Download Électricité et électromagnétisme and more Study Guides, Projects, Research Law in PDF only on Docsity!
INSTITUT SUPERIEUR PEDAGOGIQUE DE BUKAVU
SECTION : SCIENCES EXACTES
DEPARTEMENT : CHIMIE-PHYSIQUE
ANNEE D’ETUDES : DEUXIEME ANNEE DE LICENCE
CONTRAT PEDAGOGIQUE
1. Intitulé de l’UE : ELECTRICITE ET ELECTROMAGNETISME. 2. Code de l’UE : PHS 3. Semestre : S 4. Animateurs : Dr BAHAYA B. Siméon (PhD) et Ass. NGABO Antoine 5. Objectifs de l’UE : Objectif général Cette U.E. vise l’acquisition des concepts de base de l’électrostatique, de l’électrocinétique et de l’électromagnétisme Objectifs spécifiques
- Etudier les phénomènes électriques et magnétiques présents dans les applications de l’électricité et l’électromagnétisme.
- Familiariser l’étudiant avec les techniques et les expressions générales des lois de l’électromagnétisme
- Rendre l’étudiant capable d’appréhender les faits chimiques reliés à l’électricité et l’électromagnétisme. 6. Compétences: CP1, CP3, CP5, CP6, CP7, CP8, CP9, PH1, PH2, PH et PH Interpréter, modéliser et résoudre. 7. Déroulement de l’UE : 6crédits : CMI : 60 h ; TP et TD : 30 h ; TPE : 60 h. 8. Approches pédagogiques : Cours magistraux interactifs, méthodes actives et participatives, pédagogie universitaire inversée, expérimentation 9. Matériels du cours : Syllabus, vidéo projecteur et matériels du laboratoire. 10. Mode d’évaluation : Contrôle continu, exercices (de synthèse, de démonstration). Quatre interrogations écrites prévues, des TD et TP. Examen final écrit à notes fermées. En cas d’absence à une évaluation l’étudiant doit présenter une justification valable endéans 48h sinon il aura une cote zéro. Pour être admis à l’examen, l’étudiant doit avoir participé à un minimum de 75% des heures prévues en présentiel. Préalables : Notions de mécanique générale et de mathématique (notions de dérivation, d’intégrale immédiate)
11. Descriptif de l’UE : Cette U.E se compose de trois grandes parties : L’électrostatique, l’électrocinétique et l’électromagnétisme. Electrostatique : Phénomènes d’électrisation, loi de Coulomb, champ et potentiel électrostatiques, condensateurs ; Électrocinétique en régime continu : Courant électrique, résistance électrique, loi d’Ohm, lois de mailles et de nœuds, loi de Pouillet et loi de Joule, associations des générateurs, analyse des circuits ; Electromagnétisme : induction magnétique et électromagnétique, force, travail et le flux électromagnétiques, Courant alternatif (circuit RLC, méthodes de représentation par des nombres complexes), Système de courant triphasé, Dipôles. Chaque chapitre est illustré par quelques exercices qui constituent une application et d’autres exercices seront résolus par des étudiants dans le cadre du TPE. 12. Notices Bibliographiques
Tout en signalant que tous les ouvrages de Physique générale traitant de l’électricité peuvent servir de référence, nous donnons ici à titre indicatif la liste non exhaustive suivante :
- M. Alonso et E. J. Finn (1977), Physique générale, tome II : Champs et ondes , Ed. de Renouveau Pédagogique, Paris.
- A. Dessart, J.C. Jodogne et J. Jodogne (1970), Cours de Physique, tome IV : Electricité, Ed. A. De Boeck, Bruxelles.
- D.C. Giancoli (1993), Physique générale 2 : Electricité et magnétisme, De Boeck-Wesmael S.A., Bruxelles.
- E. Hecht (1999), Physique , De Boeck-Wesmael S.A., Bruxelles.
- J. KANE et M. STERNHEIM (2008), Physique : Cours, QCM, Exemples et exercices corrigés , 3è Ed, DUNOD, Paris.
