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PRIMITIVES

EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1.

Dérivée et primitives

1. Calculez la dérivée de la fonction f définie par

3 f ( ) x = 3 x − 9 x + 1.

2. Déduisez-en deux primitives de la fonction g définie par

2 g x ( ) = 9 x − 9

3. Déterminer le sens de variation de f sur \

Exercice n°2 à 11 – Primitives sans fonction logarithme

Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition

Exercice n°2. Usage des tableaux de primitives usuelles

1. f ( ) x = 2 x + 1 2) f x 3)

4 3

( ) = 10 x + 6 x − 1 f ( ) x = ( x − 1 ) ( x + 3 ) 4)

2 2

f ( ) x x x

= −

5

( )

f x x

−

= 6)

f ( ) x x

x

= + 7) f ( ) x = sin x −2 cos x

Exercice n°3. Primitive et constante

Soit f la fonction définie sur ] 0; +∞[ par

2

f ( ) x 3 x 1 x

= − +.

Déterminer la primitive F de f sur ] 0; +∞[ qui s'annule pour x =1.

Exercice n°4.

Trouver la primitive F de f sur I vérifiant la condition donnée

2 ( ) 1

3 f x = − x + x − x I= \ F (1)=

2

f ( ) x x x (^) x

= + − I= ] 0; +∞[ F (1)=

Exercices n°5 à n°8 : Déterminer une primitive des fonctions données

Exercice n°5. Forme

n u u ′

1) ( )

4

f ( ) x = 3 3 x + 1 2) ( )

3

f ( ) x = 16 4 x − 1 3) ( )

6 f ( ) x = 2 x + (^7) 4) (^) ( )( )

5 2 f ( ) x = 6 x − 2 3 x − 2 x + 3

4

2

f ( ) x 1 x x



= +

 

 



6. f ( ) x = sin x cos x

Exercice n°6. Forme 2

u

u

′

( )

2

( )

f x

x

=

+

( )

2

( )

f x

x

=

+

( )

2

( )

f x

x

=

+

( )

2

( )

f x

x

−

=

−

( )

2

( )

f x

x

=

−

( )

2 2

( )

x f x

x x

+

=

+ +

( )

2 2

( )

x f x

x x

−

=

− +

2

cos ( ) sin

x f x x

=

2

sin ( ) cos

x f x x

=

Exercice n°7.

Soit la fonction f définie par f ( x ) = 3

( 1)

x

x

+

+

.

1. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x ≠ − 1 , f ( x ) = 2 3 ( 1) ( 1)

a b

x x

+

+ +

.

2) En déduire une primitive F de f sur ] −1; +∞[.

Exercice n°8. Forme

u

u

′

( )

f x

x

=

+

( )

f x

x

=

−

( )

2 x 3

f x =

−

2

( )

x f x

x x

+

=

+ +

2

( )

x f x

x

=

−

cos ( )

2 sin

x f x

x

=

+

Exercice n°9.

Soit g la fonction définie sur ] 0; +∞[ par g x ( ) = x x.

1) Calculez la dérivée de g sur ] 0; +∞[

2) soit f la fonction définie sur ] 0; +∞[ par f ( ) x = x.

Déduisez de la première question une primitive de f sur ] 0; +∞[

Exercice n°10.

La courbe ( C ) donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un

repère orthonormal d’une fonction f définie et dérivable sur .

1. Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse :

a. Toute primitive de f s’annule pour 0,5.

b. Toute primitive de f est décroissante sur [0 ; 0,5].

2. Parmi les courbes ( C 1 ) et ( C 2 ) données ci-dessous, l’une est la représentation graphique d’une primitive de f sur.

Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choix.

\

Courbe 1 Courbe 2

Exercice n°11 à 16 – Primitives utilisant les fonctions logarithmes et exponentielles

Exercice n°11.

Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné :

f ( ) x x 5 x x

= − + sur I= ] 0; +∞[ 2)

2 1 ( )

x x

x

f x

+ +

= sur I= ] 0; +∞[

2

f ( ) x x (^) x x

= + + I= ] 0; +∞[ 4)

( )

3 x 4

f x = −

sur I=

;

 

+∞

 

 

( )

f x x

=

+

sur I= ] −1; +∞[ 6)

( )

f x x

=

+

sur I= ] −∞ −; 1 [

2

( )

x f x x

=

−

sur ] 2; +∞[ 8)

( )

3 x 5

f x = −

sur [ 2; +∞[

2

( )

x f x x x

+

=

+ +

sur \ 10) 2

( )

x f x x

=

−

sur ] −1;1[

Exercice n°12.

