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Thermodynamique 4 – Travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-
Machines thermiques
Thermodynamique 4 – Travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-
Machines thermiques
Exercices
Exercice 1 : Pompe à chaleur domestique [ ♦♦ ]
On veut maintenir la température d’une maison à T 1 = 20 ◦C alors que la température extérieure est égale à T 2 = 5 ◦C en utilisant une pompe à chaleur. L’isolation thermique de la maison est telle qu’il faut lui fournir un transfert thermique égal à 200 kJ par heure.
1 - Rappeler le schéma de principe d’une pompe à chaleur ditherme et le sens réel des échanges d’énergie du fluide caloporteur.
2 - Quel doit être le cycle thermodynamique suivi par le fluide pour que l’efficacité de la pompe à chaleur soit maximale?
3 - Définir et calculer l’efficacité théorique maximale de la pompe dans ces conditions. Montrer qu’elle ne dépend que de la différence de température entre l’intérieur et l’extérieur. Quel est le sens physique de l’efficacité?
4 - En déduire la puissance électrique minimale consommée par la pompe à chaleur.
5 - En supposant la température intérieure imposée, pour quelle température extérieure l’efficacité est-elle maximale? Commenter.
Exercice 2 : Rafraîchir sa cuisine en ouvrant son frigo [ ♦♦ ]
Un réfrigérateur est une machine thermique à écoulement, dans laquelle un fluide subit une série de transforma- tions thermodynamiques cycliques. À chaque cycle le fluide extrait de l’intérieur de l’intérieur du frigo un transfert thermique | Q int|, cède un transfert thermique | Q ext| à la pièce dans laquelle se trouve le frigo et reçoit un travail | W | fourni par un moteur électrique. On fait l’hypothèse que l’intérieur du réfrigérateur et l’air ambiant constituent deux thermostats aux températures respectives T int = 268 K et T ext = 293 K et qu’en dehors des échanges avec ces thermostats les transformations sont adiabatiques.
1 - Quel est le signe des énergies échangées?
2 - Lorsqu’il fait très chaud en été, est-ce une bonne idée d’ouvrir la porte de son frigo pour refroidir sa cuisine?
3 - Pourquoi cela est-il possible avec un climatiseur?
Exercice 3 : Moteur de Stirling [ ♦ ]
Le moteur de Stirling est constitué de deux chambres, une chaude et une froide, reliées par un régénérateur de volume constant pouvant être constitué de fils de cuivre tressés. Le gaz, en circuit fermé, reçoit un transfert thermique d’une source chaude (par exemple une chaudière à combustion) et cède un transfert thermique à la source froide (par exemple l’atmo- sphère). Le rôle du régénérateur, base de l’invention de Robert Stirling, est fondamental pour obtenir une bonne efficacité. Dans son brevet original de 1816, Stirling explique que le gaz chaud entre dans la partie chaude du régénérateur et est progressi- vement refroidi durant son parcours pour ressortir par l’autre extrémité à une température presque identique à la température de la source froide. Dans le parcours inverse, le gaz est progressivement réchauffé. Cette astuce technologique permet d’avoir une partie des échanges thermiques internes au moteur. On considérera le cycle parcouru par n = 40 mmol d’air, considéré comme un gaz parfait de rapport isentropique γ = 1 , 4.
Dans un premier temps, on néglige le régénérateur : les deux chambres ne font qu’une. Le cycle de Stirling est alors modélisable par la succession de deux isothermes et deux isochores à partir d’un état 1 ( P 1 = 1 bar, T 1 = 300 K). Il est décrit comme suit :
. 1 → 2 : compression isotherme réversible à T f = T 1 jusqu’à l’état 2 où V 2 = V 1 / 10 ; . 2 → 3 : échauffement isochore au contact de la source chaude à T c = 600 K jusqu’à l’état 3 de température T 3 = T c ;
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. 3 → 4 : détente isotherme réversible au contact de la source chaude à T c jusqu’à l’état 4 de volume V 4 = V 1 ; . 4 → 1 : refroidissement isochore au contact de la source froide jusqu’à revenir à l’état 1.
