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TD N=
Ex 1 : (Condition de Dirichlet) On s’intéresse au problème : u : 0 , 1 solution de :
2
u ux x (1)
u
u
Solution exacte est ( ) 1
2
u x x .
a) Écrire la formulation variationnelle, en précisant bien l’espace fonctionnel V.
b) Montrez que cette formulation variationnelle admet une unique solution.
c) En utilisant deux fonctions de Ritz résoudre le système obtenu.
d) On partage l’intervalle 0 , 1 en N intervalles égaux et on approche la solution par une méthode
d’éléments finis de degré 1. Ecrire le système qu’il faut résoudre. Prendre
h .
Corrigé
Ex 1 :
a) Formulation variationnelle du problème
1
0
1
V v Η v 0 v 1 0 H
On multiplie l’équation ( 1 ) par une fonction test v et on intègre par parties en utilisant la formule de Green :
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
0
uvdx uvdx x vdx
u v u v uvdx uvdx x vdx
u uvdx x vdx uv uvdx uvdx x vdx
En conclusion, la formulation variationnelle proposée pour ( 1 ) est :
auv uvdx uvdx lv x vdx
avec
auv l v v V
PV
1
0
2
1
0
1
0
( , ) ' ' et ( ) 1
Trouveru Vtel que
Avec la norme
2 2
0 , 1
2
0 , 1
1
0
2
1
0
2
2 2
L L V
a uu u dx udxu u u
b) Nous vérifions maintenant que la formulation variationnelle (PV) admet une solution unique. Pour cela nous
utilisons le Théorème de Lax-Milgram dont nous vérifions les hypothèses avec les notations (PV).
’ é a(.,.) est continue sur V
a (.,.) est symétrique a( u,v) a(v,u)et a est continue
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
Cauchy- Schwarz
1
0
1
0
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
H H
H H H H
L L L L
ux v x
ux vx u v
u x v x u v
uv V auv u xv x dx ux vx dx
Montrons que la forme bilinéaire a(.,.) est coécrive sur V :
( 0 , 1 )
1 2
0
1 2
0
1
H
a vv v x dx v x dx u
Montrons que la forme linéaire l (.)est continue sur V :
l v x v dx
1
0
2
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
L V
l v x vdx x dx vdx v v
2
2
1
2
1
1
0
2
1
0
2 2
1
0
2
Ce qui montre que l(.) est bien continue.
Les conditions du théorème de Lax-Milgram étant satisfaites, il existe donc une solution unique u V au
problème (PV).
c) Le relèvement doit vérifier les deux conditions aux limites.
Posant u x ax b g
On a u ( 0 ) 1 b 1 g
, u ( 1 ) 2 a 1 g
Le relèvement est u ( x) x 1 g
On relève maintenant les conditions aux limites essentielles. On pose u( x) u (x) (x) g u
, (x) u
satisfait
la condition essentielle.
La formulation variationnelle correspondante :
x vdx xvdx x v dx vdx x vdx
x vdx vdx xvdx x vdx x v dx
x x vdx x x vdx x v dx
u x x vdx u x x vdx x v dx
u u
u u
u u
g u g u
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
a v x vdx xvdx lv x v dx vdx x vdx u u u
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
On prend ensuite
( x ) (x(x 1 )),i 1 , 2 ...
i
i
Le coefficient général de la matrice A A pour la méthode de Ritz est donc :
a x xdx x xdx ij x x x dx x x dx
i j i j
ij j i j i
2
1
0
2 2 2
1
0
1
0
1
0
tandis que le vecteur b a pour coefficients :
x x x dx i x x x dx x x x dx
b x xdx xdx x x dx
i i i
i i i i
1
0
2
1
0
2 1
1
0
2 2
1
0
1
0
'
1
0
2
Si on prend deux fonctions de Ritz,
A ,
b
Solution du système linéaire :
2
1
c
c
2 1
,
2
' '
,
1
avec
2
1
1 2
2
1
1 2
h x -x
h
K x x dx
h
K x x dx
x
x
i j
x x
x
x
i j
x x
x +2xx +3x - 6
3x +2xx +x - 6
2
1 2 2
2
1
2
1 2 2
2
1 2
,
2
1
1 2
h
b x x dx
x
x
i x x i
Application numérique
Dans ce paragraphe nous allons détailler numériquement l’exemple précédent. On se donne une subdivision
en 3 éléments de longueurs
h .