On considère la fonction définie sur I=[ 4; +∞[ par

2 2 3 ( ) 2

x x f x x

− − 4

=

−

1. Trouver trois réels a,b, et c tels que ( )

2

c f x ax b x

= + +

−

2) En déduire une primitive de f sur [ 4; +∞[

Exercice n°13.

Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné :

cos ( ) sin

x f x x

= sur I= 0; 2

^ π







 

ln ( )

x f x x

= sur I=[1; +∞[

( )

ln

f x x x

= sur ]1; +∞[ 4) f ( ) x = tan x sur ;

π

π

 

 

 

Exercice n°14.

Déterminez une primitive sur \de la fonction f donnée :

( )

x f x = e

2) ( )

x f x e

− = 3)

2 3 ( )

x f x e

= (^) 4)

2 ( )

x f x = xe

5. ( ) 1

x

x

e f x e

=

+

Exercice n°15.

Soit f la fonction définie sur \ par ( ) ( 2 )

x f x = x + e

Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F , définie sur \ , par ( ) ( )

x F x = ax + b e soit une primitive de f.

Exercice n°16.

Soit f la fonction définie sur \ par

( )

x

f x e

−

=

+

1. Vérifiez que pour tout x de \ , on a

( )

x

x

e f x e

=

+

2. Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour x= 0

PRIMITIVES - CORRECTION

Exercice n°

1. f est dérivable sur \ et pour tout x ∈ \ ,

2 2 f ′( )^ x = 3 × 3 x − 9 × 1 = 9 x − 9.

2. Si on note g la fonction définie par , alors grâce à la question 1), on dispose d’une primitive de g en la

personne de la fonction f. Un autre primitive de g serait la fonction h définie sur par , où k est une

constante réelle quelconque. Ainsi est une autre primitive de g

2 g x ( ) = 9 x − 9

3 f ( ) x = 3 x − 9 x + 1

\ h x ( ) = f ( ) x + k

3

• 50 = 3 x − 9 x + 51

3. Puisque (^) ( ) ( )( )

2 2 g x ( ) = 9 x − 9 = 9 x − 1 = 9 x − 1 x + 1 , on peut établir le signe de , donc le sens de variation de

f : Pour

g x ( )

x ∈ −∞ − ] ; 1 [ ∪ ]1; +∞[ , g x ( ) > 0 et pour x ∈ −] 1;1 [, g x ( ) < 0 , donc f est strictement croissante sur ] −∞ −; 1 [,

strictement décroissante sur ] −1;1 [, et strictement croissante sur ]1; +∞[.

Exercice n°

1. La fonction f définie par f ( ) x = 2 x + 1 est continue sur en tant que fonction affine, donc il existe une primitive

définie sur par

\

\ ( )

2

2 1 2

x = × + × x =

2 F x x + x

2. La fonction f définie par

4 3 f ( ) x = 10 x + 6 x − 1

( )

est continue sur en tant que fonction polynôme, donc il existe une

primitive définie sur par

\

\

5 4 4 5 1 2 2

x x x x

x x F x = × + × − × = + −

3) La fonction f définie par ( )( )

2 2 f ( ) x = x − 1 x + 3 = x + 3 x − x − 3 = x + 2 x − 3

( )

est continue sur en tant que

fonction polynôme, donc il existe une primitive définie sur \ par

\

3 2 3 2 2 3 3 2 3

x x x F x = + × − × x = + x − 3 x

4. La fonction f définie par

2 2

f ( ) x x

= − x est continue sur ] 0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il

existe une primitive définie sur ]0; +∞[ par ( )

3 1

x F x x

= − −

5. La fonction f définie par

5 5

( )

f x x

− −

= = − x est continue sur ] 0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont,

donc il existe une primitive définie sur ]0; +∞[ par ( )

5 1

5 1 4

4

x x x F x

x

− +

= − − +

− + −

= − × × = = −

6. La fonction f définie par

f ( ) x x x

= + est continue sur ] 0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il

existe une primitive définie sur ]0; +∞[ par ( )

2

2 2

x F x = + x

7. La fonction f définie par f ( ) x = sin x −2 cos x

F x ( ) = −c

est continue sur en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il

existe une primitive définie sur \ par

\

os x −2sin x

Exercice n°

f est continue sur ] 0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur ] 0; +∞[ définies par

2

( ) 2

x F x = − x k ∈ \

k , x

− +.