1 - Calculer les valeurs numériques de P , V et T pour chacun des quatre états.
2 - Représenter le cycle dans le diagramme de Watt ( P, V ). Comment peut-on déterminer sans calcul si ce cycle est moteur ou récepteur?
3 - Calculer pour chaque étape le travail et le transfert thermique reçus par le gaz.
4 - Commenter ces résultats : a-t-on bien un cycle moteur?
5 - Quel est, sur le plan énergétique, la production de ce système sur un cycle? Quel est le coût énergétique? En déduire l’expression et la valeur du rendement.
6 - Calculer l’entropie crée au sein du système au cours du cycle. Quel type d’irréversibilité entre en jeu?
L’invention du régénérateur par Stirling a permis d’améliorer considérablement le rendement de la machine précédente. Son idée est de faire en sorte que le gaz échange du transfert thermique au cours des transformations 2 → 3 et 4 → 1 non pas avec les thermostats mais avec un système, le régénérateur, qui n’échange aucune énergie autrement qu’avec les gaz au cours des transformations 2 → 3 et 4 → 1.
7 - Justifier l’idée de Stirling.
8 - Que vaut le rendement dans ces conditions? Ce rendement peut-il être amélioré sans changer les sources?
Exercice 4 : Moteur Diesel à double combustion [ ♦ ]
Dans les moteurs Diesel à double combustion, le cycle décrit par le mélange air-carburant est modélisable par celui d’un système fermé représenté en coor- données de Watt ci-contre. Après la phase d’admission 1 ′^ → 1 qui amène le mélange au point 1 du cycle, celui-ci subit une compression adiabatique suppo- sée réversible jusqu’au point 2. Après injection du carburant en 2, la combustion s’effectue d’abord de façon isochore de 2 à 3 puis se poursuit de façon isobare de 3 à 4. La phase de combustion est suivie d’une détente adiabatique à nouveau prise réversible de 4 à 5, puis d’une phase d’échappement isochore 5 → 1 puis isobare 1 → 1 ′.
Au point 1 du cycle, la pression p m = 1 , 0 bar et la température T m = 293 K sont minimales. La pression maximale, aux points 3 et 4, est p M = 60 bar et la température maximale, au point 4, vaut T M = 2073 K. Le rapport volumétrique de compression vaut β = V M /V m = 17.
On suppose que le mélange air-carburant se comporte exactement comme l’air, c’est-à-dire comme un gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g · mol−^1 , et de capacités thermiques respectives CP et CV , et on note γ = CP /CV = 1 , 4.
1 - Exprimer les températures T 2 , T 3 et T 5 en fonction de p m, p M, T m, T M et β. Calculer les valeurs numériques.
2 - Calculer le transfert thermique massique q c reçu par l’air au cours de la phase de combustion 2 → 4.
3 - Calculer le transfert thermique massique q f échangé avec le milieu extérieur entre les points 5 et 1.
4 - En déduire le travail massique w échangé au cours d’un cycle.
5 - Définir et calculer le rendement de ce moteur. Commenter la valeur trouvée.
Annales de concours
Exercice 5 : Climatisation d’une voiture [écrit ATS 2012, ♦ ]
La quasi-totalité des véhicules neufs sont aujourd’hui équipés d’une climatisation. Pour refroidir l’air intérieur du véhicule, un fluide frigorigène, l’hydrofluorocarbone HFC désigné par le code R134a, effectue en continu des transferts énergétiques entre l’intérieur, l’extérieur du véhicule et le compresseur, voir figure 1.
1 - Les chlorofluorocarbures ou CFC, comme le fréon, sont des fluides frigorigènes qui ont été très longtemps utilisés. Pourquoi ces fluides ont-ils été abandonnés?
