Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Rede uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van gewoon hoogleraar in de Didactiek van de Wiskunde aan de Faculteit Bètawetenschappen van de Universiteit Utrecht door Paul Drijvers
Typology: Essays (university)
1 / 56
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Freudenthal Instituutvoor Didactiek van Wiskunde en Natuurwetenschappen
Rede uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van gewoon hoogleraar in de Didactiek van de Wiskunde aan de Faculteit Bètawetenschappen van de Universiteit Utrecht
door
Paul Drijvers
op donderdag 21 mei 2015
Mijnheer de Rector, collega’s, familie en vrienden,
Ergens midden jaren zestig van de vorige eeuw waren we op vakantie in Zwitserland. Vanaf de camping waren we met de auto naar een station van een kabelbaan gereden, in een gondel de berg op gegaan, boven wat gewandeld en toen weer met de kabelbaan naar beneden. In de auto terug naar de camping stelde mijn vader, van achter het stuur, de volgende vraag: “Tijdens onze afdaling ben ik 17 gondels tegengekomen. Hoeveel van die gondels zijn er in totaal?” Ik moet hier bij vertellen, voor zover u dat nog niet had begrepen, dat mijn vader wiskundeleraar was. Hij heeft hier in Utrecht college gelopen bij onder andere Freudenthal; mijn ouders zouden hier vandaag graag bij aanwezig zijn geweest. Op zijn vraag veren de vijf kinderen op van de achterbank: “34! Nee, 35!” Tot op een gegeven moment de jongste “18” zegt en daarmee de anderen tot zwijgen brengt.
Wat is hier aan de hand? De antwoorden 34 en 35 verraden een statische blik, zoals schematisch weergegeven in Figuur 1: onder in beeld de stijgende gondels, boven de dalers, dus in totaal 2 keer zo veel gondels als de 17 die mijn vader zag, al dan niet plus 1. Het juiste antwoord, 18, zie je echter vanuit een dynamisch perspectief: je ziet die kabelbaan draaiend voor je en realiseert je dat je tijdens de afdaling alle andere gondels tegenkomt. Een animatie op een beeldscherm, zoals mijn collega Frans van Galen heeft gemaakt, roept dit beeld onmiddellijk op 1.
Figuur 1. Statisch beeld van de kabelbaan
1 Zie http://www.uu.nl/medewerkers/phmdrijvers
Dit voorbeeld gaat over een aspect van wiskundig denken: het vermogen om flexibel heen en weer te schakelen tussen een statisch en een dynamisch perspectief, al naar gelang de situatie en de vraag. Dergelijke blikwisselingen – wiskundige wendbaarheid zoals Martin Kindt het wellicht zou noemen – spelen een grote rol bij het oplossen van problemen en bij het wiskundig denken dat daarbij aan de orde is. De animatie laat zien dat ICT-representaties zulke blikwisselingen kunnen oproepen. Hiermee is de toon gezet voor deze inaugurale rede, waarin wiskundig denken en ICT-gebruik de belangrijkste onderwerpen zijn.
Laat ik maar met de deur in huis vallen: in de wiskundeles moet meer worden nagedacht. Een van de belangrijkste doelen van wiskundeonderwijs is dat leerlingen worden uitgedaagd om hun hersens te gebruiken en daarbij de kracht van de wiskunde inzetten. Het gaat erom dat leerlingen alert en fris naar problemen kunnen kijken en kritisch kunnen denken en redeneren. Ik ben er stellig van overtuigd dat dit voor de leerling een fundamentele waarde van wiskundeonderwijs kan zijn, niet alleen ten behoeve van een exacte vervolgopleiding of beroepspraktijk, maar ook in andere praktijken en in het persoonlijke leven.
In deze overtuiging en ervaring sta ik niet alleen. Grote wiskundigen en didactici hebben dit standpunt in het verleden uitgedragen. Denk bijvoorbeeld aan Pólya’s veelgeciteerde hartekreet: “ First and foremost, it [wiskundeonderwijs, PD] should teach those young people to THINK ” (Pólya, 1963, p. 605). Of aan het pleidooi van Skemp (1976) voor relationeel naast instrumenteel inzicht. Van Streun (2001) breekt een lans voor productie in plaats van reproductie, voor weten waarom in plaats van weten dat. Specifiek voor algebra pleit Arcavi (1994) voor symbol sense in plaats van symbol pushing.
