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ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS
CE87 - Estadística Aplicada 2
EJERCICIOS DE REPASO SEMANA 2
Indicaciones:
- Trabajar con una aproximación de tres decimales.
- Desarrollar con las cinco dimensiones de la competencia Razonamiento Cuantitativo.
- Un fabricante analiza dos métodos nuevos para fabricar una llanta. Para decidir qué método es mejor,
ha tomado una muestra de 10 llantas fabricadas con el primer método (A) y una muestra de 10 llantas
fabricadas con el segundo método (B) y ha registrado la duración de las llantas (en miles de kilómetros).
Los resultados se muestran a continuación.
Método A 61,1 58,2 62,3 64 59,7 66,2 57,8 61,4 62,2 63,
Método B 62,2 56,6 66,4 56,2 57,4 58,4 57,6 65,4 75,2 86,
Asumiendo normalidad en la duración de las llantas fabricadas y a un nivel de significación del 1%, ¿se
puede afirmar que la duración promedio de las llantas fabricadas con el método A es superior que con
el método B?
Interpretación:
Determinar qué método nuevo es mejor para fabricar una llanta.
Representación:
Variables:
X
A
: Duración de las llantas fabricadas por el método A (miles de kilómetros)
X
B
: Duración de las llantas fabricadas por el método B (miles de kilómetros)
Herramienta estadística: Prueba de hipótesis para la razón de varianzas y prueba de hipótesis para la
diferencia de medias con muestras independientes.
Planteamiento de hipótesis para la razón de varianzas:
0
𝐴
2
𝐵
2
(las varianzas son homogéneas)
1
𝐴
2
𝐵
2
(las varianzas son heterogéneas)
Planteamiento de hipótesis para la diferencia de medias:
0
: μ
𝐴
− μ
𝐵
1
: μ
𝐴
≤ μ
𝐵
1
: μ
𝐴
− μ
𝐵
1
: μ
𝐴
> μ
𝐵
Nivel de significación:
Cálculo y Análisis:
1. Prueba de hipótesis para la razón de varianzas poblacionales:
Estadístico de prueba:
𝑐𝑎𝑙
𝐴
2
𝐵
2
( 9 ; 9 )
𝑐𝑎𝑙𝑐
2
2
Estadístico de prueba: F
Desv. Estándar A = 2.
Desv. Estándar B = 9.
F_cal = 0.
Región crítica:
Calculamos los puntos críticos:
P.crítico_inferior = 0.
P.crítico_superior = 6.
Decisión: Como 𝐹
𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑐𝑟í𝑡
0 , 005 ; 9 ; 9
= 0 , 1529 , se rechaza H 0
Conclusión: A un nivel de significación del 1%, podemos afirmar que las varianzas de la duración de
las llantas fabricadas por el método A y B son heterogéneas.
2. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con varianzas heterogéneas:
Como las varianzas son heterogéneas, se usará el siguiente estadístico de prueba:
𝑐
( 𝑥
1
−𝑥
2
) −𝑘
√
𝑆
1
2
𝑛 1
𝑆
2
2
𝑛 2
(𝜐)
; donde: 𝜐 =
(
𝑆
1
2
𝑛
1
𝑆
2
2
𝑛
2
)
2
(
𝑆
1
2
𝑛
1
)
2
𝑛
1
− 1
(
𝑆
2
2
𝑛
2
)
2
𝑛
2
− 1
(
2 , 6171
2
10
9 , 803
2
10
)
2
(
2 , 6171
2
10
)
2
9
(
9 , 803
2
10
)
2
9
Promedios:
Prom_MétodoA = 61.
Prom_MétodoB = 64.
2. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con varianzas heterogéneas:
Contraste de Hipótesis para la diferencia de medias de dos muestras
independientes con varianzas desconocidas y distintas
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Variable: Duracion
Grupos: Metodo [MetodoA vs. MetodoB]
Distribución: t con 10.27648 grados de libertad
Valor del estadístico de contraste: - 0.
p-valor: 0.