Sur le diagramme des frigoristes ( P, h ) figure 2 de l’hydrofluorocarbone HFC, de masse molaire M = 32 g · mol−^1 , sont représentés :
. la courbe de saturation de l’équilibre liquide-vapeur de l’hydrofluorocarbone HFC (en trait fort) ; . les isothermes pour des températures comprises entre − 40 ◦C et 160 ◦C par pas de 10 ◦C ;
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Figure 2 – Diagramme des frigoristes du R134a.
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et (1). L’air intérieur du véhicule est-il refroidi?
11 - Définir l’efficacité e , ou coefficient de performance, du climatiseur. Calculer sa valeur.
12 - Comparer cette valeur à celle d’un climatiseur de Carnot fonctionnant entre la température de l’évaporateur et la température de liquéfaction du fluide sous la pression P 2. Commenter le résultat obtenu.
Exercice 6 : Circuit secondaire d’une centrale nucléaire REP [écrit Centrale MP 2016, ♦ ]
Cet exercice est extrait d’un sujet de Centrale, mais filière MP, où la thermodynamique est moins présente qu’en filière PT. Les questions sont tout à fait susceptibles d’être posées en épreuve B de la banque PT, où le cycle de Rankine est d’ailleurs déjà tombé.
La France compte 19 centrales nucléaires en exploitation, dans lesquelles tous les réacteurs (58 au total) sont des réacteurs à eau pressurisée REP. Actuellement, ces installations fournissent près de 80 % de l’électricité produite en France. Chaque centrale est soumise à un référentiel de normes de sureté et de sécurité évoluant en fonction des enseignements des incidents passés nationaux ou internationaux.
Figure 3 – Schéma global d’une centrale nucléaire.
Une centrale nucléaire est un site industriel destiné à la production d’électricité, qui utilise comme chaudière un réacteur nucléaire pour produire de la chaleur. Une centrale nucléaire REP est constituée de deux grandes zones, voir figure 3 :
. une zone non nucléaire (salle des machines). Dans cette partie, semblable à celle utilisée dans les centrales ther- miques classiques, s’écoule de l’eau dans un circuit secondaire. Cette eau est évaporée dans le Générateur de Vapeur (GV) par absorption de la chaleur produite dans la zone nucléaire, puis elle entraîne une turbine (T) couplée à un alternateur produisant de l’électricité, ensuite elle est condensée au contact d’un refroidisseur (rivière, mer ou atmosphère via une tour aéroréfrigérante) et enfin, elle est comprimée avant d’être renvoyée vers le générateur de vapeur ; . une zone nucléaire (dans le bâtiment réacteur), où ont lieu les réactions nucléaires de fission, qui produisent de l’énergie thermique et chauffent ainsi l’eau sous pression circulant dans le circuit primaire. Le transfert d’énergie thermique entre le circuit primaire et le circuit secondaire se fait dans le générateur de vapeur, où la surface d’échange entre les deux fluides peut atteindre près de 5000 m^2 (réseau de tubulures). Considérons une centrale nucléaire REP produisant une puissance électrique P e = 900 MW. Le fluide circulant dans le circuit secondaire est de l’eau, dont l’écoulement est supposé stationnaire. Le cycle thermodynamique décrit par l’eau est un cycle ditherme moteur. L’eau liquide sera supposée incompressible et de capacité thermique massique isobare supposée constante. Le tableau page 7 donne diverses données thermodynamiques relatives à l’équilibre liquide–vapeur de l’eau.
