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TRAVAUX DIRIGÉS EC 1
b
Exercice 1 : Série ou parallèle?
R
R 1
R
R 2
B
A
R 1
R 2
R
B
A
R 1
R
R 2
B
A
R
xy z
R 2
xy z
R 1
B
A
Les résistors R 1 et R 2 sont-ils en série, en parallèle ou ni l’un ni l’autre? Déterminer, si c’est possible, la résistance équivalente comprise entre les points A et B.
Premier circuit :
R
R 1
R
R 2
B
A ⇋ ÿ
R
R + R 1 + R 2
B
R 1 , R 2 (et R) sont sur la même branche, ils sont donc A montés en série. La résistance R AB est équivalente à l’association paral- lèle de R avec R + R 1 + R 2. On a donc R AB = R//(R + R 1 + R 2 ) = R 2 ( RR ++ RR 11 +^ + RR 22 )
Deuxième circuit :
R 1
R 2
^
R
B
A
R 1 et R 2 ne sont pas sur la même branche et leurs deux pôles ne sont pas directement liés par des fils comme le sont R et R 2. R 1 et R 2 ne sont donc montés ni en série ni en parallèle. On peut tout de même calculer R AB équi- valente à l’association R 1 en série avec l’association R et R 2 en parallèle : R AB = R 1 + (R//R 2 ) = R 1 + (^) RRR + R^22
R 1
R
R 2
B
A ⇋ ÿ
R 1
R//R 2
B
A Troisième circuit : les deux bornes de R 1 , R 2 (et R) sont di- rectement liés par des fils, ils sont donc montés en parallèle et G AB = G 1 + G + G 2 ⇒ (^) RAB^1 = (^) R^11 + (^) R^1 + (^) R^12 ⇒ R AB = RR 1 R 2 RR 1 + RR 2 + R 1 R 2
Quatrième circuit : les pointillés suggèrent que le circuit se prolonge à droite. Les résistors R 1 et R 2 ne sont donc montés ni en série, ni en parallèle. D’autre part, comme on ne connaît pas la suite du réseau, on ne peut pas déterminer R AB.
b
Exercice 2 : Application de la loi d’Ohm Déterminer l’intensité I à la sortie du générateur présent dans le circuit suivant.
6 V û
úI^ ÿ
A
2 kΩ
1 kΩ
B
2 kΩ
1 kΩ
C
2 kΩ
1 kΩ
1 kΩ
On procède par simplifications successives. Sur le circuit initial, seuls les deux résistors de 1 kΩ sont en série, on les associe pour obtenir le premier circuit ci-dessous. Sur ce dernier, on voit que les deux résistors de 2 kΩ situés à droite sont en parallèle. On les associe en un seul de résistance 2 × 2 2+2 = 1^ kΩ^ (circuit ci-dessous à droite).
6 V û
ú I^ ÿ A
2 kΩ
^
1 kΩ ÿ B
2 kΩ
^
1 kΩ ÿ C
2 kΩ
^
2 kΩ
6 V û
ú I^ ÿ A
2 kΩ
^
1 kΩ ÿ B
2 kΩ
^
1 kΩ ÿ C
1 kΩ On poursuit ensuite la simplification :
6 V û
ú I^ ÿ A
2 kΩ
^
1 kΩ ÿ B
2 kΩ
^
2 kΩ
6 V û
ú I^ ÿ A
2 kΩ
^
1 kΩ ÿ B
1 kΩ
6 V û
ú I^ ÿ A
2 kΩ
^
2 kΩ Et finalement, on se ramène à un générateur idéal de tension débitant un courant I dans un résistor unique de résistance R = 1 kΩ. L’application de la loi d’Ohm donne simplement I = 10006 = 6. 10 −^3 A soit 6 mA.
b
Exercice 3 : Résistance équivalente à une grille 2 × 2.
I^ A^ b
b^ B Chaque trait représente un résistor de résistance R. I Déterminer, par symétrie, l’intensité du courant dans chaque conducteur. En déduire la résistance équivalente du réseau vu entre les points A et B.
On est dans le cas particulier où à chaque nœud rencontré, le courant élec- trique se divise en deux courants d’intensités égales car le réseau a exactement la même structure selon les deux chemins offerts.
I 2
I 4
I 4
I 2
I 2
I 4
I 4
I I 2 4 I I 4 4
I 4
I A^ b
b^ B I
D
C
Par exemple en A, que le courant passe par le résistor situé à sa verticale ou à sa droite, la suite les composants rencontrés par la suite seront les même, on a donc I 2 dans ces deux résistors puis I 4 dans les suivants. Enfin, les branches se rejoignent et on obtient à nouveau I 2 puis I conformément à la loi des nœuds. On peut décomposer la tension U AB = U AC + U CD + U DB et par application de la loi d’Ohm, U AB = R. I 2 + 2R. I 4 + R. I 2 = 6R. I 4 = 3 2 RI. Or, en appelant R AB la résistance équivalent au réseau, on peut aussi écrire U AB = R AB .I. Par identification, on en déduit R AB = 32 R.
