Download Algorithms for Rasterizing Graphical Primitives: Line and Circle and more Essays (university) Computer Graphics in PDF only on Docsity!
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
K
épfeldo
2. ELŐADÁS
Algoritmusok grafikai primitívek raszteres megjelenítésére
62
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Algoritmusok raszteres
grafikához
- Feladat
- grafikai primitíveket (pl. vonalat, síkidomot)
ábrázolni kép-mátrixszal, meghatározni azokat a
képpontokat, amelyek a primitív pontjai, vagy
közel vannak a primitívhez
K
épfeldo
közel vannak a primitívhez
- Modell
- képpont (= körlap), amely a
négyzetháló csúcspontjaiban
helyezhető el
- a koordináták egész számok
63
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Egyenes rajzolása
"vékony" egyenes:
y = mx + b
0 < m < 1
K
épfeldo
speciális esetek)
visszavezetjük az
0 < m < 1 esetre
x 0 < x 1 , y 0 < y 1
64
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Alap inkrementális algoritmus
- Haladjunk Δ x = 1 növekménnyel balról jobbra,
válasszuk a legközelebbi képpontot:
( x i , [ y i +0.5]) = ( x i , [ mx i + b +0.5])
K
épfeldo
- A szorzás kiküszöbölhető inkrementálással:
y i +1 = mx i +1 + b = m ( x i +Δ x )+ b = y i + m ·Δ x = y i + m
65
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Program
(ha |m|>1, akkor x-et cseréljük y-nal)
procedure Line(x0,y0, x1,y1, value: integer); var x : integer; dy,dx,y,m : real; begin
K
épfeldo
dy := y1-y0; dx := x1-x0; m := dy/dx; y := y0; for x := x0 to x1 do begin WritePixel(x, Round(y), value); y := y+m end end; {Line}
66
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Felezőpont algoritmus
egyenesre
elegendő (Bresenham)
válasszuk NE és E
közül, amelyik
közelebb van a Q
K
épfeldo
metszésponthoz
választásban, hogy Q
az M felezőpont melyik
oldalán van
x 0 < x 1 , y 0 < y 1
67
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Felezőpont algoritmus
egyenesre
- Az ( x 0 , y 0 ) és ( x 1 , y 1 ) ponton átmenő egyenes egyenlete: ( x – x 0 ) / ( y – y 0 ) = ( x 1 – x 0 ) / ( y 1 – y 0 )
- Legyen dx = x 1 – x 0 ( > 0), dy = y 1 – y 0 ( > 0),
- akkor:
K
épfeldo
(^) • akkor:
x dy – y dx + y 0 dx – x 0 dy = 0
- Legyen: F ( x , y ) = x dy – y dx + y 0 dx – x 0 dy
0, ha az egyenes ( x , y ) fölött fut, F ( x , y ) = 0, ha ( x , y ) az egyenesen van, < 0, ha az egyenes ( x , y ) alatt fut.
{
68
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Felezőpont kritérium
az egyenes választás:
> 0, M fölött, NE
d = F ( M ) = F ( x p+1,y p+½ ) = 0, M -en át, NE vagy E
( d : döntési változó) < 0, M alatt E
fut
A következő pontnál:
{
K
épfeldo
A következő pontnál:
ha E -t választottuk, akkor
Δ E = dúj – drégi = F ( x (^) p+2,y (^) p+½ ) – F ( x (^) p+1,y (^) p+½ ) = dy,
ha NE -t választottuk, akkor
Δ NE = F ( x (^) p+2,y (^) p+3/2 ) – F ( x (^) p+1,y (^) p+½ ) = dy – dx
69
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Felezőpont algoritmus
egyenesre
d start = F ( x 0 +1, y 0 +½) = F ( x 0 , y 0 )+ dy – dx /
= dy – dx /
K
épfeldo
- Azért, hogy egész aritmetikával számolhassunk, használjuk inkább az alábbi függvényt
F ( x , y ) = 2·( x · dy – y · dx + y 0 · dx – x 0 · dy )
70
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Program
procedure MidpointLine (x0,y0,x1,y1,value: integer); var dx,dy,incrE,incrNE,d,x,y : integer; begin dx := x1-x0; dy := y1-y0; d := 2dy-dx; incrE := 2dy; incrNE := 2(dy-dx); x := x0; y := y0; WritePixel(x,y,value); while x < x1 do begin*
K
épfeldo
if d <= 0 then begin x := x + 1; d := d + incrE; end else begin x := x + 1; y := y + 1; d := d + incrNE; end; WritePixel(x,y,value) end {while} end; {MidpointLine}
71
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Tulajdonságok
- csak összeadás és kivonás
- általánosítható körre, ellipszisre
K
épfeldo
72
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
- probléma
- Különböző pontsorozat lesz az eredmény ha balról jobbra, vagy ha jobbról balra haladunk.
- Legyen a választás:
K
épfeldo^ • balról jobbra: d = 0^ →^ E-t választani
- jobbról balra: d = 0 → SW-t választani
- Megjegyzés:
- Nem mindig lehet csak balról jobbra haladva
rajzolni az egyeneseket.