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B - Cycle de Rankine avec détente étagée
Le cycle réel est plus compliqué que celui étudié précédemment, voir figure 5. En effet, d’une part, la détente est étagée : elle se fait d’abord dans une turbine « haute pression » puis dans une turbine « basse pression ». D’autre part, entre les deux turbines, l’eau passe dans un « surchauffeur ». Les transformations sont modélisées par
. de A à B : dans le générateur de vapeur, échauffement isobare du liquide à la pression P 2 = 55 bar, jusqu’à un état de liquide saturant (état noté A ′), puis vaporisation totale isobare jusqu’à un état de vapeur saturante sèche (point B ) ; . de B à C ′^ : détente adiabatique réversible dans la turbine haute pression, de la pression P 2 à la pression P 3 = 10 bar ; . de C ′^ à B ′^ : échauffement isobare à la pression P 3 , dans le surchauffeur, jusqu’à un état de vapeur saturante sèche (point B ′) ; . de B ′^ à C ′′^ : détente adiabatique réversible dans la turbine basse pression, de la pression P 3 à la pression P 1 = 43 mbar ; . de C ′′^ à D : liquéfaction totale isobare dans le condenseur, jusqu’à un état de liquide saturant ; . de D à A : compression adiabatique réversible, dans la pompe d’alimentation, de la pression P 1 à la pression P 2 , du liquide saturant sortant du condenseur. On négligera le travail consommé par cette pompe devant les autres énergies mises en jeu.
A
GV
B
Turbine HP
C ′
surchauffeur
B ′
Turbine BP
C ′′
condenseur
Pompe D
Figure 5 – Cycle de Rankine à détente étagée.
10 - Placer les nouveaux points C ′, B ′, C ′′^ sur le diagramme enthalpique du document réponse.
11 - Comparer les titres massiques en vapeur des points C ′^ et C ′′^ au titre massique en vapeur du point C. Quel est l’intérêt de la surchauffe?
12 - À l’aide du diagramme enthalpique, déterminer le nouveau rendement du cycle. Commenter.
Extrait de table thermodynamique relatif à l’eau
θ P sat v L h L s L v V h V s V (◦C) (bar) (m^3 · kg−^1 ) (kJ · kg−^1 ) (J · K−^1 · kg−^1 ) (m^3 · kg−^1 ) (kJ · kg−^1 ) (J · K−^1 · kg−^1 ) 30 0,043 1,0047 125,22 0,4348 32,892 2555,92 8, 180 10 1,1276 763,18 2,1395 0,119 404 2777,84 6, 270 55 1,3053 1190,10 2,9853 0,035 05 2788,46 5,
L’indice L indique les propriétés du liquide saturant pur et V celles de la vapeur saturante sèche.
θ température ; P sat pression de vapeur saturante ;
v volume massique ; h enthalpie massique ; s entropie massique.
i
Capacité thermique massique isobare de l’eau liquide : c = 4 , 18 kJ · K−^1 · kg−^1.
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Figure 6 – Diagramme enthalpique de l’eau. Les températures sont exprimées en degrés Celsius.
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Thermodynamique 4 – Correction des travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-
Machines thermiques
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Exercices
Exercice 1 : Pompe à chaleur domestique
1 Voir cours pour le diagramme des échanges. Une pompe à chaleur reçoit un transfert thermique de la source froide ( Q f = Q 2 > 0 ) et cède un transfert thermique à la source chaude ( Q c = Q 1 < 0 ). Cela nécessite de lui apporter du travail ( W > 0 ).
2 Le cycle d’efficacité maximale est le cycle de Carnot , composé de deux isothermes aux températures des sources et de deux adiabatiques réversibles.
3 Voir cours pour la démonstration. L’efficacité de Carnot vaut
e Carnot,PAC = − Q c W
T c T c − T f
soit e Carnot,PAC =
T 1
T 1 − T 2
L’efficacité quantifie la performance énergétique de la PAC : pour 1 J d’énergie électrique fournie au moteur, on récupère e joule de transfert thermique cédé à la source chaude.
4 Par définition, s’il faut fournir un travail W à la PAC pendant une durée ∆ t alors la puissance électrique minimale qu’elle consomme vaut Pélec = W/ ∆ t. C’est un minimum, car le rendement du moteur électrique qui permet l’écoulement de fluide dans la PAC n’est surement pas de 1. L’énoncé donne par ailleurs la puissance thermique Pth = Q c / ∆ t = 0 , 55 W qu’il faut apporter à la maison pour maintenir sa température constante. En utilisant la définition de l’efficacité, on en déduit
e =
Pth ∆ t Pélec ∆ t
d’où Pélec =
Pth e
= 2 , 8 kW_._
5 L’efficacité de la PAC augmente lorsque la différence de température entre les sources décroît, elle est optimale si les deux sources ont même température ... mais alors il n’y a plus besoin de chauffer! En tout état de cause, il vaut mieux utiliser une PAC avec un chauffage au sol plutôt que par radiateurs car l’eau de chauffage y est moins chaude (35 ◦C contre 60 ◦C).
