Partial exam gs
I- On donne la suite (Un) , n
≥
0 , définie par 0
≤ U
0
≤2π
et la relation Un+1 = Un + sin(Un)
1.Etudier les variations de la fonction f définie sur I=]0 ;
π
[ et Calculer f(I) .
2. Déterminer la nature de (Un) Si U0
∈
{ 0 ;
π ,2π
}.
3. On suppose dans cette partie 0
¿U
0
¿π
.
(a) Montrer que pour tout n
≥
0 , 0
¿U
n
¿π
.
(b) Montrer que la suite (Un) est strictement croissante .
(c) Déduire que la suite (Un) est convergente puis déterminer sa limite .
4. On suppose dans cette partie
π
¿U
0
¿2π
et la suite (Vn) définie par Vn = 2
π
- Un .
(a) Montrer que 0
¿V
0
¿π
et pour tout n
≥
0 , Vn+1 = Vn + sin (Vn) .
(b) Déduire que (Un) est convergente puis déterminer sa limite .
II- Soit (C) la courbe représentative dans un reprère orthonormé de la fonction f définie sur ℝ par :
f(x) = x +
√
¿x2−4∨¿ ¿
1.Etudier la continuité et la dérivabilité de f aux points d'abscisses -2 et 2 .
2. Etudier les variations de f .
3.Tracer (C)
4.(a) Montrer que f admet sur [2 ; +
∞
[ une fonction réciproque g dont – on déterminera son domaine de
définition.
(b) Montrer que la courbe (G) de g coupe (C) en un point dont – on déterminera ses coordonnées .
(c) Tracer dans le même repère (G) .
(d) Calculer g(2) . Ecrire l’équation de la tangente (T) à (G) au point d'abscisse 2 .
(e) déterminer g(x)
5. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre des racines de l'équation
√
¿x2−4∨¿ ¿
= x(m -1 ) .