- R. Resnick et D. Halliday (1972), Physique 2 : Electricité et magnétisme , Ed. de Renouveau Pédagogique, Ottawa.
- R.A. Serway (1992) Physique II : Electricité et magnétisme, De Boeck-Wesmael S.A., Bruxelles.
- A. Van de Vorst (1991), Introduction à la Physique, tome II : Electromagnétisme et Optique, De Boeck-Wesmael S.A., Bruxelles.
- CHAGUETMI Samiha, Physique II : Electricité, Université Chikda, Algerie, 2017.
Première partie : ELECTROSTATIQUE
L’électrostatique est la partie de l’électricité qui étudie de l’électricité statique des corps électrisés
(conducteur ou isolant), c’est-à-dire l’étude des charges électriques au repos. Elle est l’étude des
propriétés conférées à l’espace qui entoure une charge électrique.
Chapitre 1. CHARGE ET INTERACTION ELECTRIQUE 1.1. CHARGE ELECTRIQUE ET STRUCTURE DE LA MATIERE 1.1.1. Structure de la matière De l’étude de la structure de la matière, il ressort que :
- La plus petite partie d’un corps qui en garde toutes les propriétés physico-chimiques est la molécule
- La molécule est constituée des particules plus petites, « les atomes ». On trouve des molécules monoatomiques, des molécules diatomiques et des molécules polyatomiques
- Les atomes sont les plus petits représentants des corps purs.
- Tout atome est constitué d’un noyau central autour duquel gravitent une ou plusieurs particules appelées « électrons »
- Tout noyau atomique est constitué des particules appelées nucléons. Celles-ci sont de deux sortes : les protons et les neutrons.
- Un atome peut gagner ou perdre un ou plusieurs électrons, il porte alors le nom d’ ion.
- Tout nucléon (proton ou neutron) serait constitué des particules plus petites appelées quarks qui sont aussi de deux types : les quarks u (de up = en haut) et les quarks d (de down = en bas). [quark : particule élémentaire qui forme les hadrons (particule sensible à l’interaction forte) comme les protons et les neutrons].
- Les protons et les neutrons restent ensemble dans le noyau parce qu’ils échangent des particules appelées mésons (qui sont des combinaisons quark-antiquark ).
- Les particules considérées comme indivisibles sont dites élémentaires. On compte actuellement plusieurs centaines de types différents de particules élémentaires quoi que toutes n’entrent pas dans la structure de la matière. Exemples de particules élémentaires : l’électron, le quark ; le photon, …
Il est actuellement admis qu’il existe plusieurs centaines de types différents des particules
élémentaires. Ces types des particules élémentaires se différencient par leurs propriétés dont l’une, la
masse, fort utile en mécanique, est la plus connue. Chaque particule a une masse.
Exemple :
La masse de l’électron au repos, notée me = 9,1095.10-31^ kg 9,11.10-31^ kg La masse du proton au repos, notée mp = 1,6726.10-27^ kg 1,67.10-27^ kg. La masse du neutron au repos, notée mn = 1,6749.10-27^ kg 1,67.10-27^ kg.
1.1.2. Notion de charge électrique La charge électrique est une propriété que possède toute particule et qui caractérise sa nature. Elle
représente sa plus grande aptitude à réagir aux phénomènes électriques. Tout comme elle a une masse,
chaque particule a aussi une charge électrique.
Elle est une quantité d’électricité portée par un corps.
Dans la suite nous parlerons de :
- Charges ponctuelles : charges dont les dimensions sont suffisamment petites par rapport aux distances d’observation pour être assimilée à un point géométrique (analogues aux points matériels en mécanique)
- Distributions continues de charges, définies par la densité de charge, qui peut être : linéique (𝜆 = 𝑑𝑞 𝑑𝑙 ), surfacique (𝜎 = 𝑑𝑞 𝑑𝑠) ou volumique (𝜌 = 𝑑𝑞 𝑑𝑉).