On définit les 4 nœuds par un tableau ‘nœud ’contenant les abscisses des nœuds :
noeud 0 , , , 1
3
2
3
1
Correspondant à
3 4
2
3 3
1
1 2
x x x x
Les 3 éléments sont définis selon un tableau de nœuds :
element
Ce qui correspond bien à
1 1 2 2 2 3 3 3 4
E x, x , E x ,x , E x,x.
Alors, puisque 3
1
1 2 3
h h h , on a
1 2
,
1
K x x ,
1 2
,
2
K x x ,
1 2 x, x
b
Assemblage : Le système global Au best alors obtenu en somment toutes les contributions :
1 2 3
1
E E E
K
De façon analogue, on calcule
1 2 3
2
E E E
K
D’où
1 2
A K K
Le second membre se calcule de même :
1 2 3
3
1
E E E
i
E i
b b
Imposition des conditions aux limites :
b = b-A(:,1)*1=
b= b-A(:,n+1)*2=
A(:,n+1)=[ ]
A(n+1,:)=[ ]
A(:,1)=[ ]
A(1,:)=[ ]
b(n+1)=[ ]
b(1)=[ ]
t
u u u
u A b
2 3
1
Le système linéaire du problème éléments-finis ( h
( PV ) ) devient :
2 3
3
2
u u
u
u
Conclusion La convergence est d’ordre norme
1
H , c.-à-d. :
ch
H
h
u u
0 , 1
Ex 2: (Condition aux limites de Dirichlet-Neumann) On s’intéresse au problème : u : 0 , 1 solution de :
2
u ux x (2)
u
u
Solution exacte est ( ) 1
2
u x x .
a) Écrire la formulation variationnelle, en précisant bien l’espace fonctionnel V.
b) Montrez que cette formulation variationnelle admet une unique solution.
c) En utilisant deux fonctions de Ritz résoudre le système obtenu.
d) On partage l’intervalle 0 , 1 en N intervalles égaux et on approche la solution par une méthode
d’éléments finis de degré 1. Ecrire le système qu’il faut résoudre. Prendre
h .
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
Eléments finis P1 pour h=1/
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
Eléments finis P1 pour h=1/
Ue
U
a) Formulation variationnelle du problème
0 0
1
V vΗv
On multiplie l’équation ( 2 ) par une fonction test v et on intègre par parties en utilisant la formule de Green :
v uvdx uvdx x v dx
u v u v uvdx uvdx x v dx
uv uvdx uvdx x v dx
uvdx uvdx x v dx
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
En conclusion, la formulation variationnelle proposée pour ( 2 ) est :
( , ) ' ' et ( ) 1 2 ( 1 )
Trouveru Vtel que
1
0
2
1
0
1
0
auv uvdx uvdx lv x vdx v
avec
auv lv v V
PV
Avec la norme
2 2
0 , 1
2
0 , 1
1
0
2
1
0
2
2 2
L L V
a uu u dx udxu u u
b) Nous vérifions maintenant que la formulation variationnelle (PV) admet une solution unique. Pour cela nous
utilisons le Théorème de Lax-Milgram dont nous vérifions les hypothèses avec les notations (PV).