On cherche k pour que

(1) 0 1 0

F = ⇔ − − + k = ⇔ =

k

La primitive F de f sur ] 0; +∞[ qui s'annule pour x =1 est donc

2 3 2 ( ) 2 2

x F x x x

= − − +

Exercice n°

1. f est continue sur \ en tant que fonction polynôme donc admet des primitives définies sur \ par

2 3

( ) , 2 3

x x F x = x − + − k k ∈ \

4

x +. On cherche k pour que F (1) = 0

⇔ − + − + k =

0

⇔ + k =

⇔ k = −. La primitive F de f sur \qui vérifie F (1)=0 est donc

2 3 4 7

x x x F x ( ) x 2

= − + − −

2) f est continue sur ] 0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives définies sur ]0; +∞[

par

2 1 ( ) , 2

x F x k k x

= − − 2 x + ∈ . On cherche k pour que F (1) = 1

⇔ − − + k =

0 ⇔ − + k = 0

. La primitive F de f sur qui vérifie F (1)=1 est donc

2 1 5 2 2 2

x x x

F x ( ) = − − +

⇔ k = ] 0; +∞[

Exercice n°

1) (. f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et

4

f ( ) x = 3 3 x + 1 ) \ ( )

4 f ( ) x = u ′( ) x u x ( )

où u x ( ) = 3 x + 1 ⇒ u ′( ) x = 3. Ainsi une primitive sur \ de f est définie par

( ) ( )

5 5 1

( ) 3 x + ( )

u x F x = =

2) (. f est définie sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout

3

f ( ) x = 16 4 x − 1 ) \ x ∈ \ ,

( , donc de la forme

3

f ( ) x = 4 × 4 4 x − 1 ) ( )

3 f ( ) x = 4 u ′( ) x u x ( ) , où u x ( ) = 4 x − 1 ⇒ u ′( ) x = 4. Ainsi une primitive sur

\ de f est définie par

( )

( )

4 4 4 x − 1

( )

( ) 4

u x F x = × =

3) (. f est définie et continue sur \ en tant que puissance d’une fonction qui l’est, et pour tout

6

f ( ) x = 2 x + 7 ) x ∈ \ ,

(

( ) 2 2

f x = × × x )

6

+ 7 , donc de la forme (

6

( ) ( ) ( ))

f x = u ′ x u x , où u x ( ) = 2 x + 7 ⇒ u ′( ) x = 2. Ainsi une primitive

sur \ de f est définie par

( ) ( )

7 7 1 ( )^7 ( ) 2 7 14

u x F x

+

= × =

2 x

4). f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et de la

forme

( ) (^) (

2 5 f ( ) x = 6 x − 2 3 x − 2 x + 3

( )

5 ( ) ( ) ( )

) \

f x = u ′ x u x u x

( )

, où. Ainsi une primitive sur de f est définie par

2 ( ) = 3 x − 2 x + 3 ⇒ u ′( ) x = 6 x − 2 \

( )

6 2 6 ( )^3 2 ( ) 6 6

u x^ x^ x F x

− +

= =

4

2

f ( ) x 1 x x

 

= +



 



. f est définie sur ] −∞;0 [ ∪ ] 0;+∞[ et continue sur chacun des intervalles ] −∞;0 [et ] 0; +∞[ en

tant que produit et puissance de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ ]0; +∞[ ,

4

2

f ( ) x

x x



× +





 

= − −

 

 







, donc de la

forme (^) ( ) (^) ( ( )

4 f ( ) x = − u ′ x × u x ) , donc

( (^ ))

5

( )

u x F x

5 1 1 1 5 5 x

 

 + 

 

