exercices corrigés primitives, Assignments of Mathematics

Download exercices corrigés primitives and more Assignments Mathematics in PDF only on Docsity! Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr PRIMITIVES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Dérivée et primitives 1) Calculez la dérivée de la fonction f définie par f(x) =3x° -9x+1. 2) Déduisez-en deux primitives de la fonction g définie par g(x) = 9x -9 3) Déterminer le sens de variation de fsur R Exercice n°2 a 11 — Primitives sans fonction logarithme Déterminer une primitive de fsur un intervalle contenu dans son ensemble de définition Exercice n°2. Usage des tableaux de primitives usuelles 1) f(x) = 2x41 2) f(x) =10x*+6x*-1 3) f(x) =(x-1)(x+3) 4) f@-t-# x 5) fa)== 6) fO)=2+F 7) f(x) =sinx—2cosx x" x Exercice n°3. Primitive et constante 2 Soit fla fonction définie sur ]o;+2[ par f(x) =3x-1+—. xe Déterminer la primitive F de fsur Jo, +20 qui s'annule pour x=1. Exercice n°4. Trouver la primitive F de fsur J vérifiant la condition donnée 1) f()=l-xt+x°-x* ER F(1)-0 11 on 2) SOD 5 =]0;+%[ Fl Exercices n°5 4 n°8 : Déterminer une primitive des fonctions données Exercice n°5. Forme wu” 1) f(x) =3(3x+1)* 2) f(x) =16(4x-1) 3) f(x)=(2x+7)° 4) (8) = (6x-2)(3x?-2x+3) 5) f(x)==| 1+— u iy 6) f(x) =sinxcos x x 7 . u Exercice n°6. Forme — ue 4 6 1 -1 1) f@) =—— 2) f(x) = ——> 3) f@) = —, 4) f(x) = (1+ 4x) (2x+1) (4x +3) (2- f= f= | peo- | = (4-3x) (4x41) ( -Sx+6) sim x 9) f(x) = cos” x Exercice n°7. Soit la fonction f définie par f(x) = 3xt4 : (x+]) a b 1) Détezminer les réels a et b tels que, pour tout x #—1, flx) = =+—|. (xt+)l* (x41) 2) En déduire une primitive F de fsur }b+[ : Page 1/12 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr ' . u Exercice n°8. Forme —= vu 3 1 DI0)- RS 3) SO =F 2x+1 cos x 4) f= Vx +x41 Exercice n°9. Soit gla fonction définie sur ]o;+2[ par g(x) =xVx. 1) Calculez la dérivée de g sur ]o;+-[ 2) soit fla fonction définie sur ]o;+2[ par f(x)= Vx. Déduisez de la premiére question une primitive de fsur Jo, +20 Exercice n°10. La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un repére o1thonormal d’une fonction f définie et dérivable sur R . 1) Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse : a. Toute primitive de fs’annule pour 0,5. b. Toute primitive de fest décroissante sur [0 ; 0,5]. 2. Parmi les courbes (C}) et (C2) données ci-dessous, l’une est la représentation graphique d’une primitive de fsur R. Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choix. Courbe 1 Courbe 2 Page 2/12 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Exercice n°4 1) f est continue sur R en tant que fonction polyndme donc admet des primitives définies sur R par 2 3 4 F(x)=x-~ 4 _2 +k,keR. On cherche k pour que Fz0e1-t4h likeo ce Lek=0 2 3 44 2.3 4 12 > k=—| La primitive F de fsur R qui vérifie F(1)-0 est done F (x) ee 7 = ———|, Laprimitive sur R qui vérifie F(1)=0 est donc |F (x)= —-—-— 12} °P a 2°93 4 2 2) fest continue sur Jo; +20[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives définies sur Jo, +20 xd par F()=-—- Wr +k keR| On cherche k pour que FQ)=1 5-1-4 k= 0065 -24k=0 1 ayes2 x 2 x 2 5 ek= aI La primitive F de f sur Jo; +20[ qui vérifie F(1)=1 est donc |F (x) = Exercice n°5 1) f(x) =3(3x4 1) . fest définie et continue sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, et f(x) = u'(x) (u(x) y (u(x))’ _ (3x+ 1)° 5 5 2) f(x) =16(4x-1)’. f est définie sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout xe R, ot u(x) = 3x+1=>u'(x) =3. Ainsi une primitive sur R de