Maar vandaag de dag is er nog steeds alle reden om dit standpunt opnieuw onder de aandacht te brengen. Bij wijze van anekdotisch voorbeeld vertelde een docent me onlangs hoe zijn leerlingen in klas
vermelden leerdoelen zoals Make sense of problems and persevere in solving them , Reason abstractly and quantitatively , Model with mathematics en Use appropriate tools strategically die duidelijk refereren aan wiskundig denken^2. In Nederland heeft de vernieuwingscommissie wiskunde gepleit voor wiskundig denken als een centraal onderwijsdoel en daarmee als een belangrijk element van de vakvernieuwing wiskunde voor havo en vwo die de komende zomer in klas 4 wordt ingevoerd (cTWO, 2007, 2013).
Als we wiskundig denken als een centraal doel van wiskundeonderwijs zien, rijst de vraag wat we daar nu precies onder verstaan. Daarbij is een afbakening gewenst, want wiskunde heeft niet het alleenrecht op denken. Wat is specifiek aan wiskundig denken in vergelijking met wetenschappelijk denken of analytisch denken? Hoe verhoudt het zich tot wat Ottevanger et al. (2014) karakteristieke werkwijzen van natuurwetenschappen noemen, zoals modelontwikkeling en redeneervaardigheden?
In de literatuur vinden we verschillende visies op wiskundig denken. De hierboven genoemde Devlin stelt: “ Mathematical thinking is a whole way of looking at things, of stripping them down to their numerical, structural, or logical essentials, and of analyzing the underlying patterns ” (Devlin, 2011, p. 59). De National Research Council (1989, p. 31) schrijft: “[…] mathematics offers distinctive modes of thought which are both versatile and powerful, including modeling, abstraction, optimization, logical analysis, inference from data, and use of symbols ”. Schoenfeld zegt het weer anders:
Learning to think mathematically means (a) developing a mathematical point of view – valuing the processes of mathematization and abstraction and having the predilection to apply them, and (b) developing competence with tools of the trade, and using those tools in the service of the goal of understanding structure – mathematical sense-making. (Schoenfeld, 1992, p. 335)
Wat opvalt is dat deze definities nogal vaag zijn: “ a way of looking at things ”, “ offers ” maar niet “ is ”, “ including ”, “ learning to think ” in plaats
2 http://www.corestandards.org/Math/Practice
van “ think ”. Ook zien we opsommingen van elementen van wiskundig denken. Dreyfus en Eisenberg (1996) benoemen bijvoorbeeld analogie, structuur, representatie, visualisatie en omkeerbaarheid als aspecten van wiskundig denken. Recenter is de omschrijving van de vernieuwingscommissie wiskunde cTWO, die eveneens een lijst van denkactiviteiten geeft:
Centrale denkactiviteiten [in het wiskundeonderwijs van havo en vwo, PD] zijn modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren en bewijzen. (cTWO, 2007, p. 21)
In de syllabi voor de centrale examens wiskunde 2017 (havo) en 2018 (vwo) komt dit rijtje terug, waaraan wordt toegevoegd dat ICT daarbij functioneel kan worden gebruikt (CvTE, 2015a).
Al met al is wiskundig denken dus nog niet scherp gedefinieerd. Parafraserend op een recent artikel in Euclides (Drijvers, 2015) waag ik een poging tot een werkdefinitie:
Wiskundig denken is bedenken hoe je wiskundig gereedschap kunt gebruiken om een probleem aan te pakken.
Enkele termen uit deze omschrijving verdienen nadere toelichting. Ten eerste zit het wiskundige dus in het gereedschap. Dat vat ik ruim op: het kan specifiek en concreet zijn, zoals de abc -formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen, maar het omvat ook het ontwikkelen van strategieën en theoretisch-methodisch gereedschap zoals logisch redeneren, bewijzen, inductie en deductie. In feite maakt juist dit gereedschap het denken tot wiskundig denken. Ten tweede is ook het woord “gebruiken” breder bedoeld dan het misschien lijkt: het gaat niet alleen om het toepassen van een bestaande, kant-en-klare methode, maar ook, of zelfs juist, om het ontwikkelen daarvan, of om het op maat maken en aanpassen van een bestaande methode voor een specifiek doel. Een “probleem”, ten slotte, is niet zomaar een opgave, maar een vraag waarvoor de leerling nog geen kant-en- klare oplossingsmethode ter beschikking heeft, een niet-standaard
ontwikkelen en expliciteren van dergelijke heuristieken is een centraal leerdoel van onderwijs in probleemoplossen.
