Download Matemática I - Práctica Dirigida No 15: Cálculo Diferencial - Prof. Robert Yamashita and more Exercises Accounting in PDF only on Docsity!
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Per´u, DECANA DE AMERICA)´ FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES
MATEM ´ATICA I - Pr´actica dirigida No^15
- Determine los intervalos donde las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. Luego determine los extremos relativos.
a) f (x) = 4x^3 − 3 x^4 b) f (x) = x^3 − 6 x^2 + 9x c) f (x) = − 5 x^3 + x^2 + x − 7 d) f (x) = 3
x(x − 2)
e) f (x) = (^) x+1x
f) f (x) = (^5) xx 2 +2+ g) f (x) = xex h) f (x) = x ln x − x
i) f (x) = x ln x j) f (x) = (x^2 + 1)e−x k) f (x) = x^2 − 9 ln x l) f (x) = x
2 x^2 − 9
- Determine los intervalos de crecimiento y los valores extremos relativos de la funci´on
f (x) = x^3 − 3 x^2 − 9 x + 2
- Si f (x) =
x^2 (x − 2)^2
, halle los valores extremos relativos de f.
- Determine intervalos de concavidad y los puntos de inflexi´on de las siguientes funciones.
a) f (x) = x^3 − 6 x^2 + 9x + 1
b) f (x) = − x
4 4 +^
9 2 x
(^2) + 2x
c) f (x) = x + (^) x^1 d) f (x) = (^) 6(^21 xx+3)+40 2
e) f (x) = 4 x
2 x+ f) f (x) = x
(^2) + 3 ex
g) f (x) = 2xe−x h) f (x) = ln 2 x^ x
i) f (x) =
x + 1 x^2
j) f (x) =
x^2 + 1 (x − 1)^2
k) f (x) = (2x − 1)^2 −
3 x + 1 2 x − 1
- Sea f (x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + 2x − 2. ¿Qu´e condiciones debe satisfacer a y b para que exista punto de inflexi´on en x = 1?
- Si f (x) = ax^3 + bx^2 , determine a y b de modo que la gr´afica tenga un punto de inflexi´on en (1, 2).
- En los siguientes ejercicios, determine los intervalos de crecimiento, los valores extremos relativos y bosqueje su gr´afica de las funciones dadas.
(a) f (x) = x^3 + 2x^2 − 4 x + 2 (b) f (x) = x^4 − 14 x^2 − 24 x + 1
(c) f (x) =
x + 1 x^2 + x + 1 (d) f (x) = 3
(x + 2)^2 − 3
(x − 2)^2
- En cada uno de los ejercicios trace la gr´afica de la funci´on
(a) f (x) =
x^3 x^2 − 1
(b) f (x) =
x^2 x − 2 (c) f (x) =
4 x − 12 (x − 2)^2
(d) f (x) =
x x − 3
(e) f (x) = (x^2 − 1)(x^2 − 9)
(f) f (x) =
5 + x −
8 − x
- Elabore la gr´afica de una funci´on que tenga las propiedades siguientes:
- f ′(x) > 0 cuando x ∈] − ∞, −5[∪]1, +∞[
- f ′(x) < 0 cuando x ∈] − 5 , 1[
- f (−5) = 4
- f (1) = − 1
- Trace la gr´afica de una funci´on f que tenga las propiedades siguientes:
- limx→ 0 − f (x) = −∞, limx→ 0 + f (x) = +∞, limx→ 2 f (x) = −∞, limx→+∞ f (x) = 0, limx→−∞ f^ ( xx )= 1, limx→−∞(f (x) − x) = 2
′
- f ′(x) < 0 cuando x ∈] − 1 , 0[∪]0, 2[
• f (x) > 0 cuando x ∈] − ∞, −1[∪]2, +∞[
- f ′′(x) < 0 cuando x ∈] − ∞, 0[∪]1, 2[∪]2, +∞[
- f ′′(x) > 0 cuando x ∈]0, −1[
- f (−1) = − 1
- f (1) = 0
La firma XX opera bajo libre competencia y el precio de venta de un producto es p = 50. Si su funci´on de costo total es C = 100 + 3x + 0. 5 x^2 determine la utilidad m´axima de la firma.
La funci´on de costo total de la firma Y Z es
2 x^2 + 6x + 100
donde x es dado en kg. Determine la funci´on de costo medio y el valor de x para el cual el costo medio es m´ınimo.
- Se debe construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. No tendr´a tapa. El tanque necesita una capacidad de 4 metros c´ubicos de agua. El material con que se construir´a el tanque tiene un costo de S/10 por metro cuadrado. ¿Qu´e dimensiones del tanque minimizan el costo del material?
- Una peque˜na empresa manufacturera puede vender todos los art´ıculos que produce a un precio de S/ 6 cada uno. El costo de producir x art´ıculos a la semana (en soles) es
C(x) = 1000 + 6x − 0. 003 x^2 + 10−^6 x^3
¿Qu´e valor de x debemos seleccionar con objeto de maximizar las utilidades?
- Una compa˜n´ıa obtiene un ingreso de S/5 por cada art´ıculo de su producto que vende. Si gasta A d´olares por semana en publicidad, el n´umero de art´ıculos que vende por semana est´a dado por x = 2000(1 − ekA) en donde k = 0.001. Determine el valor de A que maximiza la utilidad.
- La ecuaci´on de demanda para el producto de un fabricante es
p =
6000 + 10q^2
Determine la elasticidad puntual de la demanda cuando p = 2.