= − = −

6. f ( ) x = sin x cos x. f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ \ ,

f ( ) x = cos x sin x , donc de la forme f ( ) x = u ′( x u ) ( x ), où u x ( ) = sin x ⇒ u ′( ) x = cos x. Ainsi une primitive sur

de f est définie par

\

( ) ( )

2 2 sin

( ) x ( )

u x F x = =

Exercice n°

( )

2

( )

f x

x

=

+

f est définie et continue sur

;

 

− +∞

 

 

en tant que quotient de fonctions qui le sont, le

dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout

;

 

x ∈ − +∞    

, f est de la forme

( )

( (^ ))

2

( )

u x f x

u x

′

= , donc f admet une

primitive sur

;

 

− +∞



 



définie par

( )

u x 1 4

= −

+

F x ( ) x

= −

( )

2

( )

f x

x

=

+

f est définie et continue sur

;

 

− +∞

 

 

en tant que quotient de fonctions qui le sont, le

dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout

;

x

 

∈ − +∞

 

 

,

( )

2

( )

f x

x

×

=

+

est de la forme

( )

( (^ ))

2

( )

u x f x

u x

× ′

= , donc

f admet une primitive sur

;

 

− +∞



 



définie par

( )

( )

F x u x x

= − = −

+

( )

2

( )

f x

x

=

+

f est définie et continue sur

;

 

− +∞

 

 

en tant que quotient de fonctions qui le sont, le

dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout

;

x

 

∈ − +∞

 

 

,

( )

2

( )

f x

x

×

=

+

est de la forme

( )

( (^ ))

2

( )

u x f x

u x

′

= ,

donc f admet une primitive sur

;

 

− +∞



 



définie par

( ) ( )

( )

F x u x x

= − = −

( )

2

( )

f x

x

−

=

−

f est définie et continue sur ] 2; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, et pour tout x ∈ ] 2;+∞[ ,

( )

( (^ )^ )

2

f ( ) x

u x

u x

′

= ou u ( x ) = 2 − x ⇒ u ′ ( x )= − 1 donc f admet une primitive

sur ] 2; +∞[ définie par

( )

F x = − −

( )

u x

= −

x

( )

2

( )

f x

x

=

−

f est définie et continue sur

;

 

+∞

 

 

en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur

ne s’annulant pas, et pour tout

;

x

 

∈ +∞

 

 

,

( )

( )

2

( )

f x

x

 

 −^ × −

 

=

−

est de la forme

( )

( (^ ))

2

( )

u x f x

u x

′

= − , donc f admet

une primitive sur

;

 

+∞



 



définie par

( ) ( )

( )

F x u x x

= =

− 3

( )

2 2

( )

x f x

x x

+

=

+ +

f est définie et continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas (le discriminant du trinôme

2 x + x + 1 est strictement négatif), et pour tout x ∈ , f est de la forme

( )

( (^ ))

2

( )

u x f x

u x

′

=

( )

, où u ( x ) donc f admet une primitive sur définie par

2

= x + x + 1 ⇒ u ′( x )= 2 x + 1 \

2 x

= −

• x + 1

F x ( ) u x

= −

( )

2 2

( )

x f x

x x

−

=

− +

f est définie et continue sur \ \ 2;3{ } en tant que quotient de fonctions qui le sont, le

dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x ∈ \ \ 2;3{ } = −∞] ; 2 [ ∪ ] 2;3[ ∪ ]3; +∞[,

( )

( )

2 2

( )

x f x

x x

−

=

− +

donc de

la forme

( )

( (^ ))

2

( )

u x f x

u x

′

= , où^ ( ) ′^ ( x^ ) =^2 x

2

u x = x − 5 x + 6 ⇒ u − 5 donc f admet une primitive sur ] 3; +∞[ (ou

n’importe lequel des trois intervalles de son ensemble de définition), définie par

( )

2

u x x

F x ( ) = − = − − 5 x + 6

2

cos ( ) sin

x f x x

= f est définie et continue sur \ \ { k π , k ∈]} en tant que quotient de fonctions qui le sont, le

dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appartenant à l’un des intervalles ^ k π ; ( k + 1 )π







, f étant de la forme

( )

( (^ ))

( ) 2

u x f x

u x

′

= , où u ( x ) = sin x ⇒ u ′( x )= cos x , elle admet une primitive sur chaque intervalle^ k π ; ( k + 1 )π

