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Ce document présente une étude approfondie des champs électriques et magnétiques dans un milieu diélectrique absorbant. Il traite de la définition des densités de charges de polarisation, de la détermination du champ électrique à l'intérieur du diélectrique, de la relation entre le champ électrique et la polarisation, de la capacité du condensateur, de l'induction créée par une spire, de l'équation de propagation, de l'approximation du régime quasi-stationnaire, de la loi d'Ohm, de l'onde plane et de la propagation de l'onde dans un milieu absorbant.
Typology: Exercises
1 / 52
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Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Avant-propos
Ce recueil de contrôles corrigés d'électricité 3 (élément de module du
module physique 3 composé des éléments électricité 2 & électricité 3), est
destiné essentiellement aux étudiants des filières Licences fondamentales,
Sciences de la Matière Physique (SMP) et Sciences Mathématiques Appliqués
(SMA), du premier cycle de l'enseignement universitaire. Les étudiants de
quelques filières Licences professionnelles peuvent également se servir de ce
document ; notamment les filières EnRA et EEI.
Ce support regroupe les contrôles du milieu de semestre, les contrôles de
fin du semestre et les contrôles de rattrapage qui ont étés proposés aux
étudiants de la Faculté des Sciences Semlalia de Marrakech (FSSM) durant la
période 2004-2008 dans le cadre du programme officiel de la réforme
pédagogique universitaire. Ces contrôles couvrent tous les chapitres de
l'électricité 3 : l'électrostatique dans la matière, la magnétostatique dans la
matière et la propagation des ondes électromagnétiques dans la matière.
Nous souhaitons que les étudiants (plus particulièrement ceux de la FSSM)
trouvent dans ce polycopié un bon outil de travail qui les aidera à mieux
comprendre le cours d’électricité 3 et à se préparer efficacement aux épreuves
des contrôles de cet élément de module.
Les auteurs
A. Essafti & E. Ech-chamikh
7- Calculer les vecteurs polarisation
P 1 et
P 2 dans les diélectriques 1 et 2, respectivement.
8- Calculer les densités surfaciques des charges de polarisation B p(R 1 ) sur le cylindre de
rayon R 1 et p(R 2 ) sur le cylindre de rayon R 2.
9- Calculer la densité surfacique des charges de polarisation
B p à l’interface entre les
diélectriques 1 et 2.
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Corrigé du contrôle N°1: (2004-2005)
Partie A :
1- L’équation de Maxwell-Gauss pour D
est : divD
Sa forme intégrale est : int
( )
DdS Q
S
Le flux du vecteur déplacement électrique à travers une surface fermée S est égal à la somme
des charges libres situées à l’intérieur de S.
2 - Par raison de la symétrie cylindrique, le vecteur D
est radial et ne dépend que de r donc :
D Drer
Le théorème de Gauss appliqué à un cylindre hypothétique de même axe que les deux
cylindres, et de rayon r (R 1 <r<R 2 ) et de hauteur h<<H conduit à :
DdS Dr dS Dr rh Rh
S S
1 () ( )
Ce qui donne : r
D r
1 ( )
Donc r er r
e r
1 avec : R 1
3 - Milieu LHI, D E
donc : er r
1
o
, donne o o er r
1 ( ) ( )
5- Les densités des charges de polarisation surfaciques sont définies par :
p ( R 1 ) P ( r R 1 ) n 1
avec : r n e
1
D’où : ( 1 ) ( ) ( ) 0
(^) p R Per er P o
p ( R 2 ) P ( r R 2 ) n 2
avec : n er
D’où : ( ) ( ) ( ) 0
2
1 2
p R^ Per er P o
6- La densité volumique des charges de polarisation p est définie par : p div ( P )
Comme :
r
Pr (^) o
1 ( ) et P Pz 0 ; Donc : (^) p 0
7- La charge de polarisation totale est : ( ) ( ) 0
( ) ( )
2 ( )
Q (^) R 1 dS R dS dv
S V
p p S
p p
En effet : ( ) 2 ( ) 2 2 0
2
1 1
Q (^) p o RH o
8- Le champ de polarisation E^ p ( r )
entre les armatures peut être déterminé à partir de la
relation du champ macroscopique E
; où E
est égal à la somme du champ extérieur Eo
et le
champ de polarisation Ep
: E Eo Ep
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
1 1
2
2
1
1
1 1
1
1 1 2
2
1
1
1 2 1 1 2
2
1 1
1 1
1
2
1 1
2
1
1 1
1
R e
Log
R e Log
r
R dr
r
R dr dV V R V R E dr E dr
R
R e
R e
R
R
R e
R
R
R e
R
6- Comme 2 ( )
1 1
2
2
1
1
1 1
1
1 1 R e
Log
R e Log
Donc :
1 1
2
1 2
1 1
1
R e
Log R
R e Log
Conclusion : Le condensateur est équivalent à deux condensateurs C1 et C2 en série :
R e
Log
R e Log
2
1 2
1 1
1
7- o o er
r
1
1 1 (^1 ) 1 ( 1 )
; dans le milieu 1.