Exercice 2 : Rafraîchir sa cuisine en ouvrant son frigo
1 Un frigo est une machine réceptrice, qui prélève du transfert thermique à la source froide ( Q int > 0 car le transfert thermique est fourni au fluide) pour le céder à la source chaude ( Q ext < 0 ). Cela demande de fournir de l’énergie sous forme de travail ( W > 0 ).
2 Pour pouvoir refroidir sa cuisine en ouvrant son frigo, il faudrait que globalement le transfert thermique prélevé à l’intérieur du frigo | Q int| (qui serait au final prélevé à l’air de la cuisine, puisque la porte est ouverte) soit plus grand que celui cédé à la source chaude | Q ext|, qui n’est autre que l’air de la cuisine. D’après le premier principe,
| Q int| − | Q ext| + W = 0 d’où | Q int| − | Q ext| = − W < 0_._
On en déduit qu’il est impossible d’avoir | Q int| > | Q ext| comme on l’aurait aimé : laisser son frigo ouvert ne peut conduire qu’à réchauffer l’air de la cuisine.
3 Un climatiseur est relié à l’extérieur de la maison, qui joue le rôle de source chaude. Ainsi, quand on climatise sa maison (ou sa voiture) par une journée de canicule, on réchauffe l’air extérieur.
Exercice 3 : Moteur de Stirling
1 En utilisant les informations de l’énoncé et l’équation d’état du gaz parfait, on obtient les valeurs suivantes (en bleu, les valeurs directement données par l’énoncé)
Correction TD T4 : Machines thermiques Langevin-Wallon, PTSI 2017-
L’irréversibilité est d’origine thermique : pendant les deux isochores, le gaz n’est pas à la même température que le thermostat avec lequel il est en contact. Le transfert thermique s’accompagne donc de création d’entropie (inhomo- généité).
7 Le transfert thermique Q 2 → 3 , qui diminue le rendement, est exactement opposé au transfert thermique Q 4 → 1. Plutôt que de perdre le transfert thermique Q 4 → 1 en le cédant à la source froide, l’idée de Stirling consiste à le céder au régénérateur pour qu’il le rende au gaz lors de l’étape 2 → 3. Le transfert thermique n’est alors plus fourni par la source chaude, ce qui est plus économique.
8 Comme Q 2 → 3 n’est plus fourni par la source chaude, il ne compte plus dans le rendement, qui devient
η =
W
Q c
∣ =^ −^
W 1 → 2 + W 3 → 4
Q 3 → 4
T c − T f T c d’où η = 1 −
T f T c
On reconnaît le rendement de Carnot, c’est-à-dire le meilleur rendement possible pour un moteur fonctionnant avec ces deux sources.
