1

n 2

• 1

m 2

• 1

n 2

• 1

m 2

• 1

n 2

m 2

On a,

n 2

=⇒ n

2

=⇒ n >

Il suffit de prendre n >

2 

Alors, ∀ > 0 : ∃n ∈ N tel que : ∀n, m ≥ n : |Um − Un| < 

Par conséquent (Un) est un suite de Cauchy.

Solution de l’exercice 4

Soit  > 0 , soient m, n ∈ N , on a pour m > n :

|am − an| =

2

2

n 2

n

(n + 1) 2

n+

m 2

m

2

2

n 2

n

(n + 1)

2

n+

(n + 2)

2

n+

m

2

m

On montre facilement par récurrence que : ∀n ≥ 5 : 4 n

n 4 .

Alors,

n

n 4 , De plus,

|am − an| <

(n + 1) 2

(n + 1) 4

(n + 2) 2

(n + 2) 4

m 2

m 4

(n + 1) 2

(n + 2) 2

m 2

m ∑

k=n+

k 2

m ∑

k=n+

k(k − 1)

m ∑

k=n+

k − 1

k

m− 1 ∑

k ′ =n

k

m− 1 ∑

k=n+

k

(avec k

′ = k − 1)

m− 1 ∑

k=n

k

[

m− 1 ∑

k=n

k

n

]

n

Il suffit de prendre n =

[

1 

]

Alors, ∀ > 0 : ∃n ∈ N tel que : ∀n, m ≥ n : |Um − Un| < 

Par conséquent (an) est un suite de Cauchy

Solution de l’exercice 5

Soit  > 0 , soient m, n ∈ N

∗ , on a pour m > n :

|bm − bn| =

1 × 2

2 × 3

n− 1 1

n(n + 1)

n

(n + 1)(n + 2)

m− 1

m(m + 1)

1 × 2

2 × 3

n− 1

n(n + 1)

n 1

(n + 1)(n + 2)

m− 1 1

m(m + 1)

(n + 1)(n + 2)

m(m + 1)

m− 1 ∑

k=n

(k + 1)(k + 2)

m− 1 ∑

k=n

[

k + 1

k + 2

]

m− 1 ∑

k=n

k + 1

m− 1 ∑

k=n

k + 2