o o er r
2
1 2 (^2 ) 2 ( 2 )
; dans le milieu 2.
8- Les densités des charges de polarisation surfaciques sont :
1
r r o
B p R^ Pe e P
2 2
1 2 2 2 2
R Per er P o
B p
9- A l’interface r=R 1 +e 1 ; la densité surfacique de charges de polarisation est :
1 (^ R 1^ e 1 ) 2 ( R 1 e 1 )
B p
B p
B p .
Avec : 0 ( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
R e
R e P r R e er er P o
B p
2 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 2
R e
R e P r R e er er P o
B p
Donc :
1 2
1 2
1 1
1
( R e )
B R^ o p
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle N°1 : (2005/2006)
Exercice 1 :
On considère un condensateur plan rempli de deux diélectriques LHI de permittivités
diélectriques et 2. Ces deux diélectriques touchent chacune des armatures suivant des
surfaces S 1 et S 2 ; Les contacts sont parfaits. Les deux armatures métalliques du condensateur
sont soumises à une différence de potentiel V. Les effets de bords sont supposés négligeables.
Soit d la distance entre les deux armatures.
1)- Enoncer les relations de passage entre deux milieux 1 et 2 pour le champ électrique E
et
pour le vecteur déplacement électrique D
2)- Déduire la relation entre les
champs électriques
E 1 et
E 2 dans
les milieux 1 et 2 respectivement.
Trouver leurs expressions en
fonction de V et d.
3)- Calculer les vecteurs
déplacement
D 1 et
D 2 dans les
diélectriques 1 et 2, respectivement.
4)- Déterminer les densités surfaciques de charges libres 1 et 2 portées, respectivement, par
les surfaces S 1 et S 2 en fonction de d, 1 , 2 etV. En déduire la capacité du condensateur C et
conclure.
5)- Calculer les vecteurs polarisation
P 1 et
P 2 , respectivement, dans les diélectriques 1 et 2.
6)- Calculer les densités surfaciques de charges de polarisation 1p et 2p portées,
respectivement, par les surfaces S 1 et S 2 de l’armature supérieure en fonction de d, 1 , 2 , o et
V.
Exercice 2:
Soit une sphère diélectrique LHI de susceptibilité électrique , de centre O et de
rayon R, placée dans le vide, polarisé uniformément suivant l’axe OX. Le vecteur polarisation
est P Pex
(placé en un point O)
en un point M très éloigné du dipôle. On pose r OM
équivalente à un dipôle électrique. Déterminer le
moment dipolaire électrique p
de la sphère.
polarisation P
l’expression du champ électrique E ( M )
en
coordonnés polaires (r,.
7)- On considère que la sphère est placée dans un champ électrique uniforme Eo
. Déterminer
le vecteur polarisation de la sphère.
r
e
ex
ey
R
d
ez
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2005-2006)
Exercice 1 :
D 1 (^) D 2 n 12
un vecteur normal à la surface orienté du milieu 1 vers le
milieu 2 et la densité surfacique de charges libres.
composante normale pour le champ électrique), soit donc
, donc on peut écrire
2
1
2
1
2
1
, dans le milieu 1 : V=E 1 d.
De même pour le milieu 2 on a : V=E 2 d. Soit donc :
d
1 e (^) z E 2.
D 1 (^) 1 E (^) 1 1 ez
Dans le milieu 2 , le vecteur déplacement est :
E (^) 1 ez
1
1
et
E (^) 2 ez
2
2
d
d
écrire : Q
d
d
d
1 1
2 2 ( 1 1 2 2 ).