Exercice 4 : Moteur Diesel à double combustion
1 La transformation 1 → 2 est une adiabatique réversible d’un gaz parfait. D’après la loi de Laplace en température et volume, T V γ −^1 = cte, d’où
T 2 = T 1
V 1
V 2
) γ − 1 soit T 2 = βγ −^1 T m = 9 , 1 · 102 K_._
La transformation 2 → 3 est isochore, d’où on déduit de l’équation d’état
P 3
T 3
P 2
T 2
avec
T 2 = βγ −^1 T m P 3 = p M
P 2 =
V 1
V 2
) γ P 1 = βγ^ p m
ce qui conduit à
T 3 =
p M β p m T m = 1 , 0 · 103 K_._
Enfin, la loi de Laplace appliquée sur 4 → 5 qui est adiabatique réversible donne
T 5 =
V 4
V 5
) γ T 4
où le volume V 4 s’exprime en fonction de V 3 = V m par la caractéristique de l’isobare,
V 4 T 4
V 3
T 3
ce qui donne
T 5 =
V 3
V 5
T 4
T 3
) γ T 4 =
β
T M
T m
β p m p M
) γ T M donc T 5 =
T M p m T m p M
) γ T M = 8 , 8 · 102 K_._
2 Notons n la quantité de matière de gaz du mélange. Le transfert thermique Q c est fourni au cours des étapes 2 → 3 et 3 → 4. En utilisant d’une part le bilan d’énergie (premier principe) appliquée à 2 → 3 qui est isochore et d’autre part le fait que le systsème soit un gaz parfait, on trouve
∆ U 2 → 3 =
1er ppe
W 2 → 3 + Q 2 → 3 =
isochore
0 + Q 2 → 3 et ∆ U 2 → 3 = GP
CV ∆ T 2 → 3 =
nR γ − 1
( T 3 − T 2 )
De même, pour 3 → 4 qui est une isobare, on obtient
∆ H 3 → 4 =
1er ppe W 6 = p, 3 → 4 + Q 3 → 4 = isobare
0 + Q 3 → 4 et ∆ H 3 → 4 = GP
CP ∆ T 3 → 4 =
γnR γ − 1
( T 4 − T 3 )
Correction TD T4 : Machines thermiques Langevin-Wallon, PTSI 2017-
Finalement, en introduisant la masse m via n = m/M ,
Q c = Q 2 → 3 + Q 3 → 4 = ∆ U 2 → 3 + ∆ H 3 → 4 soit Q c =
mR M ( γ − 1)
[ T 3 − T 2 + γ ( T 4 − T 3 )]
et enfin on obtient le transfert thermique massique,
q c =
R
M ( γ − 1)
[ T 3 − T 2 + γ ( T 4 − T 3 )] = 1 , 1 · 103 kJ · kg−^1_._
3 Comme 5 → 1 est une isochore d’un gaz parfait, on a
∆ U 5 → 1 =
1er ppe 0 + Q 5 → 1 et ∆ U 5 → 1 = GP
nR γ − 1
( T 1 − T 5 )
d’où par le même raisonnement que précédemment
q f =
R
M ( γ − 1)
( T 1 − T 5 ) = − 4 , 2 · 102 kJ · kg−^1_._
4 D’après le premier principe appliqué sur l’ensemble du cycle,
Q f + Q c + W = 0 donc w = − q f − q c = − 7 , 1 · 102 kJ · kg−^1_._
5 Le rendement du moteur est défini par
η =
w q c
∣ =^ −^
w q c
C’est une valeur élevée, mais qui a été obtenue avec une modélisation très idéalisée des transformations. En pratique, l’ordre de grandeur du rendement d’un moteur diesel est plutôt que 40–45 %.
Annales de concours
Exercice 5 : Climatisation d’une voiture [écrit ATS 2012]
Le cycle complet est représenté sur le diagramme page 6 (copié d’un document de P. Salles, professeur en ATS). Une version couleur est disponible sur le site de la classe.
1 Les fréons ont été abandonnés car ce sont des gaz à effet de serre et que sous l’effet du rayonnement UV, ils se décomposent en éléments susceptibles de détériorer la couche d’ozone.
2 La zone d’équilibre liquide-vapeur du solide se trouve sous la courbe de saturation. Le domaine du liquide seul est à gauche du diagramme , le domaine de la vapeur seule à sa droite. Pour le retrouver simplement, il suffit de raisonner à pression constante et de voir comment la courbe isobare intercepte les isothermes : plus l’enthalpie massique est élevée (donc plus on se déplace vers la droite du diagramme), plus les isothermes rencontrées sont associées à des températures élevées. Comme la phase vapeur est stable à températures élevées, on en déduit que son domaine se trouve à droite du domaine liquide-vapeur.