En physique classique, c’est-à-dire lorsqu’on ne tient pas compte des effets quantiques, une particule
est caractérisée par sa masse m et sa charge électrique q. La masse est la source du champ de
gravitation et la charge électrique crée le champ électromagnétique.
1.1.2.1.Propriétés des charges électriques
- La charge électrique est une caractéristique intrinsèque (essentielle, inhérente) de la matière responsable de son comportement électrique
- La charge électrique est une grandeur scalaire.
- La charge électrique est une grandeur mesurable, elle s’exprime en Coulomb (C) en S.I. Dans la pratique on utilise le 𝜇𝐶, 𝑙𝑒 𝑛𝐶, … Exemples : La charge électrique de l’électron : 𝑞𝑒= -1,60219.10-19^ C - 1,6.10-19^ C. La charge électrique du proton : qp = 1,60219.10-19^ C 1,6.10-19^ C.
- Le proton est électriquement chargé positivement.
- Le neutron est électriquement neutre. d. Loi qualitative de l’interaction électrique : Deux charges électriques de même signe se repoussent ; deux charges électriques de signes différents s’attirent. Interaction répulsive
Interaction attractive
1.2. PHENOMENES D’ELECTRISATION
1.2.1. Electrisation d’un corps Electriser un corps, c’est lui faire acquérir une charge non nulle ; pour cela, il faut lui enlever ou lui
ajouter des électrons. Si un corps a un excédent d’électrons, il est chargé négativement. S’il a un
déficit d’électrons, il est chargé positivement.
N.B. Tout corps électrisé se comporte soit comme une tige plastique frottée dans les cheveux soit une tige de verre frottée sur de la soie. 1.2.2. Conducteurs et Isolants électriques 1.2.2.1. Conducteurs électriques Un conducteur électrique est un corps pour lequel les charges électriques se répartissent sur l’ensemble du corps. NB : A l’intérieur d’un conducteur électrique, certaines particules chargées peuvent se déplacer plus ou moins librement. En électricité, un conducteur est un milieu matériel dans lequel certaines charges électriques, dites « charges libres », sont susceptibles de se déplacer sous l’action d’un champ électrique. Exemple : les métaux, les solutions électrolytiques, les gaz ionisés, le corps humain, la terre, … 1.2.2.2. Isolants électriques ou diélectriques Un isolant électrique est un corps pour lequel les charges électriques restent localisées aux endroits où elles ont été produites. NB : A l’intérieur d’un isolant, toutes les charges sont liées ; les particules chargées ne pouvant qu’effectuer des mouvements limités autour de leurs positions d’équilibre. Exemples d’isolants électriques : les plastiques, les verres, le bois sec, … Remarque : Il n’existe pas de frontière bien franche entre conducteurs et isolants électriques. Certains corps sont même, suivant les conditions auxquelles ils sont soumis, soit conducteurs soit isolants. C’est le cas des semi-conducteurs (silicium, germanium, …) qui sont mauvais conducteurs à basse
+ + – –
+ – – +
température et très bons conducteurs à haute température. C’est aussi le cas des corps photoconducteurs comme le sélénium qui sont isolants à l’obscurité et conducteurs à la lumière. 1.2.3. Modes d’électrisation des corps 1.2.3.1.Electrisation par frottement Le frottement de deux corps isolants, d’un isolant et d’un conducteur isolé ou de deux conducteurs isolés détermine l’apparition des charges électriques de signes contraires sur les deux corps. Donc, par frottement un des corps cède des électrons à l’autre. Le corps qui a perdu les électrons se charge positivement, celui qui gagne les électrons se charge négativement. Exemple :
- Une tige en verre bien sèche, frottée à l’aide d’un morceau de drap en soie ou en laine, tenue à la main, attire de petits morceaux de papier (fig. a). On dit que le verre a été électrisé par frottement. On obtient le même résultat si on remplace la tige en verre par un bâton d’ébonite (caoutchouc durci par mélange avec du soufre) et si on répète la même opération (fig.b)
- Si on essaie d’électriser, comme précédemment, une tige métallique, en cuivre par exemple, on n’obtient aucun résultat (fig.c). La tige en métal, tenue à la main, n’exerce aucune force sur les morceaux de papier. Par contre si on tient, par l’intermédiaire d’un manche en bois, la tige métallique électrisée, on constate que des forces d’attraction se produisent sur toute la surface du métal (fig.d).