 

définie par

( )

u x sin x

F x ( ) = − = −

2

sin ( ) cos

x f x x

= f est définie et continue sur \ , 2

k k

 π 

 ∈ 

 

\ ] en tant que quotient de fonctions qui le sont, le

dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appartenant à l’un des intervalles ; ( 1 )

k k

 π^ π

+



 

 

, f étant de la forme

( )

( (^ ))

2

( )

u x f x

u x

−^ ′

= , où u ( x ) = cos x ⇒ u ′( x )= − sin x , elle admet une primitive sur chaque intervalle ; ( 1 )

k k

π π

+

 

 

 

définie par

( )

u x cos x

F x ( ) = =

Exercice n°

1. Pour tout x ≠ − 1 ,

( )

2 3 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

a b a x^ b ax a

x x x x

+ +

3

• • b
• = =

. Ainsi 2 3

( )

( 1) ( 1)

a b f x x x

+ =

+ +

x 1

si et seulement

si pour tout x ≠ − 1 , ax + a + b = 3 x + 4 Ainsi, pour tout

a

a b b

 =

⇔ 

 +^ =^ ⇔^ =

≠ − ,

2 3

( )

( 1) ( 1)

f x x x

= +

+ +

2) f est continue sur l’intervalle ] −1; +∞ [en tant que somme de deux fonctions qui le sont, donc elle admet des primitives

F sur ] −1; +∞[. Puisque la fonction

2

( x +1)

x → est de la forme

( )

( (^ ))

2

3 u x x

u x

′

→ , où u ( x ) = x + 1 ⇒ u ′( x )= 1 , une de

ses primitives sur ] −1; +∞[ est la fonction

( )

x u x x

→ − = −

+

. Puisque la fonction

3 3

( 1)

( 1)

x x x

− → = +

est de la

forme (^) ( ) (^) ( ( ) , où

3 x u x

− x → u ′ ) u (^) ( x (^) ) = x + 1 ⇒ u ′( x )= 1 , une de ses primitives sur (^) ] −1; +∞[ est la fonction

( )

( )

( ) ( )

3 1

u x

− +

→ =

− +

2

x u

−

2 2

x

u x x

− = −

+

− =. On déduit donc qu’une primitive de f sur ] −1; +∞[ est la

fonction F définie sur ] −1; +∞ [par ( )

( )

2

F x x (^) x

= − −

+ +

Exercice n°

( )

f x x

=

+

f est définie et continue sur

;

 

− +∞



 



en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur

ne s’annulant pas, et pour

;

x

 

∈ − +∞



 



, f étant de la forme

( )

( )

( )

u x f x

u x

′

= , où u ( x ) = 3 x + 2 ⇒ u ′( x )= 3 , elle

admet une primitive sur

;

 

− +∞



 



définie par F x ( ) = 2 u ( x )= 2 3 x + 2

( )

f x x

=

−

f est définie et continue sur

;

 

−∞

 

 

en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur

ne s’annulant pas, et pour

;

x

 

∈ −∞

 

 

,

( )

f x x

−

= − ×

−

. f étant de la forme

( )

( )

( )

u x f x

u x

′

= − , où

u ( x ) = 2 − 5 x ⇒ u ′( x )= − 5 , elle admet une primitive sur

;

 

−∞

 

 

définie par ( )

( ) 2 2 5

F x = − × u x = − − x

( )

f x x

=

−

f est définie et continue sur

;

 

+∞

 

 

en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur

ne s’annulant pas, et pour

;

x

 

∈ +∞

 

 

,

( )

f x x

=

−

. f étant de la forme

( )

( )

( )

u x f x

u x

′

= , où

u ( x ) = 2 x − 3 ⇒ u ′( x )= 2 , elle admet une primitive sur

;

 

+∞

 

 

définie par ( )

( ) 2 2 3

F x = × u x = x −

2

( )

x f x

x x

+

=

+ +

f est définie et continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas (le discriminant du trinôme

2 x + x + 1 est strictement négatif), et pour x ∈ , f étant de la forme

( )

( )

( )

u x f x

u x

′

=

( )

