Download devoir logarithme nepirien and more Exams Mathematics in PDF only on Docsity!
M
me
El Kar
Devoir n°
Terminale spé1 22 / 02 /2 4 Durée :1h50min
EXERCICE 1
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle 0; + par f ( x ) = 5ln ( x + 3 )− x.
- a. On appelle f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur 0; + [. Calculer ( ) f ' x et étudier son
signe sur
b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur l’intervalle
c. Montrer que, pour tout x strictement positif on a ( )
ln 3
5 1 5ln 1
x
f x x
x x
d. En déduire la limite de f en +.
e. Compléter le tableau de variation de f sur l’intervalle
- a. Montrer que l’équation ( ) f x = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle
b. Après avoir vérifié que α appartient à l’intervalle 14;15 , donner une valeur approchée de α à
2
−
près.
c. En déduire le signe de f sur l’intervalle
Partie B
Soit( ) n
u la suite définie par
( )
0
1
5ln 3 pour tout n n
u
u u n
On considère la fonction g définie sur l’intervalle 0; + par ( ) ( ) g x = 5ln x + 3.
En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droite D d’équation y = x et la courbe C, courbe
représentative de la fonction g.
- a. Construire sur l’axe des abscisses de l’annexe 1 les termes 0 1 2
u ; u et u de la suite ( ) n
u en utilisant
la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction.
b. Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite ( ) n
u.
- a. Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle
b. Vérifier que ( )
g =
où α est défini dans la partie A question 2. a.
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a 0 n
u
e. En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que lim n
n
u
→+
- On considère l’algorithme suivant :
a. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation. Justifier que cet algorithme se termine.
b. Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales)
d. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B.
EXERCICE 2 :
Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.
Tous les résultats seront donnés sous la forme de fractions.
On dispose d’une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au
toucher.
Partie A
On considère l’expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l’urne U,
en remettant à chaque fois la boule dans l’urne.
On appelle X le nombre de fois où on a obtenu une boule rouge.
- Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer la probabilité d’avoir obtenu exactement une fois une boule rouge.
- Déterminer l’espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.
Partie B
On procède maintenant à une nouvelle expérience :
- on tire une boule de l’urne U. Si elle est rouge on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire
une boule à nouveau ;
- si cette deuxième boule est rouge, on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire une boule pour
la troisième fois.
- Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités.
- On appelle Y le nombre de boules rouges obtenues lors d’une expérience.
La variable aléatoire Y prend donc la valeur 1 si la dernière boule est rouge et 0 sinon.
Déterminer la loi de probabilité de Y et son espérance mathématique.
- On appelle N le nombre de tirages effectués lors d’une expérience.
Déterminer la loi de probabilité de N et son espérance mathématique.
- On appelle proportion moyenne de boules rouges le rapport de l’espérance du nombre de boules
rouges obtenues sur l’espérance du nombre de tirages.
Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l’expérience est la même que la proportion
de boules rouges dans l’urne.
EXERCICE 3 :
Partie A
On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment
AD.
- Démontrer que, pour tout point M de l’espace,
2 2
MD MA. = MI − IA
- En déduire l’ensemble ( E ) des points M de l’espace, tels que MD MA. = 0
Partie B :
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé
O i j k , , , , les points A , B , C et D ont pour coordonnées
respectives :
A 3;0;0 , B 0;6;0 ; C 0;0; 4 et D −5;0;1.
- a. Vérifier que le vecteur
n
est normal au plan ( ABC ).
b. Déterminer une équation du plan ( ABC ).
2.a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, orthogonale au plan ( ABC ) passant
par D.
b. En déduire les coordonnées du point H , projeté orthogonal de D sur le plan ( ABC ).
c. Calculer la distance du point D au plan ( ABC ).
d. Démontrer que le point H appartient à l’ensemble ( E ) défini dans la partie A.