Exercice 4 : Résistance équivalente à un cube.
A b I
b^ B^ Un cube métallique est constitué de résistors, chaque arête possède I une résistance R. Déterminer, par symétrie, l’intensité du courant dans chaque conduc- teur. En déduire la résistance équivalente du réseau vu entre les points A et B.
On est dans le cas particulier où à chaque nœud rencontré, le courant électrique se divise en deux courants d’intensités égales car le réseau a exactement la même structure selon les deux chemins offerts.
b
R
3
3 I
C
R
(^1) I 1 A
u OA
R^2
I^2
B
u BO
u BA
O
A
b I 1
r^1
I^2
i
u BC
B
b I^2
r 3 i
bC
3 I
r 2
I 1
(^) i
u CA
u BA Association étoile Association triangle Figure de droite (triangle), on utilise directement la loi des nœuds pour faire figurer les intensités qui traversent les résistors. On en déduit ensuite u BA = r 3 .i = u BC + u CA = r 1 .(I 2 − i) − r 2 .(I 1 + i). On isole ensuite i dans la seconde équation : i.(r 3 + r 2 + r 1 ) = −r 2 .I 1 + r 1 .I 2 ⇒ i = − (^) r 1 + rr^22 + r 3 I 1 + (^) r 1 + rr^12 + r 3 I 2. Reste à remplacer dans l’expression de u BA pour éliminer i : u BA = − (^) r 1 + r^2 r.r 2 +^3 r 3 I 1 + (^) r 1 + r^1 r.r 2 +^3 r 3 I 2
- On a donc u BA = − (^) r 1 + r^2 r.r 2 +^3 r 3 I 1 + (^) r 1 + r^1 r.r 2 +^3 r 3 I 2 pour toute valeur de I 1 et I 2. Par identification, on en déduit R 1 = (^) r 1 + r^2 r.r 2 +^3 r 3 , R 2 = (^) r 1 + r^1 r.r 2 +^3 r 3 et par permutation circulaire des indices, R 3 = (^) r 1 + r^1 r.r 2 +^2 r 3.
- En injectant les expressions précédentes dans R^1 R^2 + R R^2 R 1 3 + R^1 R^3 , on montre (calculs fastidieux) que r 1 = R^1 R^2 + R R^2 R 1 3 + R^1 R^3. Le même type de calculs permet de vérifier que^ r 2 =^ R^1 R^2 + R R^2 R 23 + R^1 R^3 et r 3 = R^1 R^2 + R R^2 R 3 3 + R^1 R^3 (fastidieux).
- Application : si r 1 = r 2 = r 3 = R on a R 1 = R 2 = R 3 = R 3.
b
Exercice 6 : Association de dipôles, puissance. Soit un générateur de tension caractérisé par sa f.e.m. E et sa résistance interne r. On branche entre ses bornes, une résistance réglable R.
- Déterminer l’expression de l’intensité du courant qui circule dans le circuit.
- Déterminer l’expression de la puissance P absorbée par R en fonction de E, r et R.
- On considère la fonction P(R). Montrer qu’elle passe par un maximum Pmax à déterminer et tracer son allure pour E = 100 V et r = 10 Ω.
- On commence par représenter le circuit en adoptant la représentation de Thévenin pour le générateur :
úE
r
I ù
R
úU R
P (W)
R (Ω)
Par application de la loi des mailles (sens horaire), on écrit E − rI − RI = 0 ⇒ I = (^) r + ER. Remarque : on obtient directement cette expression à l’aide de la loi de Pouillet (EC 2 )
- Le résistor R reçoit (en convention récepteur) et dissipe la puissance P = U R .I = RI^2 = RE^2 ( r + R )^2 Pour déterminer son (ou ses) extremum, on résout l’équation dP dR
(r + R)^2 − R × 2(R + r) (R + r)^4
R + r − 2 R (R + r)^3
= 0 ⇒ R − r = 0 ⇒ R = r
Pour tracer l’allure de la courbe P(R), on remarque que P s’annule quand R tend vers 0 ou vers l’infini. C’est une fonction positive qui n’admet qu’un seul extremum : un maximum. On remarque que pour avoir un transfert maximum de puissance entre la source (généra- teur de tension (E,r)) et la charge (résistor R), il faut que r = R. On parle d’adaptation d’impédance.
Exercice 7 : Caractéristiques de dipôles actifs
- Tracer la caractéristique du dipôle D 1 représenté ci-dessous à gauche.