, où u ( x ) , elle admet une primitive sur \ définie par

2

= x + x + 1 ⇒ u ′( x )= 2 x + 1

2 F x ( ) = 2 u x = 2 x + x + 1

2

( )

x f x

x

=

−

f est définie et continue sur chacune des intervalles ] −∞ −; 1 [ et ]1; +∞[ en tant que quotient de

fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas, et pour x ∈ ] −∞; − 1 [ ∪ ]1; +∞[ ,

2

( )

x f x =

x −

. f étant de la

forme

( )

( )

( )

u x f x

u x

′

= , où ( ) ( )

2

u x = x − 1 ⇒ u ′ x = 2 x , elle admet une primitive sur chacun des intervalles ] −∞ −; 1 [

et ]1; +∞[définie par ( )

F x ( )= × u x = x −

cos ( ) 2 sin

x f x x

=

+

f est définie et continue sur en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, et pour , f étant de la forme

\

x ∈ \

( )

( )

f ( ) x

u x

u x

′

= , où u ( x ) = 2 + sin x ⇒ u ′( x )=cos x , elle admet une

primitive sur \ définie par F x ( ) = 2 u ( x )= 2 2 +sin x

Exercice n°

1) g est dérivable sur ] 0; +∞[ en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ ] 0;+∞[ ,

= x +

( ) 1

x g x x x x x x x x

′ = × + × = + =

2) Puisque ( )

( )

g ′^ x = f x , on déduit que ( )

( )

f x = g ′ x. Une primitive sur ]0; +∞[ de f est donc la fonction définie

par ( )

( )

F x = g x = x x

Exercice n°

1) a) FAUX. f ( 0,5 )= 0 , mais cela n’influe par sur le signe de ses primitives

b) VRAI. Puisque f est négative sur [0 ;0,5] et positive sur [ 0,5; +∞[ , toute primitive de f est décroissante sur [0 ;0,5] et

croissante sur [ 0,5; +∞[

2. C’est la courbe 2 qui correspond à la représentation graphique de toute primitive de f.

Exercice n°

f ( ) x x 5 x x

= − +. f est continue sur ] 0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des

primitives sur (^) ] 0; +∞[ , et pour tout x ∈ (^) ] 0;+∞ (^) [, (^) ( ) ( )

3 2 3 2 5 5 ln ln 3 2 3 2

x x x x

F x ( ) = − + x = − + x puisque x ∈ ] 0;+∞[

2 1 ( )

x x f x x

+ +

=. f est continue sur ] 0; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur ] 0; +∞[ , et pour tout x ∈ ] 0;+∞[ , puisque

2 1 1 ( ) 1

x x f x x x x

+ +

= = + + ,

( ) ( )

2 2

( ) ln ln 2 2

x x

F x = + x + x = + x + x puisque x ∈ ] 0;+∞[

3. (^2)

f ( ) x x (^) x x

= + +. f est continue sur ] 0; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, donc admet des

primitives sur (^) ] 0; +∞[ , et pour tout x ∈ (^) ] 0;+∞[ , (^) ( ) ( )

F x ( ) 7 ln x 5 2 x 7 ln x 10 x x x

= + × − = + − ,car x ∈ ]0; +∞[

( )

f x x

=

−

. f est continue sur

;

+∞

 





en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur





;

 

+∞

 

 

, et puisque

( )

( )

( )

u x f x x u x

′

= =

−

où

u ( x ) = 3 x − 4 ⇒ u ′^ ( x )= 3 , F x ( )^^ =^ ln^ ( u x (^ )) =^ ln^ ( 3 x^ −^4 ) =^ ln 3( x −^4 ) car

;

x

 

∈ +∞

 

 

( )

f x x

=

+

. f est continue sur ] −1; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur ] −1; +∞[ , et puisque

( )

( )

( )

u x f x x u x

′

= =

+

où u ( x ) = x + 1 ⇒ u ′( x )= 1 ,

F x ( ) = ln (^) ( u x ( (^) )) = ln (^) ( x + (^1) ) = ln( x + (^1) )car x ∈ (^) ] −1; +∞[

6. Si x ∈ −∞ −] ; (^1) [, F x ( ) = ln (^) ( x + (^1) ) = ln (^) ( − (^) ( x + (^1) ) (^) )= ln( − x −1)

2

( )

x f x x

=

−

. f est continue sur ] 2; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur ] 2; +∞[ , et puisque