’ é a(.,.) est continue sur V
a (.,.) est symétrique a( u,v) a(v,u)et a est continue
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
Cauchy- Schwarz
1
0
1
0
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
H H
H H H H
L L L L
ux v x
ux vx u v
u x v x u v
uv V auv u xv x dx ux vx dx
Montrons que la forme a bilinéaire est coécrive sur V
( 0 , 1 )
1 2
0
1 2
0
1
H
a vv v x dx vx dx v
Montrons que la forme linéaire l est continue sur V
( ) 1 2 ( 1 )
1
0
2
l v x vdx v
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
1
0
2
1
0
2 2
Cauchy- Schwarz
( 0 , 1 )
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1 1
2
1
2
1
0
H H
C
x dx vdx v v
lv x vdx v x vdx v x vdx v
Ce qui montre que l(.) est bien continue.
Les conditions du théorème de Lax-Milgram étant satisfaites, il existe donc une solution unique u V au
problème (PV).
c) Le relèvement doit vérifier les conditions aux limites.
Où :
h h h h i i e
V u : 0 , 1 IR,u C ( 0 , 1 ), u x,x P, i 0 ,N 1 1
0
On pose :
e
N
i
h i i
u x u x
1
Où les i
u sont les valeurs nodales de u. En injectant (*) dans ( h
( PV ) ), on obtient un système matriciel de
la forme: h h h
K u b
Où :
1
0
2
1
0
1
0
' '
i i i
ij i j i j
b x x dx
K x xdx x x dx
Les modifications du problème discrétisé par rapport au cas précédent sont les suivantes. Tout d'abord, le
nombre d'inconnues a changé. Il y a une inconnue au bord en. Le problème discret a donc
maintenant, sur la base du même maillage que précédemment, inconnues i
u pour variant de 1 à.
Détermination de la matrice élémentaire de rigidité
Les fonctions de base pour un élément de type
1 2
x , x sa donnée par :
2 1
1
2 1
2
i
x -x
x-x
i
x -x
x -x
x i
2 1
2 1
i
x -x
i
x -x
dx
d x i
Dans un élément de type
1 2
x , x , u s'écrit en fonction des fonctions de formes comme suit :
11 22
2
1
u x u x u x u x i
i
h i
D’où :
2 1
2 1
2
2
1
1
u-u
dx x -x
d x
u
dx
d x
u
dx
du x h
Calcul de la matrice
1 2 1 2 1 2
,
2
,
1
,
x x x x x x
K K K
2 1
1
0
,
2
1
0
,
1
avec
1 2
1 2
h x -x
h
K u dx
h
dx
dx
d
dx
du
K
h h
x x
h h
x x
x +2xx +3x - 6
3x +2xx +x - 6
2
1 2 2
2
1
2
1 2 2
2
1
h
b h
Application numérique
Dans ce paragraphe nous allons détailler numériquement l’exemple précédent. On se donne une subdivision
en 3 éléments de longueurs
h .
1 2 ,
1
K
x x
1 2 ,
2
x x
K ,
1 2
x, x
b
Assemblage : Le système global Au best alors obtenu en somment toutes les contributions :
1 2 3
1
E E E
K
De façon analogue, on calcule
1 2 3
2
M M M
K
D’où
1 2
A K K
Le second membre se calcule de même :
1 2 3
3
1
E E E
i
E i b b
Imposition des conditions aux limites :
b = b-A(:,1)*1=
b(n+1)=b(n+1)+ (2)=
Conclusion La convergence est d’ordre norme
1
H , c.-à-d. :
u u ch
H
h
0 , 1
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
Eléments finis P1 pour h=1/
Ue
U
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
Eléments finis P1 pour h=1/
Ue
U
Ex 3: (Condition de Fourier) On s’intéresse au problème : u : 0 , 1 solution de :
2
u ux x (3)
u u
u
Solution exacte est ( ) 1
2
u x x .
a) Écrire la formulation variationnelle, en précisant bien l’espace fonctionnel V.
b) Montrez que cette formulation variationnelle admet une unique solution.
c) En utilisant deux fonctions de Ritz résoudre le système obtenu.
