Download Solution to a Given Differential Equation using Laplace Transform and more Assignments Differential Equations in PDF only on Docsity!
2 y
' '
'
− 2 y = t e
− 2 t
y
= 0 , y
'
Solution
Apply Laplace Transform to the equation given to all terms.
[
s
2
γ ( s )− sy ( 0 )− y
'
]
[
sγ ( s )− y ( 0 )
]
− 2 γ ( s ) =
¿ t
n
e
at
, n =1,2,3 …
( s − a )
n + 1
∴ t e
− 2 t
( s + 2 )
1 + 1
( s + 2 )
2
→ So collect like termsof γ ( s )
∴ γ ( s ) [ 2 s
2
+ 3 s − 2 ]− 2 sy ( 0 )− 2 y
'
( 0 )− 3 y ( 0 )=
→ substitute the IVP
γ ( s ) [ 2 s
2
+ 3 s − 2 ]− 2 s ( 0 )− 2 (− 2 )− 3 ( 0 ) =
γ ( s ) [ 2 s
2
+ 3 s − 2 ]+ 4 =
γ ( s ) [ 2 s
2
+ 3 s − 2 ]=
γ ( s )=¿
γ ( s )=
2 s − 1
( s + 2 )( s + 2 )
2
( 2 s − 1 ) ( s + 2 )
2 s − 1
( s + 2 )
3
( 2 s − 1 ) ( s + 2 )
∴ γ ( s )= 1 − 4 ¿ ¿
γ ( s )=
1 − 4 ( s
2
( 2 s − 1 ) ( s + 2 )
3
∴ γ
s
1 − 4 s
2
− 16 s − 16
( 2 s − 1 ) ( s + 2 )
3
− 4 s
2
− 16 s − 15
( 2 s − 1 ) ( s + 2 )
3
∴ γ
s
− 4 s
2
− 16 s − 15
( 2 s − 1 ) ( s + 2 )
3
A
( 2 s − 1 )
B
( s + 2 )
C
( s + 2 )
2
D
( s + 2 )
3
− 4 s
2
− 16 s − 15 ≡ A ( s + 2 )
3
2
- C ( 2 s − 1 ) ( s + 2 ) + D ( 2 s − 1 )
∴ A [ s
3
2
3
2
[
2 s
2
]
⇒ ( A + 2 B ) s
3
+( 6 A + 7 B + 2 C ) s
2
+( 12 A + 4 B + 3 C + 2 D ) s + 8 A − 4 B − 2 C − D
s
3
: A + 2 B = 0 …
i
s
2
: 6 A + 7 B + 2 C =− 4 …
ii
s
1
: 12 A + 4 B + 3 C + 2 D =− 16 …
iii
s
0
: 8 A − 4 B − 2 C − D =− 15 … ( iv )
[
|
|
|
|
|
| ]
[
]
Δ D
1
∴ For Δ D 1