Sachant que la capacité du condensateur est définie par : C
, on trouve C
d
Ce même résultat peut être obtenu en considérant que le condensateur est équivalent à deux
condensateurs en parallèle : C
d
d
1 1 2 2
d
1 ^ (^ ^1 ^ o )^1 ^ (^ ^1 o ) ez
De même dans le milieu 2, le vecteur de polarisation est :
d
2 ^ (^ ^2 ^ o )^2 ^ (^ ^2 o ) ez
d
La densité surfacique de charges de polarisation portée par la surface S 2 :
d
Exercice2 :
par une distance d très petite devant la distance au point d’observation.
Le moment dipolaire électrique du dipôle est par définition
p qd
où d AB ; p
est dirigé de – q vers +q. (^) A B
-q +q
d
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Unité : dans le SI, le module de p
s’exprime en Coulomb-mètre (C.m).
3 4
r
p r r d V M o
; ( r OM
3)- le moment dipolaire électrique p
est alors : p RP
3
3
2
3
3
3
3
3
3 3
cos
3
3
4
4
1
4
1 ( ) r
RP
r
R P r
r
RP r
r
p r V M
cos ( ) ( 2
3
r
E M grad
E M Ee E e r r
3
3
2
3
cos ) 3
cos ( ) ( r
r
r
o o
r
3
3
2
3
sin ) 3
cos (
r
r
r
o
o p o
Or : P (^) oE
Donc : o
o
o
o
o o
est uniforme aussi.
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
5- En déduire le champ de polarisation Ep
6- Déterminer la capacité C du condensateur sphérique.
7- Sachant que la densité d’énergie électrostatique est : DE
w , calculer l’énergie W
du condensateur.
On donne en coordonnées sphériques :
a
r
a r
r a r r
diva (^) r sin
( sin ) sin
2
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2006-2007)
Exercice I :
1- on applique la relation de continuité entre deux milieux 1 et 2 : D (^) 2 n D 1 n ex ( la
normale à la surface est dirigée du milieu 1 vers le milieu 2) ou bien directement le théorème
de Gauss pour le vecteur déplacement : int( )
( )
Dds Q libre
S
Dans le vide : Do (^) exez
Dans le diélectrique : Do D
(à la surface de séparation entre le vide et le
diélectriquelibres=0).
2- dans le vide on a z
o
ex Do (^) oEo exez Eo e
dans le diélectrique z
o r
ex D (^) o rE exez E e
alors:
r
Eo E
; E est faible devant Eo.
3- le vecteur polarisation dans le diélectrique :
z o r
ex r o r
o o r o e
dans le vide P 0
4- La densité surfacique de charges de polarisations est définie par : (^) p Pn P
Sur la face B on a : pB P ( ez ).( ez )
, alors :
ex r r
ex r r o
ex r o r
o pB r o
Sur la face A et ex
r
pA P^ pB
Le vecteur polarisation étant uniforme à l’intérieur du diélectrique par conséquent
(^) p divP 0
5- Le champ macroscopique est la somme de deux champs électriques E Eo Ep
( Eo
est le
champ créé par les charges libres et Ep
le champ créé par les charges de polarisation).
o p r
o E E
, d’où 1 )
r
Ep Eo
, alors Eo
et Ep
sont deux champs opposés.