fest définie par |F (x) = F(x) = 4x 4(4x- 1) , donc de la forme f(x) = 4u'(x) (u(x), ot u(x) = 4x-1 => u'(x) = 4. Ainsi une primitive sur feo =(4x-1)' 3) f= (Qx+ 7) . f est définie et continue sur R en tant que puissance d’une fonction qui l’est, et pour tout xe R, R de fest définie par] F (x) = A x fM= > 2x(2x4 7y , donc de la forme f(x) = Suy(ueoy’ ot u(x) = 2x+7 => u'(x) = 2. Ainsi une primitive 1 (u(x) (2x4 7 =x ales 2 7 14 4) f(x) =(6x- 2)(3x* —2x+ 3)’. fest définie et continue sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, et de la sur R de fest définie par|F (x) = forme f(x) =u'(x) (u(x))’, ow u(x) = 3x? —2x+3—u'(x) = 6x—2. Ainsi ue primitive sur R de f est définie par (a) =u _ (Gx°=20+3) 6 6 q L [14] .f est définie sur }-50[ U ]o;+29[ et continue sur chacun des intervalles =; 0[ et Jo; +29[ en x 5) f@)= x 4 1 1 tant que produit et puissance de fonctions qui le sont, et pour tout x € Jo; +f, f(w=- (- — ). (++) , donc de la xe forme f(x) =-w (x)x(u(x)J', donc | F (x) -- HOV. ft) 6) f(x) =sinxcosx. fest définie et continue sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout xe R, F(x) = cosxsinx, donc de la forme f(x) =u'(x)u(x), ot u(x) = sinx => u'(x) = cos x. Ainsi une primitive sur R (ua) 2 de fest définie par|F (x) = Page 5/12 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Exercice n°6 4 1 yf © Oya f est définie et continue sur five en tant que quotient de fonctions qui le sont, le 1+ 4x) L u' (x) (u(x)) 1 dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x<€ He, fest de la forme f(x)= z> donc f admet une 1 1 1 wimitive sur |-—;+90| définie par|F (x) =—- =- B 4 [ B @ u(x) 1+4x 2 fi O-n f est définie et continue sur He en tant que quotient de fonctions qui le sont, le 2x41) . 1 3x2 3xu' (x) dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x € |-—;+00] , f(x)=——— est de la forme f(x) =, donc 2 (2x+1) (u(x)) a 1 . 3 3 fadmet une primitive sur |-—;+00] définie par |F (x) = — =- 2 u(x) 2x+1 1 ce: . 3 . . . 3) fi ©" ay f est définie et continue sur Pate en tant que quotient de fonctions qui le sont, le 4x+3) 3 vs 1 u(x) dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout xe |-—;+00] , f(x) =—*+— est de la forme f(x) =— T° 4 (4x+3) 4 (u(x)) 11 1 donc fadmet une primitive sur [Fe] définie par | F (x) = eres) = ~ Waxes) (2-x) s’annulant pas, et pour tout x € [2;4+f, f= 4) f@)= fest définie et continue sur ]2;-+0[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne u'(x) > ou u(x)=2-x=u'(x)=~-1 donc fadmet une primitive (u(x) 1 1 sur |2;+00] définie par|F (x) =- =- ] [ P @ u(x) 2-x 2 see . 4 . . . ee 5) f(x)= (an fest définie et continue sur Bote en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur 4-3x) ~5)xe3) 4 3 2 u(x) ne s’annulant pas, et pour tout xe |—,+00| , f(x) =~—~—— est de la forme f(x) = -————,,,, donc fadmet 3 (4-3x 3 (u x ) 4 2 1 2 une primitive sur |—;+] définie par|F (x) == =——_—_ pa k [ par) = 37a) 3(4-3n) 2x+1 6) f(x)= Wen fest définie et continue sur R en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne x 4x41) s’annulant pas (le discriminant du trin6me x°+x+1 est strictement négatif), et pour tout xe R, fest de la forme u' (x) fM= z, ou u(x)=x°+x+1=>u'(x)=2x+1 donc f admet une primitive sur R définie par u(x 1 1 F(x) =- =-——__ @ u(x) x +x+l Page 6/12 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr 4x -10 7) f(x)=————.,, f est définie et continue sur R\ {2,3} en tant que quotient de fonctions qui le sont, le (x? —Sx+ 6) . 