- En frottant le verre avec de la laine, et en les approchant d’un pendule chargé, le pendule est attiré par le verre et repoussé par la laine. 1.2.3.2. Electrisation par contact Lorsqu’on met en contact deux corps conducteurs l’un perd les électrons et l’autre gagne les électrons. Dans le cas d’un corps chargé en contact avec un corps neutre ; le corps présentant un excès d’électron en cède une partie au corps neutre, le corps neutre se charge négativement, le corps présentant un déficit d’électron (chargé positivement) en arrache au corps neutre, le corps neutre se charge positivement et après les deux corps porteront les charges de même signes. Cas d’un pendule électrique : En approchant une tige plastique de la boule du pendule, celle-ci est attirée. Immédiatement après contact, elle s’écarte vivement de la tige. Lors du contact, une partie des charges négatives du plastique passent sur le métal de la boule du pendule. Les deux corps étant chargés d’électricité de mêmes signes se repoussent.
r
En reliant B à la terre, les électrons de la terre comblent le déficit de la région droite de B. En coupant le contact avec la terre, B a plus d’électrons que des charges positives. B est alors chargé négativement. A B
Après contact, les électrons s’échappent vers la terre, B sera chargé positivement. 1.3. LOI DE COULOMB 1.3.1. Enoncé de la loi.
F (^12)
F 21
Deux charges électriques ponctuelles q^ 1 et q 2 exercent l’une sur l’autre des forces opposées^ et^ ,
attractives ou répulsives, portées par la droite reliant les positions des deux charges et dont l’intensité est :
- directement proportionnelle au produit des deux charges.
- inversement proportionnelle au carré de la distance r séparant les deux charges.
- dépendante du milieu dans lequel se trouvent les deux charges. 1.3.2. Formulation de la loi Cas des charges de même signe (q 1 > (^0) et q 2 > 0) : interaction répulsive F (^21)
F 12
= – q 1 () q 2 ( F (^12)
)
Cas des charges de signes contraires (q 1 > (^0) et q 2 < 0) : interaction attractive F (^21)
F 12
F 12
q^ 1 =^ –^ q 2
L’expression de l’intensité de la force d’interaction électrique est donnée par :
où k = constante de Coulomb (détermine l’influence du milieu dans lequel sont placées les 2 charges). Pour le vide : k = k 0 = 9.10^9 u S.I.
Souvent on préfère prendre l’expression :
r
Où est la permittivité électrique absolue du milieu, 0 est la permittivité électrique absolue du
vide ; r est la permittivité électrique relative du milieu (ou constante diélectrique :
r ). Pour
le vide, 𝑘 0 = (^) 4𝜋𝜀^10 = 9 10^9 𝑢𝑆. 𝐼 ⇒ 𝜀 0 ≅ 8,85 10−12^ u S.I (C²/Nm)
L’expression de l’intensité de la force d’interaction électrique devient :
𝐹 = (^) 4𝜋𝜀^1 |𝑞^1 𝑟²||𝑞 2 | (1.2)
Dans le vide : 𝐹 = 9 10^9 |𝑞^1 𝑟²||𝑞 2 | (1.3) Constante diélectrique de quelques milieux. Milieu vide Air sec (CNTP)
Eau pure Eau (à 0°C) Caoutchouc
r^1 1,0006≅^1 80 88 2,
Remarque : L’interaction gravitationnelle entre particule chargée est négligeable par rapport à l’interaction électrique entre ces particules. En effet, soit à déterminer le rapport de la grandeur de la force électrique à celle de la force gravitationnelle qui s’exercent entre le proton et l’électron de l’atome d’hydrogène. On donne la distance moyenne qui sépare le proton et l’électron de l’atome d’hydrogène r 5,3.10-11^ m.