ð
A
ø
I
øE ^1
øI^1
R 1
ÿ ò
B
ø
I 2
R 2
øU
D 1
ð
A
øE ^2
R 2
ò
B
ø U
D 2
E 1 = 10 V, E 2 = 2 V, R 1 = 2 Ω et R 2 = 1 Ω.
- On ferme D 1 sur D 2 représenté ci dessus. Trouver graphiquement le point de fonctionne- ment du circuit constitué.
- On considère le dipôle D 3 constitué par les dipôles D 1 et D 2 montés en parallèle entre A et B. En utilisant les transformations générateur de tension ⇐⇒ générateur de courant, trouver son dipôle actif équivalent, puis sa caractéristique.
- La caractéristique du dipôle D 1 est la portion de droite (dipôle linéaire en régime perma- nent) I = f (U). On peut donc la tracer en déterminant l’expression de I en fonction de U. Pour le dipôle D 1 , la loi des nœuds (Cf figure ci-dessous) donne I = I 1 + I 2 avec d’après la loi d’Ohm U = −R 2 I 2 ⇒ I 2 = − (^) RU 2 et U = E 1 −R 1 I 1 ⇒ I 1 = E^1 R − 1 U d’où I = (^) RE 1 −
[ (^1) R 1 +^
1 R 2
] U = 5 − 32 U. On en déduit l’allure de la caractéristique.
u (V)
i (A)
D 1
D 2
Pt de fct D 3
ðø
I
ø E^1
ø I^1
R 1
ÿ ò
ø
I 2
R 2
ø U
D 1
ð
A
ú I^ ,
ø E ^2
R^2 ò
B
D 2 ø U
I (mA)
bc bc bc bc U (V)
b c
b c
b c
b c
b c
b c
∆I
∆U
b c
b c
La caractéristique statique n’est pas rectiligne donc le dipôle n’est pas linéaire.
- Modélisation : linéarisation par partie.
(a) Pour 0 V 6 U 6 6 V, I = 0, le courant ne passe pas, le composant se comporte comme un interrupteur ouvert (ou un résistor de résistance infinie).
ú I = 0
ø U
(b) Pour 6 , 0 V 6 U 6 7 , 2 V, I est une fonction affine de U soit I = aU + b avec a la pente qu’on détermine à l’aide du graphe a = (^) ∆∆ UI = 01 ,.^32 = 0, 25 A.V−^1. La courbe passe par U = 6 V, I = 0 mA, on en déduit la valeur de b car 0 = 6 × 0 ,25 + b ⇒ b = − 1 , 5 A. On a finalement I = 0, 25 U − 1 , 5 ⇒ U = I +1 0 , 25 ,^5 = 4I + 6 avec I en A et U en V. Pour un générateur de Thévenin de fem E Z et de résistance interne r Z , en convention récepteur (c’est le cas ici !), on a U = E Z + r Z I.
ú I
, rZ
ø U
ø EZ Par identification on en déduit E Z = 6 V et r Z = 4Ω.
- On obtient le point de fonctionnement en superposant les deux caractéristiques : celle de la diode en convention récepteur et celle du générateur de tension (la pile) en convention générateur : u = E − rI. La pile est un dipôle linéaire donc deux points nous suffiront pour effectuer le tracé : - pour I = 250 mA = 0, 25 A on a u = E − rI = 12 − 40 × 0 ,25 = 2 V - pour U = 8 V on a I = E − r U = 1240 − 8 = 0, 1 A = 100 mA. On place ces deux points et on en déduit la caractéristique complète. On lit les coordonnées du point de fonctionnement sur le graphe : U ≃ 6 , 6 V et I ≃ 140 mA. Remarque : on obtient des valeurs plus précises en écrivant U = E − rI la tension aux bornes de la pile est égale à U = E Z + r Z I celle aux bornes de la diode Zener.
⇒ E − rI = E Z + r Z I ⇒ I =
E − E Z
r + r Z
≃ 0 , 136 A soit 136 mA.
puis u = E − rI = 12 − 40 × 0 , 136 ≃ 6 , 56 V
Exercice 9 : Comparaison de deux tensions
- On considère le circuit représenté ci-dessus. On notera I 1 l’intensité du courant traversant R 1 − x et I 2 celle traversant R 2. Peut-on appliquer la relation du pont diviseur de tension pour déterminer la tension aux bornes de x? Justifier.
- On cherche à calculer toutes les intensités du circuit. Montrer qu’il suffit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour cela.
- Écrire ce système en prenant I 1 et I 2 comme inconnues.
- Le résoudre.
- En déduire l’intensité dans x.
- On règle x pour que I 2 soit nulle. Que vaut alors le rapport E E^21?
- Justifier que l’on puisse comparer deux tensions à l’aide de ce dispositif.