3 Du point de vue enthalpique, la caractéristique d’un gaz parfait est que son enthalpie ne dépend que de la tem- pérature. Ainsi, le fluide est modélisable par un gaz parfait dans le domaine gazeux du diagramme où les isenthalpes se confondent avec les isothermes, c’est-à-dire où les isothermes (en rouge) sont verticales. Il s’agit de la partie en bas à droite du diagramme , en ordre de grandeur limitée par P. 0 , 8 bar et h & 50 kJ · kg−^1.
4 On place le point (1) sur l’isobare 3 bar (horizontale) et entre les isothermes (rouge) 0 ◦C et 10 ◦C, à peu près au milieu. Par lecture graphique de l’abscisse, on trouve
h 1 = 405 kJ · kg−^1_._
ATS 2012 Corrigé P. SALLES
6
Correction TD T4 : Machines thermiques Langevin-Wallon, PTSI 2017-
Correction TD T4 : Machines thermiques Langevin-Wallon, PTSI 2017-
Exercice 6 : Circuit secondaire d’une centrale nucléaire REP [écrit Centrale MP 2016]
A - Cycle de Rankine
1 Le diagramme est représenté figure 7. L’allure des isothermes dans le diagramme de Clapeyron est connue, elles sont donc tracées grâce à la connaissance des pressions. On place ensuite le point A ′^ (sur la courbe de saturation) puis le point B grâce au fait que A → B est isobare. Le point C est placé approximativement dans le domaine diphasé connaissant sa pression, et on en déduit la position du point D le long de l’isobare et sur la courbe de saturation. On note enfin que A se trouve sur l’isotherme TD car la compression D → A est adiabatique et on néglige le travail fourni par la pompe, elle se fait donc à enthalpie (massique) constante d’après le premier principe, et donc à température constante en supposant le liquide incompressible : l’enthalpie d’un liquide incompressible ne dépend que de la température. Au cas où cet argument échapperait au candidat, il est indiqué question 5.
Figure 7 – Cycle de Rankine représenté dans le diagramme de Clapeyron.
2 Au point A ′, on a du liquide saturant sous pression PA ′^ = P sat = 55 bar, d’où on déduit par lecture de la table
TA ′ = 270 ◦C hA ′ = 1190 , 10 kJ · kg−^1 sA ′ = 2 , 9853 J · K−^1 · kg−^1_._
Au point B , le fluide est dans l’état de vapeur saturante sous la même pression. Il faut donc lire la colonne relative à la vapeur de la même ligne de la table que précédemment, d’où
TB = 270 ◦C hB = 2788 , 46 kJ · kg−^1 sB = 5 , 9226 J · K−^1 · kg−^1_._
Enfin, au point D , le fluide est dans l’état de liquide saturant sous pression 43 mbar égale à la pression de vapeur saturante, ce qui donne
TD = 30 ◦C hD = 125 , 22 kJ · kg−^1 sD = 0 , 4348 J · K−^1 · kg−^1_._
3 Voir figure 8. Les points A ′, B et D se placent directement à partir des valeurs de pression et enthalpie massique lues à la question précédente, ou tout simplement à partir des valeurs de pression et en les plaçant sur la courbe de saturation. Pour placer le point C , on utilise le fait que B → C est une adiabatique réversible et C → D une isobare : C se trouve à l’intersection de l’isentrope passant par B et de l’isobare passant par D. Enfin, on sait que A → B est une isobare et que D → A est une isenthalpique (cf. question 1), d’où on déduit la position de A , à l’intersection de l’isobare (horizontale) passant par B et de l’isenthalpe (verticale) passant par D. Au cas où cet argument échapperait au candidat, il est indiqué question 5.
4 L’évolution dans la turbine est par hypothèse adiabatique, d’où
hC − hB = wBC + 0 soit wBC = −990 kJ · kg−^1_._
5 Le générateur de vapeur n’apporte aucun travail utile au fluide, donc
hA ′ − hA = 0 + qAA ′ = cP ( TA ′ − TA ) d’où qAA ′ = 1000 kJ · kg−^1_._
Correction TD T4 : Machines thermiques Langevin-Wallon, PTSI 2017-
électrique par l’alternateur, qui diminuent le rendement.