Op het eerste gezicht heeft het iets paradoxaals om probleemoplossen te onderwijzen: je wilt leerlingen problemen laten oplossen, in de hoop dat ze daardoor leren om te gaan met andere problemen, die nieuw zijn en waarin de oplossingen die ze hebben leren kennen niet direct toepasbaar zijn. Dat is dus een subtiele zaak. Door het werken aan geschikte problemen en door een goede manier van lesgeven kunnen leerlingen probleemoplossende vaardigheden ontwikkelen die de specifieke problemen die ze al hebben gezien overstijgen. De eerste resultaten van het onderzoek Wiskundige denkactiviteiten in praktijk^3 dat ik samen met een aantal scholen uitvoer, suggereren dat de sleutel daarvoor ligt in het voorbeeldgedrag van de docent en in het expliciteren van het probleemoplossingsproces en de bijbehorende heuristieken.
Modelleren betreft de relaties tussen wiskunde en problemen uit de wereld om ons heen en de manier waarop dergelijke problemen kunnen worden aangepakt met wiskundige middelen. Het doel is dan bijvoorbeeld het begrijpen van een fenomeen, het voorspellen van een ontwikkeling of het optimaliseren van een proces. De vernieuwingscommissie wiskunde omschrijft modelleren als “een praktisch en creatief proces waarbij realistische problemen in wiskundige vorm worden vertaald” (cTWO, 2007, p. 25). Een probleem wordt dus geformuleerd in wiskundige termen, bijvoorbeeld door het opstellen van formules en (differentiaal)vergelijkingen, of het maken van een meetkundige figuur. In een ruimere opvatting wordt bij modelleren ook gedacht aan het doorlopen van een cyclus van het vertalen van het probleem naar wiskunde, vervolgens het wiskundige probleem oplossen en ten slotte de oplossing terugvertalen naar het oorspronkelijk probleem (Drijvers, 2012; Spandaw & Zwaneveld, 2012). In het wiskundeonderwijs is modelleren om drie redenen van belang. Ten eerste ontleent wiskunde haar bestaansrecht ook aan de
3 Mogelijk gemaakt door het Nationaal Regieorgaan Onderwijsonderzoek, Projectnummer 405-14-
toepasbaarheid ervan, die je door middel van wiskundige modellen vormgeeft. Ten tweede draagt modelleren eraan bij dat leerlingen wiskunde als betekenisvol en voorstelbaar ervaren. Ten derde kunnen betekenisvolle wiskundige modellen een aanloop zijn naar abstractere wiskunde.
In tegenstelling tot wat men zeker in het buitenland soms denkt, wordt in het Nederlandse wiskundeonderwijs niet zo veel gemodelleerd. In examens, zelfs die van wiskunde A waarin modelleren een centrale rol speelt, komt modelleren niet of nauwelijks aan de orde en als dat het geval is, wordt het model veelal gegeven (Van Streun, 2014). In schoolmethoden en onderwijspraktijken zijn de probleemsituaties vaak gekunsteld en zelden realistisch, niet in de zin van voorkomend uit de werkelijkheid en evenmin in de zin van voorstelbaar en betekenisvol (Drijvers, 2006). Als een terzijde wil ik opmerken dat de huidige indeling van het vak wiskunde in havo en vwo in wiskunde A, B, C en D een ongelukkige is, waarin wiskunde C en D nauwelijks of niet levensvatbaar zullen blijken te zijn.
Figuur 3. Het vierlagenmodel voor emergent modelleren (naar Gravemeijer,
Terug naar het modelleren. In het licht van modelleren als proces naar abstractie is het begrip emergent modelleren verhelderend (Gravemeijer, 1999). In deze optiek ligt de waarde van het modelleren niet alleen in het resulterende model, maar ook in de betekenis daarvan die tegelijkertijd ontstaat. Aanvankelijk is deze betekenis sterk gekoppeld aan de realistische of paradigmatische probleemsituatie. Geleidelijk aan verschuift de aandacht zich naar de wiskundige relaties die een rol spelen in het oplossingsproces en ontwikkelt zich algemenere en formelere kennis. Denk bijvoorbeeld aan een probleemsituatie
Skemp maakt onderscheid tussen het proces van het abstraheren en het resultaat daarvan, de abstractie of het concept:
Abstracting is an activity by which we become aware of similarities […] among our experiences. Classifying means collecting together our experiences on the basis of these similarities. An abstraction is some kind of lasting change, the result of abstracting, which enables us to recognise new experiences as having the similarities of an already formed class. […] To distinguish between abstracting as an activity and abstraction as its end-product, we shall […] call the latter a concept. (Skemp, 1986, p. 21, cursivering in origineel)
Het abstraheren kan in gang worden gezet door bijvoorbeeld te generaliseren over een bepaalde categorie van voorbeelden, door het gemeenschappelijke uit een aantal situaties te halen, waardoor dat op zichzelf een nieuwe wereld wordt. Een andere manier is om operaties van een hogere orde op concepten toe te passen waardoor deze lagere dan meer een objectkarakter krijgen. Denk bijvoorbeeld aan het differentiëren, waarbij de functies die daaraan onderworpen worden meer het karakter van een object krijgen. Sfard gebruikt in dit verband de term reïficatie (Sfard, 1991).