F (^) g Gmrpme 112 47 N 11 27 31 (^2 5) , 3. 10 3 ,^6.^10
6 , 7. 10 1 ,^67.^10.^9 ,^11.^10
Force gravitationnelle :
(G : Constante de gravitation).
Fe qrpqe 112 8 N 9 192 0 2 5 ,^3.^108 ,^2.^10
9. 10 1 ,^6.^10
Force électrique :
e g
ge e g AinsiF F
FF NN F F
38 ,,^22 .. 101047 2 ,^3.^10392 ,^3.^1039.
8 (^)
Par conséquent dans tout problème d’électricité les interactions gravitationnelles seront négligées devant les forces d’origine électromagnétique.
2.1.2. Calcul du champ électrique 2.1.2.1. Champ électrique créé par une charge ponctuelle Soit une charge 𝑞 > 0 située en A dans un milieu quelconque. Considérons une charge 𝑞 0 placée en un point B d’un champ électrique créé par 𝑞, à la distance AB= 𝑟 de A. La charge 𝑞 exerce sur 𝑞 0 une force dont le module F est donnée par :
La charge ponctuelle 𝑞 en A (charge active), créé donc en B un champ électrique 𝐸 tel que : 𝐹 = 𝑞 0 𝐸 (∗∗).
() et (*) donnent :
𝐸 = (^) 4𝜋𝜀^1 𝑟² 𝑞 (2.2)
Dans le vide 𝐸 = 910^9 𝑟²𝑞
radiale issue de 𝑞. Le sens de 𝐸 par rapport à celui de u^ r dépend du signe de 𝑞.
Remarque :
- Si 𝑞 > 0 , les champs divergent
- Si 𝑞 < 0 , les champs convergent
- Le champ électrique en un point est indépendant de la charge qu’on y place, il dépend seulement de la charge qui le crée (produit).
2.1.2.2. Champ électrique d’un système de charges électrique Considérons un système de n charges actives ponctuelles 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 , … , 𝑞𝑛qui crée un champ électrique en un point. 𝐸 1 = (^) 4𝜋𝜀^1 𝑞 𝑟 112 𝑢 1 , 2 2 2 2 4 ²
(^1) u r E q
3 3 4 ²
(^1) u r E q
,………, n n
n nu r E q 4 ²
Champ électrique résultant : 𝐸 = 𝐸 1 + 𝐸 2 + 𝐸 3 + ⋯. +𝐸𝑛 = ∑ 𝑛𝑖=1𝐸𝑖
𝐸 = (^) 4𝜋𝜀^1 ∑ 𝑟𝑞𝑖 𝑖^2
𝑛
𝑖=
Exemple : Cas d’un système de deux charges ponctuelles.
2.1.2.3. Champ électrique créé par une distribution continue de charges Lorsqu’on a une distribution continue de charges, on peut la diviser en petits éléments dq et remplacer la somme par une intégrale. On a :
𝐸 = (^) 4𝜋𝜀^1 ∫ 𝑑𝑞𝑟 2 𝑢𝑟 (2.4)
L’intégrale doit être étendue à tout l’espace occupé par les charges. a) Lorsque la charge q est repartie sur un fil avec une densité linéaire 𝜆, chaque élément 𝑑𝑙 porte une charge 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙, et crée un champ élémentaire : 𝑑𝐸 = (^) 4𝜋𝜀^1 𝜆𝑑𝑙𝑟² ; le champ électrique créé par q est : 𝐸 = (^) 4𝜋𝜀^1 ∫ 𝜆𝑑𝑙𝑟² (2.4a) b) Dans le cas d’une surface chargée avec une densité surfacique 𝜎 telle que 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑠, on trouve de la même façon : 𝐸 = (^) 4𝜋𝜀^1 ∬ 𝜎𝑑𝑠𝑟² c) Dans le cas d’un volume V chargé avec une densité volumique 𝜌 telle que 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑠, on trouve de la même façon : 𝐸 = (^) 4𝜋𝜀^1 ∭ 𝜌𝑑𝑉𝑟² 𝑑𝑙, 𝑑𝑠 𝑒𝑡 𝑑𝑉 désignent respectivement les éléments de longueur, de surface et de volume.