Hipótesis alternativa: Diferencia poblacional es mayor que 0
Estimadores muestrales: mean of x 61.65 , mean of y 64.
Como 𝑃
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
= 0 , 77503 > 𝛼 = 0 , 01 , no se rechaza H 0
- MATRIX S.A. es una empresa que se dedica a la fabricación de tornillos. El departamento de control de
calidad le ha informado al jefe de producción que la longitud promedio del tornillo fabricado con la
máquina I excede a la longitud promedio del tornillo fabricado con la máquina II, y por lo tanto se
realizará mantenimiento a la máquina I. Para verificar esta información el jefe de producción ha tomado
al azar dos muestras de tornillos fabricados con las máquinas I y II respectivamente, obteniendo los
siguientes resultados en mm:
Máquina N 𝑿
S
I 10 77,5 3,
II 12 68,1 2,
Suponiendo que la longitud de los tornillos sigue una distribución normal.
A un nivel de significación del 5%, ¿se realizará mantenimiento a la máquina I?
- ELECTRONICS S.A. es una compañía que fabrica piezas electrónicas. El ingeniero para mejorar la
producción ha decidido comprar una nueva máquina que fabrique las piezas empleando menor tiempo.
El departamento de producción debe elegir entre la máquina A o B, y su decisión se basará: Elegirá la
máquina B si es más eficiente, en caso contrario comprará la máquina A. Durante un periodo de prueba,
al jefe de producción se le permitió operar ambas máquinas, de tal manera que registró al azar los
tiempos, en segundos, de 10 piezas fabricadas por cada máquina.
Máquina A 55 56 57 56 58 53 54 59 60 57
Máquina B 50 51 42 50 40 60 53 44 48 58
Suponiendo que los tiempos tienen distribución normal.
A un nivel de significación del 4%, ¿qué tipo de máquina debería elegir el departamento de
producción?
- La empresa de metal mecánica utiliza para el acabado de sus productos la laca M1. Sin embargo, los
últimos desarrollos tecnológicos han puesto en el mercado un nuevo tipo de laca M2 que según sus
fabricantes seca más rápido con respecto a la laca M1. Dado lo intensivo de la producción de puertas de
acero, el reducir el tiempo de secado mejoraría la productividad y de ser cierto que el tiempo de secado
de la laca M2 es menor al de M1, la empresa optaría por la nueva laca.
Para tomar una decisión la gerencia decide comparar los tiempos de secado de ambos productos,
seleccionando una muestra al azar de 10 puertas a cada una de las cuales dividió dibujando una línea en
la mitad y laqueó la primera mitad con el producto M1 y la otra mitad lo hizo con el producto M2.
Los tiempos de laqueado (minutos) que obtuvo en ambos productos para cada puerta son presentados
en la tabla siguiente. Suponiendo normalidad para los tiempos de secado de ambas lacas y con α = 1%,
¿debería la empresa adoptar el nuevo producto?
Puerta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
M1 28 45 26 25 34 51 46 32 30 25
M2 30 40 25 23 30 48 41 35 28 16
Interpretación:
¿Debería la empresa adoptar el nuevo tipo de laca M2?
Representación:
Variables:
X
1
: Tiempo de secado al aplicar la laca M1 (minutos)
X
2
: Tiempo de secado al aplicar la laca M2 (minutos)
Herramienta estadística: Prueba de hipótesis para la razón de varianzas y prueba de hipótesis para
la diferencia de medias con muestras independientes.
Planteamiento de hipótesis para la razón de varianzas:
0
1
2
2
2
1
1
2
2
2
Planteamiento de hipótesis para la diferencia de medias:
0
: μ
1
≤ μ
2
0
: μ
1
− μ
2
1
: μ
1
> μ
2
1
: μ
1
− μ
2
Nivel de significación:
Cálculo y Análisis:
1. Prueba de hipótesis para la razón de varianzas poblacionales:
Solución con R Commander:
Contraste de hipótesis para cociente varianzas
Variable: Tiempo
Grupos: Producto [M1 vs. M2]
Distribución: F con 9 y 9 grados de libertad
Valor del estadístico de contraste: 1.
p-valor: 0.