9 À la fin de la détente, l’état de l’eau se trouve décrit par le point C : il s’agit d’un mélange diphasé liquide-vapeur. Comme le point C se trouve un peu à gauche de l’isotitre x = 0 , 70 , on en déduit
xC = 0 , 69_._
Le problème pour la turbine de la présence d’eau liquide est un risque de corrosion des parties métalliques , qui limiterait sa durée de vie.
B - Cycle de Rankine avec détente étagée
10 Voir figure 8. C ′^ se trouve à l’intersection de l’isentrope passant par B et de l’isobare P = P 3 = 10 bar. B ′^ se trouve sur la même isobare, et comme l’eau s’y trouve sous la forme de vapeur saturante sèche, on en déduit que B ′ est à l’intersection de cette isobare avec la courbe de saturation. Enfin C ′′^ est à l’intersection de l’isentrope passant par B ′^ et de l’isobare à pression P = P 1 = 43 mbar (même pression que C ).
11 Par lecture (approximative !) des isotitres, on trouve
xC ′^ = 0 , 85 et xC ′′^ = 0 , 77_._
Ces deux titres sont tous deux supérieurs à xC , ce qui signifie qu’il y a moins d’eau liquide présente en sortie de turbine dans le cas de la détente étagée, ce qui permet de limiter la corrosion des turbines.
12 Le nouveau rendement du cycle vaut
η étagé = − wBC ′^ + wB ′ C ′′ qAA ′ + qA ′ B + qC ′ B ′
Le rendement du cycle étagé est légèrement inférieur au rendement du cycle de Rankine avec détente simple, mais la durée de vie des pièces est améliorée.
Résolution de problème
Exercice 7 : Money, money, money
Supposons que les bouteilles de jus de fruit sont à température initiale TI = 25 ◦C, et que la température finale (celle du frigo) vaut TF = 5 ◦C. Commençons par calculer l’énergie nécessaire au refroidissement.
. Système : contenu du frigo. . Bilan des échanges énergétiques : → transfert thermique reçu de la part du fluide frigorigène : Q frigo < 0 que l’on cherche à déterminer ; → transfert thermique de fuite : Q fuite = +Pfuite ∆ t > 0 avec Pfuite = 10 W et ∆ t = 1 h = 3 , 6 · 103 s (attention au signe, compte tenu de la différence de température, c’est le contenu du frigo qui reçoit effectivement de l’énergie). . Variation d’énergie interne : par additivité, ∆ U = ∆ U jus, et on assimile le jus de fruit à de l’eau du point de vue thermique. ∆ U (^) ︸︷︷︸= 1er ppe
Q frigo + Q fuite (^) ︸︷︷︸= modèle
m jus c eau ( TF − TI )
où m jus = 6 kg. On en déduit Q frigo = m jus c eau ( TF − TI ) − Pfuite ∆ t = − 5 , 4 · 105 J_._ Calculons maintenant le coût en énergie électrique du refroidissement. On fait l’hypothèse que l’énergie électrique fournie au frigo ne sert qu’à faire tourner le moteur. Par définition de l’efficacité d’un frigo, e = | Q froid /W | où les échanges énergétiques sont ceux du fluide. Ici, on a donc e = | Q frigo| / Eélec. Par ailleurs, l’efficacité de Carnot d’un frigo vaut e C = T frigo / ( T ext − T frigo). En combinant, on en déduit
e =
| Q frigo| Eélec
T frigo T ext − T frigo ' 10 d’où Eélec =
| Q frigo| e
= 5 · 104 J.
Enfin, calculons le prix en euros de cette énergie, sachant que 1 kWh = 1 · 103 W × 3 , 6 · 103 s = 3 , 6 · 106 J. On trouve
p =
5 · 104 J
3 , 6 · 106 J
× 0 , 15 e = 0 , 2 centime_._