Ou encore
o
p
Le champ de polarisation est suivant ez
6- sur la face B on a : ex
r r
ex r r o
ex r o r
o pB r o
A. Essafti & E. Ech-chamikh
dépend que de r distance au point O. L'application du théorème de Gauss sur une sphère de
rayon r conduit à : int ()
DdS Q
s
3 4 r
Q r D
pour r>R 1 , on identifie facilement = Q
2- Le champ électrique à l’intérieur du diélectrique, de constante diélectrique (R 1 <r<R 2 ) :
3 4 r
Q r E
3- le vecteur polarisation est : ( 1 )
4
3
o o r
Q r P D E
3 3
r
r div
r
Q r divP div
o o p
2 1
1 1
o p r R
R PR e
2 2
2 1
o p r R
R PR e
5- E Eo Ep
Eo
est le champ créé par la charge Q au point M : et Ep
le champ créé par les charges de
polarisation). : 3 (^4) r
Q r E o
o
E (^) p E Eo
3 o
p r
Q r E
On trouve la même expression en utilisant le théorème de Gauss pour calculer Ep
2
1
2
1
(^212)
R
R
R
R
dr r
V R V R Edr )
alors la capacité du condensateur est :
2 1
1 2 4 R R
2
2
w DE E
)
1 1 ( 8
4 2 4
1
1 2
2 2
2
2
2
1
R R
Q r dr r
Q W
R
R
e
on peut retrouver ce résultat en utilisant la relation : )
1 2
2
We QV
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Contrôle N°1 : (2007-2008)
Exercice 1 :
On considère dans le vide une sphère diélectrique , polarisée, de centre O et de rayon
R. En un point M de la sphère, la polarisation est radiale et son intensité P a même valeur en
tous les points de . ( P Prer
() , on désignera par
er le vecteur unitaire porté par le vecteur r r er ). Un point M de l’espace sera repéré par ses coordonnées sphériques (r=OM, , ).
1- Déterminer les densités de charges de polarisation surfaciques p et volumiques p.
2- Vérifier que la charge totale de polarisation Qp est nulle.
3- Calculer dans les deux régions de l’espace (r
4- Comment appelle t-on ce champ électrique et pourquoi?
5- Déterminer l'énergie électrostatique de la sphère.
On donne en coordonnées sphériques :
diva r r
r a rsin
a sin rsin
a r
2
( ) ( )
Exercice 2 :
La tension U entre les armatures
métalliques d’un condensateur plan est maintenue
constante grâce à un générateur. On introduit dans
l’espace entre les armatures, de largeur e, deux
lames : l’une diélectrique de permittivité relative
r et d’épaisseur e 1 , l’autre conductrice d’épaisseur
e 2 (voir figure). Soit S la surface des armatures.
Les effets de bords sont supposés négligeables et le champ électrique entre les armatures est
considéré uniforme. Soit ex la densité surfacique de charges libres portées par l'armature
supérieure.
dans le vide et le champ
électrostatique E 1
dans le diélectrique.
du diélectrique
et préciser son sens.
B
A
e 1
e 2
U
ez
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Sur la face supérieure on a : p , sup P ( ez ).( ez )
ex r r
ex r r o
ex r o r
o p r o
,sup ( ^1 ) ( ^1 ) ( ^1 ) (^1
Sur la face inférieure ex
r
(^) ,inf ,sup( 1 .
Le vecteur polarisation étant uniforme à l’intérieur du diélectrique par conséquent
(^) p divP 0
4- Le champ macroscopique est la somme de deux champs électriques E Eo Ep
( Eo
est le
champ créé par les charges libres et Ep
le champ créé par les charges de polarisation).
o p r
o E E
, d’où 1 )
r
Ep Eo
, alors Eo
et Ep
sont deux champs opposés.
Ou encore
o
p
Le champ de polarisation est suivant - ez
5- sur la face supérieure on a :
ex r r
ex r r o
ex r o r
o p r o
,sup ( ^1 ) ( ^1 ) ( ^1 ) (^1
6- Le champ électrique étant uniforme et n’a de composante non nulle que suivant ez
, alors la
relation E gradV
s’écrit dz
dV Ez , d’où dV Edz.
En intégrant,
2
1 2 1
1 2 D
o
D
C
C
B
o
B
A
A
V V U Eo dz Edz Edz Edz Edz ,
U Eo ( e e 1 e 2 ) E 1 e 1 E 2 e 2 avec E 2 =0dans la lame métallique.
On obtient ainsi :
r
o e e e e
1 1 2
La charge Q portée par l'armature supérieure est
r
o ex o o e e e e
1 1 2
dans le vide,
o
ex Eo
, où ex est la densité surfacique de charges libres portée par l'armature
supérieure.
La capacité C du condensateur a donc la valeur :
r
o e e e e
1 1 2
A. Essafti & E. Ech-chamikh
On pourrait retrouver ce résultat en notant que le système est équivalent à deux condensateurs
en série, l’un à vide d’épaisseur e-e 1 -e 2 , l’autre à un diélectrique d’épaisseur e 1. En effet
l’addition des inverses de ces capacités donne :
o r
e e e e
1 1 2