Hipótesis alternativa: Cociente de varianzas poblacionales no es igual a 1
Estimador muestral: ratio of variances 1.
nuevo tipo de laca M2, debido a que no se ha comprobado que el tiempo de secado al aplicarlo sea
Solución con R Commander:
Contraste de Hipótesis para la diferencia de medias de dos muestras
independientes con varianzas desconocidas e iguales
Variable: Tiempo
Grupos: Producto [M1 vs. M2]
Distribución: t con 18 grados de libertad
Valor del estadístico de contraste: 0.
p-valor: 0.
Hipótesis alternativa: Diferencia poblacional es mayor que 0
Estimadores muestrales: mean of x 34.2 , mean of y 31.
Decisión: Como el 𝑝
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
= 0 , 27588 > 𝛼 = 0 , 01 , H
0
no se rechaza.
- En un experimento diseñado para estudiar los efectos de nivel de iluminación en el desempeño de
una tarea, se requirió que 9 sujetos insertaran un tubito de punta fina en los ojillos de diez agujas
en rápida sucesión con un bajo nivel de iluminación con un fondo negro y un nivel de iluminación
más alto con un fondo blanco. Cada valor de dato es el tiempo (segundos) requerido para completar
la tarea.
Fondo negro 25,85 28,84 32,05 25,74 20,89 41,05 25,01 24,96 27,
Fondo blanco 18,23 20,84 22,96 19,68 19,50 24,98 16,61 16,07 24,
¿Indican los datos que el nivel de iluminación más alto reduce por más de 5 segundos el tiempo de
terminación de la tarea promedio verdadero? Pruebe las hipótesis apropiadas utilizando un nivel de
significación de 1%.
- En un estudio realizado sobre accidentes en diez plantas industriales en el que se implantó un plan
piloto de seguridad, el número total de días de trabajo perdidos por accidentes antes y después del
programa en dos meses en particular, se muestra a continuación:
Plantas
industriales
Antes 28 45 26 25 34 51 46 32 30 25
Después 30 40 25 23 30 48 41 35 28 16
¿Existe diferencia entre el número de días perdidos por accidentes antes y después de implementarse
el plan piloto de seguridad? Use un nivel de significación del 2%.
Variables:
X
1
: Número total de días perdidos por accidentes antes
X
2
: Número total de días perdidos por accidentes después
Herramienta estadística: Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con muestras relacionadas o
pareadas.
- Planteamos la hipótesis:
0
: μ
1
− μ
2
0
: μ
𝑑
1
: μ
1
− μ
2
1
: μ
𝑑
- Estadístico de prueba:
Plantas
industriales
Antes 28 45 26 25 34 51 46 32 30 25
Después 30 40 25 23 30 48 41 35 28 16
Dif. - 2 5 1 2 4 3 5 - 3 2 9
Estadísticos descriptivos:
Promedio_dif = 2.
Desv.est_dif = 3.
𝑑
𝑑
- Región crítica:
Cálculo de puntos críticos:
P.crítico_inf = - 2.
P.crítico_sup = 2.
- Decisión: Como − 2 , 821 < 𝑡 𝑐𝑎𝑙𝑐
= 2 , 3475 < 2 , 821 , no se rechaza H 0
- Conclusión: A un nivel de significación del 2 %, no se puede afirmar que exista diferencia entre
el número de días perdidos por accidentes antes y después de implementarse el plan piloto de
seguridad.
- Por tanto, la implementación del plan piloto de seguridad no tuvo éxito.
Solución con R Commander
Contraste de Hipótesis para la diferencia de medias de dos muestras pareadas
Variables: Antes vs. Después
Distribución: t con 9 grados de libertad
Valor del estadístico de contraste: 2.
p-valor: 0.043481 *
Hipótesis alternativa: Diferencia poblacional no es igual a 0
Estimador muestral: mean difference 2.
Como el 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
= 0 , 043481 > 𝛼 = 0 , 02 , no se rechaza H 0