d) On partage l’intervalle 0 , 1 en N intervalles égaux et on approche la solution par une méthode
d’éléments finis de degré 1. Ecrire le système qu’il faut résoudre. Prendre
h
a) Formulation variationnelle du problème
0 0
1
V vΗv
' ' 2 ( 1 )( 1 ) 1 2 ( 1 )
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
uvdx uvdx u v x vdx v
u v uvdx uvdx x v dx
u v u v uvdx uvdx x v dx
uv uvdx uvdx x v dx
uvdx uvdx x v dx
En conclusion, la formulation variationnelle proposée pour ( 3 ) est :
( , ) ' ' 2 ( 1 ) ( 1 ) et ( ) 1 2 ( 1 )
Trouveru Vtel que
1
0
2
1
0
1
0
auv uvdx uvdx u v lv x vdx v
avec
auv l v v V
PV
Avec la norme
2 2
0 , 1
2
2
0 , 1
2
0 , 1
1
0
2
1
0
2
2
2 2
V L
L L
a uu u dx udxu u u u
b) Montrons que la forme a bilinéaire est continue sur V :
a (.,.) est symétrique a( u,v) a(v,u)et a est continue
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
Cauchy- Schwarz
1
0
1
0
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
H H
H H H H
L L L L L L
Cux v x
u x vx u v
u x v x u v u v
u v V auv u xv x dx ux vx dx u v
Montrons que la forme a bilinéaire est coécrive sur V
1
1 2 2
0
1 2
0 H
a vv v x dx v x dx v v
Montrons que la forme linéaire l est continue sur V
( ) 1 2 ( 1 )
1
0
2
l v x vdx v
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
d) Approximation par éléments finis
Soit l’espace V V h
. Le problème variationnelle (PV), est approché par le problème variationnelle discrète
( , ) 2 ( 1 ) ( 1 ) et ( ) 1 2 ( 1 )
Trouveru V tel que
1
0
2
1
0
1
0
' '
h h
h h h h hh h h h h h
h h h h h
h
au v uvdx uvdx u v l v x vdx v
avec
au v l v v V
PV
Où :
h h h h i i e
V u : 0 , 1 IR,u C ( 0 , 1 ), u x,x P, i 0 ,N 1 1
0
On pose :
e
N
i
h i i
u x u x
1
Où les i
u sont les valeurs nodales de u. En injectant (*) dans ( h
( PV ) ), on obtient un système matriciel de
la forme: h h h
K u b
Où :
b x dx
dx u dx
dx
d
dx
du
K
h h
h h
h h
h
1
0
2
1
0
1
0
Les modifications du problème discrétisé par rapport au cas précédent sont les suivantes. Tout d'abord, le
nombre d'inconnues a changé. Il y a une inconnue au bord en. Le problème discret a donc
maintenant, sur la base du même maillage que précédemment, inconnues i
u pour variant de 1 à.
Détermination de la matrice élémentaire de rigidité
Les fonctions de base pour un élément de type
1 2
x , x sa donnée par :
2 1
1
2 1
2
i
x -x
x-x
i
x -x
x -x
x i
2 1
2 1
i
x -x
i
x -x
dx
d x i
Dans un élément de type
1 2
x , x , u s'écrit en fonction des fonctions de formes comme suit :
11 22
2
1
u x u x u x u x i
i
h i
D’où :
2 1
2 1
2
2
1
1
u-u
dx x -x
d x
u
dx
d x
u
dx
du x h
Calcul de la matrice
1 2 1 2 1 2
,
2
,
1
,
x x x x x x
K K K
2 1
1
0
,
2
1
0
,
1
avec
1 2
1 2
h x -x
h
K u dx
h
dx
dx
d
dx
du
K
h h
x x
h h
x x
x +2xx +3x - 6
3x +2xx +x - 6
2
1 2 2
2
1
2
1 2 2
2
1 h
F
h
Application numérique
Dans ce paragraphe nous allons détailler numériquement l’exemple précédent. On se donne une subdivision
en 3 éléments de longueurs
h .