On appelle ligne de champ électrique toute courbe tangente en chaque point au champ électrique en ce point. N.B.
- Les lignes de champ électrique sont orientées dans le sens des vecteurs champs qui leur sont tangents
- Le champ électrique est plus intense dans les endroits où la répartition des lignes de champ est plus ou moins dense. 2°) Spectre du champ électrique On appelle spectre électrique, un ensemble de lignes de champ d’une distribution des charges donnée Les spectres électriques renseignent sur les caractéristiques (direction, sens et intensité) du champ électrique. 2.1.3.2. Exemples des spectres électriques
Spectre d’une charge ponctuelle
Spectre d’un dipôle électrique
Spectre de deux charges ponctuelles égales
- Spectre d’un champ électrique uniforme Un champ électrique uniforme est un champ dont le vecteur champ électrique en tout point possède même grandeur et même direction. Les lignes de champ électrique sont alors des droites parallèles. Un tel champ est produit entre deux plaques parallèles portant des charges égales mais de signe contraires (opposées) : les lignes de champ sont perpendiculaires aux plaques et dirigés de la plaque positive vers la plaque négative.
2.2. POTENTIEL ELECTRIQUE
2.2.1. Définition Un potentiel électrique est une grandeur définie à une constante près, caractérisant les corps électrisés et les régions de l’espace où règne un champ électrique, et liée au travail produit par le champ électrique. Une particule chargée placée dans un champ électrique possède une énergie potentielle provenant de son interaction avec le champ. Le potentiel électrique en un point est défini comme l’énergie potentielle d’une charge unité placée en ce point.
En désignant le potentiel électrique par V , on a : V= 𝑬 𝒒𝒑 (Ep=qV) (2.6)
Unité : Le potentiel s’exprime en J/C. 2.2.2. Travail de déplacement d’une charge dans un champ électrique uniforme Il s’agit du travail des forces électriques dans un champ électrique Soit une charge q qui se déplace de A en B.
Lorsque la charge q 0 se déplace du point A au point B dans le champ électrique uniforme 𝐸 = 𝐸𝑢𝑥 en suivant la droite AB, la force 𝐹 = 𝑞 0 𝐸 effectue un travail :
La différence de potentiel (ddp) électrique entre deux points A et B, notée U=VB-VA, est définie
comme étant la variation de l’énergie potentielle électrique divisée par la valeur de la charge.
(2.9) Lorsque le point B est rejeté à l’infini, on prend que le potentiel en ce point est nul : 𝑉𝐵 = 0.
𝑉𝐴 = ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 = 𝑊 𝑞 0 ( 2. 10 )
D’où la définition : le potentiel en un point A d’un champ électrique est le rapport du travail effectué par les forces du champ pour déplacer une charge q 0 du point A à un point B rejeté à l’infini par la valeur de cette charge.
Remarquons que :𝑈𝐴𝐵 = − (^) ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 = 𝑊 𝑞𝐴𝐵 0 ⟺ 𝑈 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑊 𝑞𝐴𝐵 0 ( 2. 11 )
Au cours d’un déplacement de la charge de A à B, le travail 𝑊𝐴𝐵 = 𝑞 0 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
La ddp entre A et B est le travail effectué par les forces électriques du champ qui déplacent une charge positive unitaire du point A au point B, par un trajet quelconque.