( )

( )

2

( )

x^ u^ x f x x u x

′

= =

−

où u ( x ) ( ) ,

2

= x − 4 ⇒ u ′ x = 2 x ( ( )) ( ) ( )

2 2

F x ( ) = ln u x = ln x − 4 = ln x − 4 car x ∈ ] 2;+∞[

( )

f x x

=

−

sur [ 2; +∞[. f est continue sur [ 2; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur

ne s’annulant pas, donc admet des primitives sur [ 2; +∞[ , et pour tout x ∈ [ 2;+∞[ , puisque

( )

( )

( )

f x

u x

x u x

′

= × = ×

−

, ou u ( x ) = 3 x − 5 ⇒ u ′( x )= 3 , ( ) ( x 5 )

ln 3 5 ln 3 3 3

F x ( ) = x − = − car x ∈ [ 2;+∞[

2

( )

x f x x x

+

=

+ +

sur . f est continue sur en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, (le discriminant du trinôme est strictement négatif) donc admet des primitives sur , et pour

tout , puisque

\

x +

2 x + 2 2 \

x ∈ \

( )

( )

2

x 1 1 ( ) 2

u x f x x 2 x 2 u x

+^ ′

=

+ +

= × , ou ( ) ( x )

2 u x = x + 2 x + 2 ⇒ u ′ = 2 x + 2 ,

( (^ )) ( ) (^ )

( ) ln 2 2 2 2 2 2

F x = u x = x + x x + x +

ln + = ln , puisque

2 x ∈ \⇒ x + 2 x + 2 > 0

2

( )

x f x x

=

−

sur ] −1;1 [. f est continue sur ] −1;1 [en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur

ne s’annulant pas, donc admet des primitives sur ] −1;1 [, et pour tout x ∈ −] 1;1 [, puisque

( )

( )

2 2

1 2 ( ) 1 2

x x f x

1

1 2

u x

x x u

′

x

= = − −

, où ( ) ( )

2

u x = x − 1 ⇒ u ′ x = 2 x , ( ( )) ( ) ( )

(^1 1 2 ) ln ln ln 1 2 2 2

F ( ) x = u x = x − 1 = − x

puisque ] [

2 x ∈ −1;1 ⇒ 1 − x < 0

Exercice n°

1) Pour tout x ∈[ 4;+∞[ ,

( )( ) ( )

2 2 2

c^ ax^ b^ x^ c^ ax^ b^ a x^ b^ c b x x x

+ − + + − − +

+ + = =

− − −

ax

Ainsi ( )

c ax b f x x

+ + =

−

a a

b a b

b c c

 =^  =

 

⇔  − = − ⇔  = − + =

 

− + = − = − + = − 2

 

. Pour tout x ∈ [ 4;+∞[ , ( )

f x x x

−

= + +

−

2) f est définie et continue sur [ 4; +∞[ en tant que somme et quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur [ 4; +∞[ A partir de l’écriture ( )

f x x x

−

= + +

−

, on déduit

l’expression d’une primitive F de f sur [ 4; +∞[ : ( ) ( ) ( )

2 F x x x 2 ln x 2

2 = + − x − 2 = x + x − 2 ln − car

x ∈ [ 4;+∞ ⇒[ x − 2 > 0

Exercice n°

cos ( ) sin

x f x x

=. f est définie et continue sur 0; 2

 π



 



en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur 0;

2

 π

 

 

, et pour tout 0; 2

x

 π

∈

 

 

, puisque

( )

( )

cos ( ) sin

x^ u^ x f x x u x

′

= = , ou

u ( x ) = sin x ⇒ u ′ ( x )=cos x , F x ( ) = ln ( u ( x )) = ln( sin x ) = ln sin( x ), puisque 0; sin 0

x x

 π

∈ ⇒

 

 

>.

ln ( )

x f x x

=. f est définie et continue sur [ 1; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur [1; +∞[ , et pour tout x ∈ [ 1;+∞[ , puisque

( ) ( )

f ( ) x ln x x

= × = u ′ x × u x , ou ( ) ( )

u x ln x u x x

= ⇒ ′ = ,

( (^ )) ( (^ ))

