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TD LIMITE D ’ UNE FONCTION
EXERCICES D’PPLICATIONS ET DE REFLEXIONS AVEC SOLUTIONS
PROF: ATMANI NAJIB 1BAC BIOF
http:// abcmaths.e-monsite.com
Exercice 1 : déterminer :
2 2 0
lim 2
x
x x
x
Solution : on a :
2
0
lim 2 2
x
x x
^ ^ et
2 0
lim
x x
Donc :
2
0 2
lim 2
x
x x
x
Exercice 2 : Soit la fonction
x x f x x
Déterminer ^ 1 1
lim
x x
f x
et ^ 1 1
lim x x
f x
Solution : x 1;1
Si : x 1 :
1
1 1 1
x x (^) x f x x x x
Donc : 1 1 1 1
lim lim x x 1 2 x x
x f x x
Si : x 1 :
1
1 1 1
x x (^) x f x x x x
Donc : 1 1 1 1
lim lim x x 1 2 x x
x f x x
Remarque : 1 1 1 1
lim lim x x x x
f x f x
Exercice 3 :
La courbe ci-contre est la courbe de la fonction
définie par Morceaux comme suite :
𝑓: ℝ → ℝ
Déterminer graphiquement les limites de la
fonction 𝑓 à droite et à gauche de 1.
Exercice 4 : Soit la fonction 𝑔 définie par :
𝑔: ℝ → ℝ
Déterminer 𝛼 pour que la fonction 𝑔 admet une
limite en 1.
Exercice 5 : Soit la fonction
1 ² : ² 1
x f x x
Etudier la limite de f en x 0 (^) 1
Solution : Déterminons ^ 1 1
lim
x x
f x
et ^ 1 1
lim x x
f x
Solution : x 1;1
Si : (^) 1 x 1 :
2 (^1 )
1 1 1
x (^) x f x x x x
(^)
Donc : 1 1 1 1
lim lim 0 x x 1 x x
x f x x
Si : x 1 :
2 (^1 )
1 1 1
x (^) x f x x x x
(^)
Donc : 1 1 1 1
lim lim 0 x x 1 x x
x f x x
donc : 1 1 1 1
lim lim 0 x x x x
f x f x
donc : 1
lim 0 x
f x
Exercice 6 : déterminer : lim^ ²
x
x x
Solution : on a lim^ ² x
x
; lim x
x
Donc Formes indéterminée :" ^ "
lim ² lim ² 1 lim ² 1 x x (^) ² x
x x x x x (^) x x x
^
^
puisque :
lim 0 x (^) x x
et lim^ ²
x
x
LIMITE D ’ UNE FONCTION
alors : lim^ ²
x
x x
Exercice 7 : déterminer :1)
3
2 1
lim
x
x
x
3
2
lim
x
x
x
3 2
lim 2 4
x
x x x
Solution : 1) on a :
2
1
lim 1 0
x
x
^ et
3
1
lim 1 2
x
x
Donc :
3
1 2
lim
x
x
x
2) on a :
3 (^3 3 )
2 2 2 2
lim lim lim
x x x
x
x x x
x
x
x
x x
^
^
et on a : 3
lim 0
x x
et
lim 0
x x
et
3
lim 1 1
x x
et
lim 1 1
x x
^ Donc :
3
2
lim
x
x
x
car lim
x
x
3 2 3 3
1 1 2 lim 2 4 lim 2 1 x x 2 2 ²
x x x x x x x
(^)
on a : 3 2
lim lim lim 0
x x x 2 x x 2 x
^ ^ et
3
lim
x
x
donc
3 2 lim 2 4 x
x x x
3 2 3 3
1 1 2 lim 2 4 lim 2 1 x x 2 2 ²
x x x x x x x
(^)
on a : 3 2
lim lim lim 0
x x x 2 x x 2 x
^ ^ et
3
lim
x
x
donc
3 2 lim 2 4 x
x x x
Exercice 8 : calculer 2 1
lim x 2
x
x x
Solution : on a : 1
lim 3 1 4
x
x
^ on a :
2
1
lim 2 0
x
x x
Donc 2 1
lim x 2
x
x x
Exercice 9 : Déterminer les limites suivantes :
2 4 lim 2 5 7 x
x x x
2 4
2 3
2 5 7 lim x 10 14
x x x
x x x
2 5
2 6
3 8 2 lim x 2
x x x
x x
1
lim x 2 2 4
x x
x x
2
lim x 3 2
x
x x
Solution : 1)
2 4 4 lim 2 5 7 lim 7 x x
x x x x
2 4 4
2 3 3
2 5 7 7 lim lim lim x (^) 10 14 x (^) 14 x 2
x x x x x
(^) x x x (^) x
2 5 5
2 6 6
3 8 2 2 1 lim lim lim 0 x (^) 2 x (^) 2 x
x x x x
(^) x x (^) x x
Exercice 10 : Déterminer les limites suivantes :
0
sin 2 lim x sin 3
x
x
0
cos 1 lim x
x
x
6
3 sin cos lim
x
x x
x
Solution : 1)
0 0
sin 2 sin 2 3 2 2 2
lim lim 1 1
x sin 3 x 2 sin 3 3 3 3
x x x
x x x
0
cos 1 lim x
x
x
directement on trouve une
formes indéterminée :" 0 " 0
0 0 2 0 2