Pl. szaggatott vonallal rajzolt zárt poligon
73
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Felezőpont algoritmus körre
- A következő pontnál:
- ha E-t választottuk, akkor
ΔE = d (^) új – d (^) régi = F(x +2 y ½) F(x +1 y ½) =
K
épfeldo
F(xp +2,yp –½) – F(xp +1,yp –½) =
= 2xp +
- ha SE-t választottuk, akkor
ΔSE = F(x (^) p +2,yp –3/2) – F(x (^) p +1,yp –½) =
= 2xp –2yp +
80
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Felezőpont algoritmus körre
- Az iterációs lépések:
- a döntési változó előjele alapján kiválasztjuk
a következő képpontot
d = d + ΔSE vagy d + ΔE
(a választástól függően)
K
épfeldo
(^ gg^ )
- Figyeljük meg: d értéke egész számmal változik!
- Kezdés:
kezdőpont: (0, R)
felezőpont: (1, R – 1/2)
d = F(1, R – 1/2) = 5/4 – R
81
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Program
procedure MidpointCircle (radius, value : integer); var x, y : integer; d: real; begin x := 0; y := radius; d := 5/4-radius; CirclePoints (x,y,value); while y>x do begin if d<0 then begin x := x+1;
K
épfeldo
d := d+2x+3; end else begin x := x+1; y := y-1; d := d+2(x-y)+5; end; CirclePoints (x,y,value) end {while} end; {MidpointCircle}**
82
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Felezőpont algoritmus körre
- Nem egész aritmetika, ezért legyen h új
döntési változó:
h = d – ¼
h+¼ = d < 0
K
épfeldo
Ekkor kezdéskor
h = 1 – R
- Kezdetben és a későbbiek során is h egész
szám!
- Igaz, hogy d < 0 helyett h < ¼ -et kellene
vizsgálni, de ez h egész volta miatt ekvivalens
h < 0 -val, tehát egész aritmetika használható.
83
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Program
procedure MidpointCircle (radius, value : integer); var x,y,d : integer; begin x := 0; y := radius; h := 1-radius; CirclePoints (x,y,value); while y>x do begin if h<0 then begin x := x+1;
K
épfeldo
h := h+2x+3; end else begin x := x+1; y := y-1; h := h+2(x-y)+5; end; CirclePoints (x,y,value) end {while} end; {MidpointCircle}**
84
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Másodrendű differenciák
- Stratégia:
- egy függvény értéke becsülhető két
pontban felvett értékei különbségét
használva (ami polinomok esetében
K
épfeldo
( p
alacsonyabb fokszámú lesz)
- használjunk első- és másodrendű
parciális differenciákat
85
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Kör rajzolása
ΔE (xp ,yp ) = 2·xp + ΔSE (xp ,yp ) = 2·xp -2·yp +5,
K
épfeldo
- ha E-t választottuk (xp ,yp ) → (xp +1,yp ),
ΔE új - ΔE régi = 2, ΔSE új - ΔSE régi = 2
- ha SE-t választottuk (xp ,yp ) → (xp +1,yp -1)
ΔE új - ΔE régi = 2, ΔSE új - ΔSE régi = 4
86
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Kör rajzolása
- tehát az iterációs lépések:
- d előjele alapján a következő képpont
kiválasztása
- d = d+Δ (a választástól függően ΔE vagy
K
épfeldo
d = d+Δ (a választástól függően ΔE vagy
ΔSE)
- ΔE és ΔSE módosítása (a választástól
függően)
87
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Program
procedure MidpointCircle (radius,value : integer); var x,y,d,deltaE,deltaSE : integer; begin x := 0; y := radius; d := 1-radius; deltaE := 3; deltaSE := -2radius+5; CirclePoints(x,y,value); while y>x do begin if d<0 then begin d := d+deltaE;*
K
épfeldo
(^) deltaE:=deltaE+2; deltaSE:=deltaSE+2; x := x+ end else begin d := d+deltaSE; deltaE:=deltaE+2; deltaSE:=deltaSE+4; x := x+1; y := y- end; CirclePoints(x,y,value) end {while} end; {MidpointCircle}
88
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Ellipszis rajzolása
b²x² + a²y² – a²b²
- a,b egész
- Szimmetria miatt:
K
épfeldo
Szimmetria miatt:
elég az első
síknegyedben
megrajzolni
89
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Ellipszis rajzolása
- Da Silva algoritmusa (felezőpont módszer)
- Bontsuk a negyedet két tartományra
A 1 t t á b
K
épfeldo
a² (yp – ½) > b² (xp+1)
90
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Da Silva algoritmusa
Az 1. tartományban:
≥ 0 SE -t választjuk
d 1 = F ( x p +1,y p – ½ )
{ < 0 E -t választjuk
K{
épfeldo
d régi – d új = F ( xp +1,y p – ½ ) – F ( xp +2,y p – 3/2 )
d régi – d új = F ( x p +1,y p – ½ ) – F ( x p +2,y p – ½ )
Δ SE = b² ( 2x p +3 ) + a² ( – 2y p +2 )
Δ E = b² ( 2x p +3 )
{
{
91
olgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Vonal „szaggatás”
- glEnable(GL_LINE_STIPPLE)
- glDisable (GL_LINE_STIPPLE)
- void glLineStipple(GLint factor, GLushort pattern)
K
épfeldo
- pattern
- 16 bit-es érték
- 0-s bit a legkisebb helyiértékű
- factor
- a minta szélességét adja meg
- pl. 5 esetén mindegyik bit a mintában 5 pixel-t jelent
98