2 2 ln

u x x F x ( ) = =

( )

ln

f x x x

=. f définie est continue sur ]1; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]1; +∞[ , et pour tout x ∈ ]1; +∞[ , puisque

( )

( )

1/

( )

ln

x^ u^ x f x x u x

′

= = , ou

( ) ( )

u x ln x u x x

= ⇒ ′ = , F x ( )^^ =^ ln^ ( u x (^ )) =^ ln^ ( ln( x^ )) =ln ln( ( x ))car x ∈ ]1; +∞ ⇒[ ln x > 0

4. f ( ) x = tan x. f définie est continue sur ;

2

π

π





 





en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas, donc admet des primitives sur ;

2

π

π





 





, et pour tout ; 2

x

π

π



∈



 

 

, puisque

( )

( )

sin ( ) cos

x^ u^ x f x x u x

−^ ′

= = , ou

u ( x ) = cos x ⇒ u ′^ ( x )= − sin x , F^ ( ) x^^ = −^ ln^ ( u^ ( x^ )) = −^ ln^ ( cos^ x ) = −^ ln^ ( −cos x^ ), puisque ; cos

x x

π

π

 

∈ ⇒

 

 

< 0.

Exercice n°

( )

x f x = e. f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives

sur \ , et pour tout

( )

x F x = e.

2) ( )

x f x e

− =. f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives

sur , et puisque pour tout ,

\

\ x ∈ \ ( ) ( )

( ) ( )

x u x f x − e u x e

−

= − = − ′ ou u ( x ) = − x ⇒ u ′( x ) = − 1 ,

( ) ( )

u x x F x e e

− = =.

2 3 ( )

x f x e

=. f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives

sur , et puisque pour tout ,

\

\ x ∈ \ ( )

1 2 31 ( )

( ) 2

x^ u x f x e u x

= × = ′ e ou u ( x ) = 2 x + 3 ⇒ u ′( x )= 2 ,

( ) ( )

u x F x = e =

2 x 3 e

1 1 +

.

2 ( )

x f x = xe. f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives

sur \ , et puisque pour tout x ∈ \ , ( )

1 21 ( )

( ) 2

x^ u x

f x = × xe = u ′ x e ou ( ) ( )

2 u x = x ⇒ u ′ x = 2 x ,

1 ( )^2

( )

u x F x = e =

x e.

5) ( )

x

x

e f x e

=

+

. f est définie et continue sur en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne

s’annulant pas (car donc ) donc admet des primitives sur , et puisque pour tout

\

x x ∈ \ ⇒ e + > ≠ \ x ∈ \ ,

( )

( )

( )

u x f x u x

′

= ou ( ) = e ⇒ u ′( x ) ,

x x

u x = e F x ( ) ln ( ( ) ) ln ( 1 ) ln( 1 )

x x = u x = e + = e + car 1 > 0

x x ∈ \⇒ e +

Exercice n°

La fonction F , définie sur , par est dérivable sur \ en tant que produit de fonction qui le sont, et

pour tout ,

\

ae

( ) ( )

x F x = ax + b e

( ) (

x x

x ∈ \ F ′( )^ x = + ax + b e = ax + a + b e )

x

F sera une primitive de f si et seulement si pour tout x ∈ \ , ( )

( )

a F x f x a b

^ =

′ = ⇔ 

 +^ =

Une primitive de f sur \ est donc ( ) ( 1 )

x F x = x + e

Exercice n°

1. Pour tout x ∈ \ ,

( )

( )

x x

x (^) x x x x

e e f x e (^) e e e e

− (^) − −

×

= = = =

+ + × × + × 1

x

x x

e

e + e

2). f est définie et continue sur en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas (car

donc ) donc admet des primitives sur , et en utilisant l’écriture

\

x x ∈ \ ⇒ + e > 0 ≠ 0 \

( )

( )

( ) 3

x

x

e u^ x f x e u x

′

= =

+

ou

( ) 1 , on obtient

x

u x = e + )^ n^ ( ( )) 3ln^ ( ) 3ln^ ( 1 )

x x F x ( = 3l u x + k = e + 1 + k = e + + k car 1 0 sur

x e + > \