cos 1 1 1 cos 1 1 cosh 1 1 lim lim lim 1 2 2 2 2
2 2
x x h
x x x (^) h x
^ ^
^ ^ (^) ^
(On pose x h )
6
3 sin cos lim
6
x
x x
x ^ ^
On montre que : 3 sin cos 2sin 6
x x x
(^)
6 6
2sin 3 sin cos 6 lim lim
6 6
x x
x x x
x x
(^)
On pose 6
x h
) donc^0 6
x h
Donc : 0
sin 2 lim 2 1 2 h
h h
Exercice 11 : Déterminer les limites suivantes :
2 0
1 lim sin x
x x
3
cos lim x
x
x
2
1 sin lim x 2 cos
x
x x
Donc :
2
0
lim 2 0 x
x x
et
2
0
lim 2 0 x
x x
Donc : 0
lim x
k x
et
0
lim x
k x
2
lim 3 1 5 x
x
et
2
2
lim 2 0 x
x x
et
2
2
lim 2 0 x
x x
Donc : 2
lim x
k x
et
2
lim x
k x
Exercice 13 : calculer les limites suivantes :
2 2
lim x 3 10
x
x x
3
1 3
2 3 ² 4 1 lim x 1
x x x
x
2 lim x
x x x
4
tan 1 lim
x
x
x
Solution : 1) 2
lim 2 2 0 x
x
et
2 2
lim 3 10 0 x
x x
on trouve une formes indéterminée :" 0 "
0
2 2 2 2
lim lim x (^) 3 10 x 3 10 2 2
x x x
(^) x x x x x
^ ^ ^ ^ ^
2 2
lim lim x (^) 2 2 2 5 x 2 2 5 14
x
(^) x x x x x
^ ^
3
1 3
lim x 1
x x x
x
On a :
3 2 x 1 x 1 x x 1
Et
3 2 2 x 3 ² x 4 x 1 x 1 2 x 5 x 1
Donc :
3 2 2
1 3 1 2 1 2
lim lim lim x (^) 1 x (^) 1 1 x 1 3
x x x x^ x^ x x x
(^) x (^) x x x x x
^ ^
2 lim x
x x x
^ ?
On a :
2 lim x
x x
donc :
2 lim x
x x
Et lim x
x
on trouve une formes indéterminée :" "
2 2
2
2
lim lim x x
x x x x x x
x x x
x x x
2 2 2 2 2
lim lim lim 1 1
x x x
x x x x x x x x x x x x x
^
lim 1 1
x
x
x x x
^
or x^ donc x x
lim lim 1 1 2 1 1 1 1
x x
x
x x x
^ ^
^
^
4
tan 1 lim
x
x
x
(^)
On pose 4
x h
donc 0 4 x h
(
0 4
tan tan (^1 ) lim lim
h x
h x
h x
^
or :
tan tan 4 tan^1 tan 4 1 tan 1 tan tan 4
h h h h h
^ ^
0 4
tan 1 2 tan 2 lim lim 1 2 1 tan 1
4
h x
x h
h h x
Exercice 14 : monter que :
2 0
lim cos 0 x
x x
Solution : 1) on a x
cos 1 x
donc
x cos x x
et on a
2
0
lim 0 x
x
Donc :
2 0
lim cos 0 x
x x
Exercice 15 : monter que: 0
lim 2 ² sin 2 x
x x
Solution : x^
sin 1 x
donc :
f x 2 x ² sin x ² x
et on a
2 0
lim 0 x
x
Alors :
0
lim 2 x
f x
Exercice 16 : a)monter que:
f x x
b)monter que: 4
lim 2 1 3 x
x
Solution :
1 ; 2
x
x f x x x
et on a 2 x 1 3 3 donc :
2 3 4 3
f x x
et puisque : 4
lim 4 0 x
x
Alors : 4
lim 3 x
f x
Exercice 17 : Soit la fonction :
1 sin : 1
x f x x
déterminer : lim x
f x
Solution : x
on a 1 x x et
0 1 sin x 2 donc
1 sin 2
x
x x
donc
f x x
et on a
lim 0
x
x
donc :
lim 0 x
f x
Exercice 18 : Soit la fonction :
f : x x x sin x
déterminer : 0
lim
x
f x
Solution : x
on a
1 1 sin 1 x
et
2 4 x x 0
donc
x x x x sin x x x
et puisque :
2 4 2 4
0 0
lim lim 0
x x
x x x x
alors : 0
lim 0
x
f x
Exercice 19 : Soit la fonction :
2 f x 3 x 5 x 1
Montrer que : x
on a
2 3 x f x
En déduire :^ lim x
f x
Solution : et et puisque :
2
lim 3
x
x
alors :
lim
x
f x
Exercice 20 : Soit la fonction : f : x x sin x 1
déterminer :^ lim x
f x
Solution : (^) x on a 1 sin x 1 donc :
x 2 f (^) x (^) x et puisque :
lim
x
x
alors : lim x
f x
Exercice 21 : Soit
1 2 sin
²
x f x x
(^)
1 - Montrer que (∀𝑥 ∈ ℝ∗)
f x x
2 - En déduire 0
lim x
f x
« C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe. C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices
Que l’on devient un mathématicien
