Mathématiques
DEVOIR DE CONTROLE
N° 2
Lycée Pilote Monastir
4ème Sc-Exp 3
Mr : Abbes
13 / 12 / 2017 , 2 h
Exercice N°1 : ( 5 points )
1) a) Résoudre dans l'ensemble ℂ l'équation
3
z = - i
.
b) En déduire les solutions de l'équation
()
3
3
z + i 1 - z = 0
.
2) a) Factoriser
( )
3
3
z + i 1 - z
.
b) En déduire que
( )
3
3
z + i 1 - z = 0
équivaut à
( )
1
z = 1 + i
2
ou
( )
2
z + 2i - 1 z - i = 0
.
c) Retrouver les solutions de
( )
3
3
z + i 1 - z = 0
.
3) Soit a une solution de
( )
3
3
z + i 1 - z = 0
. On pose
i α
a = r e
avec r > 0 et
α∈
ππ
- ,
22
.
a) Montrer que
a = 1 - a
et que
1
r = 2 cos α
.
b) Montrer que
3 3 i α 3 - 3 i α
r e + i r e = 0
. En déduire les valeurs possibles de
α
.
c) Déduire la forme exponentielle des solutions de l'équation
( )
3
3
z + i 1 - z = 0
.
Exercice N°2 : ( 5 points )
Soit la fonction f définie sur [-1 , 1] par :
π
f(x) = 1 + sin x
2
.
1) a) Dresser le tableau de variation de f.
b) En déduire que f réalise une bijection de [-1 , 1] sur [0 , 2].
2) a) La fonction réciproque
-1
f
de f est-elle dérivable en 0 et en 2 ?
b) Montrer que est dérivable sur ]0 , 2[ et que pour tout x ∈ ]0 , 2[,
( )
'
-1
2
2
f (x) =
π 2x - x
.
3) Montrer que le point I(1 , 0) est un centre de symétrie de la courbe de
-1
f
.
4) On pose pour tout n ∈
*
:
n
-1
n
k = 0
11
u = f 1 +
n n + k
∑
.
a) Montrer que pour tout n ∈
*
:
-1 -1
n
n+1 2n+1 n+1 n+1
f u f
n 2n n n
≤≤
.
b) En déduire que u est convergente et calculer sa limite.
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