N.B. On dit que le nombre U mesure en valeur absolue, la différence de potentiel électrique entre les deux points considérés. Elle est souvent appelée « tension électrique » entre ces deux points
L’unité S.I. de potentiel électrique est le Volt (V). 1V=1J/C Le Volt est donc la ddp existant entre deux points d’un champ électrique tels que, dans le transport d’une charge d’un coulomb de l’un à l’autre, la force électrique effectue un travail égal à un Joule. N.B. Le travail (ou énergie) s’exprime aussi en électro-volt : 1eV=1,602 10-19J. 2°) Potentiel en un point d’un champ produit par une charge ponctuelle Considérons une charge q créant à son voisinage un champ électrique variable avec la distance.
Le champ électrique créé par q est 𝐸 = 41 𝜋𝜀 𝑟^ 𝑞².
Comme le champ électrique n’est pas constant, par conséquent la force aussi ; le travail effectué pour un déplacement élémentaire 𝑑𝑥 est donné par :
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑟 = 𝑞 0 𝐸𝑑𝑟 = (^41) 𝜋𝜀
Le travail 𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝑟 𝑟 12 𝑑𝑊 = 41 𝜋𝜀 𝑞 0 𝑞 ∫ 𝑟 𝑟 12 𝑑𝑟 𝑟² = 41 𝜋𝜀 𝑞 0 𝑞 ∫ 𝑟 𝑟 12 𝑟−^2 𝑑𝑟 = − (^41) 𝜋𝜀 𝑞 0 𝑞 𝑟−^1 𝑟^ 𝑟 12
𝑊𝐴𝐵 = − (^41) 𝜋𝜀 𝑞 0 𝑞 (^) 𝑟^12 − (^41) 𝜋𝜀 𝑞 0 𝑞 (^) 𝑟^11 = (^41) 𝜋𝜀 𝑞 0 𝑞 (^) 𝑟^11 − (^) 𝑟^12
La ddp 𝑈 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = (^) 𝑞𝑊 0 = (^41) 𝜋𝜀 𝑞 (^) 𝑟^11 − (^) 𝑟^12
Si 𝑟 2 → ∞, 𝑉𝐵 = 0 , 𝑑′𝑜ù 𝑉𝐴 = (^41) 𝜋𝜀 𝑟^ 𝑞 1
En un point quelconque situé à une distance r de la charge, le potentiel en ce point est :
𝑉 = (^41) 𝜋𝜀^ 𝑞 𝑟 ( 2. 12 )
N.B. - Le potentiel électrique V est un scalaire, positif ou négatif suivant le signe de la charge qui le produit.
- Potentiel d’une sphère conductrice, de rayon R, portant une charge : 𝑉 = (^41) 𝜋𝜀^ 𝑞 𝑅
2.3. Relation entre champ et potentiel électriques
Le potentiel en un point déterminé est donné par : 𝑉 = (^41) 𝜋𝜀^ 𝑞 𝑟 Dérivons V par rapport à r : 𝑑𝑉𝑑𝑟 = − 4 𝑞𝜋𝜀 𝑟^12 = −𝐸
𝐸 = − 𝑑𝑉𝑑𝑟 ( 2. 13 )
Vectoriellement : 𝐸. 𝑑𝑟 = −𝑑𝑉 (2.14) Remarque :
- Le champ électrique (fonction vectorielle) dérive d’un potentiel (fonction scalaire).
- Le sens du champ électrique est celui des potentiels décroissants (signification physique du signe négatif).
N.B. La composante du champ électrique suivant une direction est opposée à la dérivée du potentiel
électrique par rapport à la variable de cette direction.
Dans l’espace tridimensionnel rapporté aux 3 directions des axes Ox, Oy, et Oz dont les vecteurs
unitaires de base sont respectivement 𝑖, 𝑗 𝑒𝑡 𝑘 ; la variation du vecteur champ est donnée par les
dérivées partielles du potentiel électrique ; on a :
𝐸𝑥 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑥 , 𝐸𝑦 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑦 , 𝐸𝑧 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝐸 = 𝐸𝑥𝑖 + 𝐸𝑦𝑗 + 𝐸𝑧𝑘