Het resultaat van dit abstractieproces is dat je je beweegt op een hoger niveau van abstracte wiskundige objecten en hun relaties, en daarmee kunt redeneren. Dan heb je dus in feite het abstracte concreet gemaakt, wat de voltooiing is van het abstractieproces (Mason, 1989). Bij moeilijkheden kun je terugvallen op een lager niveau van concreetheid, van betekenis. Deze kijk op het abstractieproces is in lijn met het hierboven besproken idee van emergent modelleren.
Het valt te betreuren dat abstraheren zo weinig plaats heeft in het Nederlandse wiskundeonderwijs. Modelleren en abstraheren lijken tegenpolen te zijn en de nadruk ligt op toepassingen. Deze benadering doet de leerling te kort. Ook bij toepassingen en modellen gaat het wiskundigen immers niet om de uitkomst maar om het inzicht, de eigenschappen, de methoden. In de theorie van Realistisch Wiskundeonderwijs, die in Nederland als richtinggevend wordt
beschouwd maar niet altijd goed is begrepen, heeft behalve modelleren
Samengevat is wiskundig denken omschreven als het gebruiken en ontwikkelen van wiskundig gereedschap om een probleem op te lossen. Kenmerkende wiskundige denkactiviteiten zijn probleemoplossen, modelleren en abstraheren. In het voortgezet onderwijs staat wiskundig denken te weinig centraal. Echte problemen komen nauwelijks aan de orde of worden opgesplitst in kleine deelstappen, modellen worden vaak al weggegeven of betreffen gekunstelde contexten. Aan abstraheren wordt nauwelijks toegekomen. De uitdaging ontbreekt en de spanning is ver te zoeken. Wat valt hieraan te doen en op welke manier kan wiskundig denken worden onderwezen?
Het antwoord op deze vraag is tweeledig en ligt voor de hand: ten eerste door leerlingen goede problemen te geven waarin probleemoplossen, modelleren en abstraheren aan de orde komen, en ten tweede door als docent de mogelijkheden van dergelijke problemen in de klas optimaal te benutten.
Wat zijn geschikte problemen? Laat ik beginnen met een voorbeeld, binnen het hierboven genoemde onderzoek naar wiskundige denkactiviteiten ontwikkeld in samenwerking met docente Irene Vis. Zoals eerder opgemerkt wordt de abc -formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen in veel klassen niet bewezen. Dat is een ongewenste situatie en er zijn verschillende manieren om dit bewijs toch aan de orde te laten komen. Bij de formules en omschrijvingen in Figuur 4 kan leerlingen bijvoorbeeld worden gevraagd om deze op volgorde te zetten zodat ze een sluitend bewijs vormen. Dat kan met ICT-middelen zoals een digitaal schoolbord, maar ook met strookjes papier. Er zijn verschillende varianten, die het mogelijk maken om rekening te houden met de verschillen binnen de klas:
informatie beschikten maakte het oplossen spannend en de klassikale nabespreking levendig.
Figuur 4. Bouwstenen voor een bewijs van de abc -formule voor kwadratische vergelijkingen
Figuur 5. Een gewone vraag naar de lengte van AB die toch nog denkactief wordt
Het is nodig om docenten te equiperen met werkvormen en technieken die denkactiviteiten in de les bevorderen. Zowel in de initiële lerarenopleiding als in professionaliseringsaanbod, waaraan momenteel in samenwerking met de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren wordt gewerkt, verdient het verwerven van een dergelijk repertoire aandacht. In het eerdergenoemde onderzoek wordt momenteel een
aantal van dergelijke technieken ontwikkeld en geïdentificeerd. Denk bijvoorbeeld aan het hanteren van een nieuwe werkvorm, zoals in de voorbeelden hierboven, maar ook aan het stellen van de juiste vragen
Figuur 6. Een opgave uit het centraal examen vwo wiskunde B 2012: boven regulier en onder pilot.