1 2 ,
1
K
x x
1 2 ,
2
x x
K ,
1 2
x, x
b
Assemblage : Le système global Au best alors obtenu en somment toutes les contributions :
1 2 3
1
E E E
K
De façon analogue, on calcule
1 2 3
2
E E E
K
D’où
1 2
A K K
Le second membre se calcule de même :
1 2 3
3
1
E E E
i
E i
b F
TD N=
Ex 1 : (Condition de Dirichlet) On s’intéresse au problème : u : 0 , 1 solution de :
u" (x) 2 , 0 x 1 (1)
u
u
Solution exacte est ( ) 1
2
u x x .
a) Écrire la formulation variationnelle, en précisant bien l’espace fonctionnel V.
b) On partage l’intervalle 0 , 1 en N intervalles égaux et on approche la solution par une méthode
d’éléments finis de degré 2. Ecrire le système qu’il faut résoudre. Prendre
h
Corrigé
Ex 1 :
a) Formulation variationnelle du problème
1
0
1
V v Η v 0 v 1 0 H
On multiplie l’équation ( 1 ) par une fonction test v et on intègre par parties en utilisant la formule de
Green :
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
uvdx vdx
u v u v uvdx vdx
u vdx vdx uv uvdx vdx
En conclusion, la formulation variationnelle proposée pour ( 1 ) est :
auv uvdx lv vdx
avec
auv lv v V
PV
1
0
1
0
( , ) ' ' et () 2
Trouveru Vtel que
b) Approximation par éléments finis
Soit l’espace V V h
. Le problème variationnelle (Pv), est approché par le problème variationnelle discrète
au v uvdx l v vdx
avec
au v lv v V
PV
h h hh h h
h h h h h
h
1
0
1
0
' '
h h
( , ) et ( ) 2
Trouveru V tel que
Où :
h h h h i i e
V u : 0 , 1 IR,u C ( 0 , 1 ), u x,x P, i 0 ,N 1 2
0
On pose :
e
N
i
h i i
u x u x
1
Où les i
u sont les valeurs nodales de u. En injectant (*) dans ( h
( PV ) ), on obtient un système matriciel de
la forme: h h h
K u b
Où :
b x dx
K x x dx
i i
ij i j
1
0
1
0
' '
Détermination de la matrice élémentaire de rigidité
Les fonctions de base pour un élément de type
1 2
x , x sa donnée par :
2 Point milieu
1 2
1 2
1 2 2
1 2
2 2
i
x x
x x x
h
x-x x-x i
h
x i
x x
x -x
h
x i
1 2 2
1 2 2
1 2 2
x x x i
h
x x x i
h
x x x i
h
dx
d x i
Dans un élément de type
1 2
x , x , u s'écrit en fonction des fonctions de formes comme suit :
11 22 3 3
3
1
u x u x u x u x u x i
i
h i
Calcul de la matrice
1 2 1 2 1 2
,
2
,
1
,
x x x x x x
K K K
h
h
h
x x
h
K x dx
K
h
K x x dx
h
h
h
x x
h
K x dx
K
h
h
h
x x
h
K x x dx
K
h
h
h
x x
h
K x x dx
h
h
h
x x
h
K x dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
4
3
2 1 4
2 '
33 3
32
'
3
'
23 2
3
4
3
2 1 4
2 '
22 2
31
3
4
3
2 1 4
'
3
'
13 1
21
3
4
3
2 1 4
'
2
'
12 1
3
4
3
2 1 4
2 '
11 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
' '
,
avec
2
1
1 2
h x -x
h
K x x dx
x
x
x x i j
t
x
x
i x x i
h
b x dx -1,-4,- 1
2
1
1 2
,
Application numérique
Dans ce paragraphe nous allons détailler numériquement l’exemple précédent. On se donne une subdivision
en 3 éléments de longueurs
h .