- Que pensez-vous de son utilisation lorsque les tensions sont très différentes?
- On ne peut pas appliquer la relation des ponts diviseurs de tension car l’intensité passant par x n’est a priori pas la même que I 1 ou I 2.
- Il y a trois branches donc a priori trois intensités à déterminer. Elles ne sont pas indépen- dantes à cause de la loi des nœuds, d’où deux intensités, donc a priori deux équations.
- La loi des mailles donne : (^) { E 1 = R 1 I 1 + xI 2 E 2 = (R 2 + x)I 2 + xI 1
- Par combinaison linéaire ou substitution, on obtient :
I 1 =
xE 2 − (x + R 2 )E 1 x^2 − R 1 (x + R 2 )
et I 2 =
xE 1 − R 1 E 2 x^2 − R 1 (x + R 2 )
- L’intensité dans x s’obtient alors par la loi des nœuds soit i = I 1 + I 2 = ( x x − 2 R −^1 R ) 1 E (^2 x −+ RR^22 E )^1
- Si la valeur de x est telle que I 2 = 0, on en déduit le rapport E E^21 = (^) Rx 1.
- La connaissance de x et R 1 permet donc de comparer les deux tensions E 1 et E 2.
- Il est possible de comparer des tensions très différentes à conditions de pouvoir faire varier x et R 1 sur de larges gammes.
Exercice 10 : Résistance itérative
R
R
A n − 1
R′
B n − 1
R
B n − 2
A n − 2
û
(^) u n − 1
xyyy z
xyyy z
Comme le dernier motif est équivalent à R′, la partie si- tuée à droite du réseau est équivalente au circuit repré- senté ci-contre. En appliquant exactement la même méthode que plus haut, on peut écrire u n − 1 = R
′ 2 R + R ′^ u n −^2 d’où^ u n^ =^
[ (^) R ′ 2 R + R ′
] 2 u n − 2.
(b) De même, u n =
[ (^) R ′ 2 R + R ′
] 3 u n − 3 si on répète trois fois les cal- culs. Au bout de k opérations, on obtient u n =
[ (^) R ′ 2 R + R ′
] k u n − k et pour k = n, on obtient finalement u n =
[ (^) R ′ 2 R + R ′
] n u 0.
Exercice 11 : Puissance en régime continu - Association de dipôles La force électromotrice d’un moteur électrique réversible est E = 24 V. Lors d’un fonctionnement en récepteur, il est traversé par un courant I et absorbe une puissance P = 180 W. Pour qu’il fournisse une puissance égale à P quand il fonctionne en générateur, il faut lui faire débiter un courant I′^ = 2I. Calculer la résistance interne de ce moteur.
r = 0,77 Ω
Exercice 12 : Charge d’une batterie Une batterie de voiture est déchargée. Pour recharger cette batterie, modélisée par une F.É.M. e = 12 V en série avec une résistance r = 0,2 Ω, elle la branche sur un chargeur de F.É.M. E = 13 V et de résistance interne r = 0,3 Ω. On lit sur la batterie qu’elle a une « capacité » de 50 A.h (ampère-heures).
- Déterminer le courant I circulant dans la batterie et la tension U à ses bornes en convention récepteur lors de la charge.
- Calculer la puissance délivrée par la source E, la puissance dissipée par effet Joule et la puissance reçue par la batterie (stockée sous forme chimique). Déterminer le rendement.
- On suppose qu’au cours de la charge, la tension de la F.É.M. reste constante (ce qui n’est pas tout à fait exact, voir cours d’électrochimie). (a) À quelle grandeur physique la capacité de 50 A.h est-elle homogène? (b) Initialement la batterie est déchargée, avec seulement 10% de sa capacité. Déterminer le temps de charge pour la recharger complètement. (c) Que vaut l’énergie dissipée par effet Joule pendant la charge.
- I = E r +− Re = 2 A et U = e + rI = e + r E r +− Re = rE r ++ RRe = 12, 4 V.
- P f = EI = E E r +− Re = 26 W, P J = ( E − e )
2 r + R = 2^ W,^ P r^ =^ eI^ =^ e
E − e r + R = 24^ W.^ ρ^ =^
Pr Pf =^
e E = 92%.
- (a) charge (b) Il faut fournir une charge Q = 90/ 100 × 50 = 45 A.h. It = Q car I = cte, d’où t = Q/I = 22 , 5 h. (c) RI^2 t = 160 kJ
Exercice 13 : Résistance équivalente : utilisation du théorème de Kenely. Pour le théorème de Kenely, voir exercice précédent dans la feuille de TD.
A
B
Chaque trait représente un résistor de résistance R. Déterminer la résistance équivalente du réseau vu des points A et B.
R AB = 1511 R.
