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E xercices 16 octobre 2014
La fonction exponentielle
Opération sur la fonction exponentielle
E xercice 1
Simplifier les écritures suivantes :
a) ( ex )^3 e −^2 x b) ex −^1 ex +^2
c)
ex^ + e − x ex
d) e − xe^2
e)
e^3 x ( e − x )^2 × ex^
f)
exey ex − y
E xercice 2
Pour tout x , on pose : g ( x ) =
ex^ + e − x 2
et h ( x ) =
ex^ − e − x 2 a) Démontrer que
[
g ( x )
] 2
− [ h ( x )]^2 = 1
b) Démontrer que g (2 x ) = 2
[
g ( x )
] 2
− 1 et que h (2 x ) = 2 g ( x ) × h ( x ). c) Comparer ces relations avec les fonctions sinus et cosinus.
Équations et inéquations
E xercice 3
Résoudre dans R les équations suivantes :
- e^3 − x^ = 1 2) e^2 x
(^2) + 3 = e^7 x^ 3) 2 e − x^ =
ex^ + 2
- ex
3 = e^8
- ex +^1 = e (^1) x
- e sin^ x^ = e (^12)
- ex 2 = ( e^2 )^3 e − x^ 8) ex 2 = ex −^2
E xercice 4
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
- ex 2 6
e^2
( ex )^3 6 ex +^6 3) ex (^) 6 1 ex
( ex^ − 1) ex^ > ex^ − 1 5) e^2 x^ < ex^ 6) 3( ex )^2 + ex^ − 4 < 0
Dérivées
E xercice 5
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
- f ( x ) = ( x^2 − 2 x ) ex^ 2) f ( x ) =
x
ex^ 3) f ( x ) =
ex^ − 1 2 ex^ + 1
- f ( x ) =
ex ex^ − x
- f ( x ) = x^2 − 2( x − 1) ex
Calcul de limites
E xercice 6
Déterminer les limites des fonction f suivantes à l’endroit indiqué.
- f ( x ) =
ex^ − 1 2 x
en 0, +∞ et −∞
f ( x ) = 2 xe − x^ en +∞
f ( x ) =
ex^ − 1 2 ex^ + 1
en +∞ et −∞
f ( x ) = e^2 x^ − ex^ + 1 en +∞ et −∞
f ( x ) = 2 x − 1 + e − x^ en +∞ et −∞
f ( x ) =
x
( e^2 x^ − 1) en 0 et +∞
- f ( x ) = x + 2 + xex^ en −∞
Étude d’une fonction
E xercice 7
f est la fonction définie sur R par : f ( x ) =
2 ex^ − 3 ex^ + 1
Pourquoi les droite d et ∆ d’équation respectives y = 2 et y = −3 sont-elles asymptotes à C f?
Calculer f ′( x ) puis étudier les variations de f.
Tracer d , ∆ et C f
La courbe semble avoir un point de symétrie. Démontrer cette conjecture.
E xercice 8
f est la fonction définie sur R par : f ( x ) = (3 − x ) ex. Justifier les affirmations suivantes :
- Le tableau de variations de f est :
x
f ( x )
e e^22 −∞−∞
- Pour tout réel m > 0 et m , e^2 , l’équation f ( x ) = m admet soit aucune, soit deux solutions.
E xercice 9
f est la fonction définie sur R par : f ( x ) = e − x 2 .
Calculer f (− x ). Que peut-on conclure pour C f?
Calculer les limites de f en +∞ et −∞.
Calculer la dérivée de f puis dresser le tableau de variation de f sur R.
Tracer la courbe C f pour x ∈ [−2 ; 2 ] dans un repère orthonormal.
Unité graphique : 2 cm sur les deux axes.
Démontrer qu’il existe un unique réel α de I tel que g (α) = 0. Donner de α un enca- drement d’amplitude 10−^2.
En déduire le tableau de variation de f et démontrer que f (α) = 10(α − 1).
Construire la courbe C de f dans un repère orthonormal pour x ∈ [0; 8].
Unité graphique 1 cm.
E xercice 15
Amérique du sud novembre 2013
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = xe^1 − x
- Vérifier que pour tout réel x , f ( x ) = e ×
x ex^
Déterminer la limite de la fonction f en −∞.
Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement cette limite.
Déterminer la dérivée de la fonction f.
Étudier les variations de la fonction f sur R puis dresser le tableau de variation.
Partie B
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur R par :
gn ( x ) = 1 + x + x^2 + · · · + xn^ et hn ( x ) = 1 + 2 x + · · · + nxn −^1.
- Vérifier que, pour tout réel x : (1 − x ) gn ( x ) = 1 − xn +^1.
On obtient alors, pour tout réel x , 1 : gn ( x ) =
1 − xn +^1 1 − x
- Comparer les fonctions hn et g ′ n , g ′ n étant la dérivée de la fonction gn.
En déduire que, pour tout réel x , 1 : hn ( x ) =
nxn +^1 − ( n + 1) xn^ + 1 (1 − x )^2
- Soit S (^) n = f (1) + f (2) + ... + f ( n ), f étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B , déterminer une expression de S (^) n puis sa limite quand n tend vers +∞. Vérifier cette limite par un algorithme.
E xercice 16
Pondichéry avril 2013 modifié
Partie 1
On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
h ( t ) =
a 1 + b e−^0 ,^04 t
où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h ( t ) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure 0, 1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m. Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f
définie sur [0 ; 250] par : f ( t ) =
1 + 19e−^0 ,^04 t
Déterminer f ′( t ) en fonction de t ( f ′^ désignant la fonction dérivée de la fonction f ). En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250].
A l’aide d’un algorithme, donner, au jour près, le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1, 5 m.
On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonc- tion dérivée de la fonction f. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t. En utilisant le graphique donné ci-dessous, déterminer une valeur approchée de celle- ci. Estimer alors la hauteur du plant.
0 , 2
0 , 4
0 , 6
0 , 8
1 , 0
1 , 2
1 , 4
1 , 6
1 , 8
2 , 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
y = 2
temps t (en jours)
hauteur (en mètres)
E xercice 17
Asie juin 2014
Une chaîne, suspendue entre deux points d’accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d’une fonction g définie sur [−1 ; 1] par
g ( x ) =
2 a
eax^ + e − ax
où a est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction g.
- On appelle f ′^ la dérivée de la fonction f sur R.
Démontrer que, pour tout réel x , f ′( x ) = e − xg ( x )
En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R.
Démontrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution réelle α sur R.
Démontrer que − 1 < α < 0.
- a) Démontrer que la droite T d’équation y = 2 x + 1 est tangente à la courbe C au point d’abscisse 0. b) Étudier la position relative de la courbe C et de la droite T.
E xercice 20
Antilles-Guyane septembre 2014
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f ( x ) = xe − x.
Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
Déterminer la dérivée f ′^ de la fonction f sur [0 ; +∞[ et en déduire le tableau de variations de f sur [0 ; +∞[.
On donne ci-après la courbe C f représentative de la fonction f dans un repère du plan. La droite ∆ d’équation y = x a aussi été tracée.
Partie B
Soit la suite ( un ) définie par u 0 = 1 et ∀ n ∈ N, un + 1 = f ( un ).
Placer sur le graphique donné ci-après, en utilisant la courbe C f et la droite ∆, les points A 0 , A 1 et A 2 d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives u 0 , u 1 et u 2. Laisser les tracés explicatifs apparents.
Démontrer par récurrence que : ∀ n ∈ N, un > 0.
Montrer que la suite ( un ) est décroissante.
a) Montrer que la suite ( un ) est convergente vers ℓ.
b) Déterminer cette limite ℓ
Partie C
On considère la suite ( S (^) n ) définie pour tout entier naturel n par
S (^) n =
∑^ k = n
k = 0
uk = u 0 + u 1 + · · · + un
Recopier puis compléter l’algorithme donné ci-contre afin qu’il calcule S (^) 100. Don- ner alors S (^) 100 à 10−^2 près
Variables : S , u réels k entier Entrées et initialisation · · · → u · · · → S Traitement pour k variant de 1 à... faire u × e − u^ → u · · · → S fin Sorties : Afficher...
0 , 5
1 2
∆
C (^) f