2(2x-5) dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x € R\ {2,3} = }-=;2[ U ]2;3[ U 3+ »f(X)= (ws) donc de x°-5x+6) 2u' (2 > u (x) | ot u(x)=x°-5x+6=>u'(x)=2x-5 donc f admet une primitive sur 3.+2[ (ou (u(x) n’importe lequel des trois intervalles de son ensemble de définition), définie par|F (x) = — la forme f(x)= 2 2 u(x) —5x+6 cos x —,— f est définie et continue sur R\ {ka,k eZ} en tant que quotient de fonctions qui le sont, le sin’ x 8) f@)= dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appaitenant a l’un des intervalles Jeas(k+1)a[. f étant de la forme u' (x) (u(x)) 1 1 définie par | F (x) =— =-> u(x) sinx f= z, ou u(x) =sinx =u'(x)= cosx, elle admet une primitive sur chaque intervalle Jaa(k+ 1a, sina a 9) f(x= x f est définie et continue sur R\{iZ ke zh en tant que quotient de fonctions qui le sont, le cos” x n n dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appartenant a l’un des intervalles Weng, f étant de la forme “ (x) 5 ou u(x) =cosx> u'(x) =~-sinx, elle admet une primitive sur chaque intervalle ste yz (u(x)) 1 1 définie par | F (x) = = u(x) cosx f= Exercice n°7 x+1)+b 1) Pour tout x#-1, ay b - ae ) = atath insi @ b = . Ainsi =+ (x+l? (x4 DP (x+1° (x+1 (x41? (x4 D3 =3 si pour tout x#-1, axta+b=3x+4@ a Ainsi, pour tout x#-1, —_ a+b=4@b=1 (x+)) 2) fest continue sur l’intervalle }b+[ en tant que somme de deux fonctions qui le sont, donc elle admet des primitives 3 3u' (x) > est dela forme x > 7? (x+1)* (u(x) 3 3 1 ses primitives sur fk 1, +00[ est la fonction x + — =~——. Puisque la fonction x —— = (x+1)° est de la u(x) x4] (x+1)? = f(x) si et seulement F sur b+ . Puisque la fonction x > ou u(x) = x+1=>u'(x) =1, une de forme x—u'(x)(u(x))°, ou u(x)=xt+1l=u'(x)=1, une de ses primitives sur f+ est la fonction u(x)?" 1 x3 =-= ————.,.. On déduit donc qu’une primitive de f sur }b+[ est la “341 2(x+1)° fonction F définie sur b+ par F(x)= 3-1 x+1 2(x+1) Page 7/12 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr 2x 7) f= 1 f est continue sur ]2:+20[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne 2x _u'(x) -4 u(x) - 4) car xe ]2;-+29[ s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]2;+[, et puisque f(x) = ) =In([x? = 4]) =1n( sur [2;-+09[ . f est continue sur [2;-+09[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ot u(x)= x? -4=5u' (x)= 2x F(x)= In(le(x) 1 8 x)= ) f= 5 ne s’annulant pas, donc admet des primitives sur [2;+2[ , et pour tout xe[2,+f, puisque ol 3 _1 w(x) FO= 35573 u(x) xt1 ) IMs x +2x+2 s’annulant pas, (le discriminant du trin6me x’ 4+2x+2 est strictement négatif) donc admet des primitives sur R, et pour x41 1 u(x) tout xeR, i (x) = = = — “ * pusane f) x +2x+2 2 u(x) ,ou u(x) =3x-Su'(x)=3, F(x)=Fin( 3x - 5}) = $in(3x— 5)}car xe [23-29 sur R.f est continue sur R en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne : ou u(x)=x°+2x+2u'(x)=2x+2, F(x)= $In(le(x)))= In(|s* +2x-+2|) = Sin(x* +2x+2) |, puisque xe R> x°+2x+2>0 sur Fl. f est continue sur Fl en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas, donc admet des primitives sur Fh. et pour tout xe If, puisque _1 2x _1u(x) -1 2x°-1 2u(x) , ot u(x)= 3° -1L=>u' (x)= 2x, |F(x)= in ((u()) = Sin([s -1) = Salis) puisque x € ]-1;1[=>1-x° <0 Exercice n°12 1) Pour tout x €[4;+o[ axtb+— _(ax+b)(x-2)+e _ ax’ +(b-2a)x- +e x2 x-2 x-2 a=2 a=2 Ainsi ax+b+ Safe b-2a=-3 ©&4b=-3+4=1 . Pour tout xe[4+of, S (x)= 2x414 — 5 x- x- -2b+ce=-4 e=-44+2=-2 2) f est définie et continue sur [4;-+29[ en tant que somme et quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne -2 s’annulant pas, donc admet des primitives sur [4;-+2[ A paitir de 1’écriture J (x)= 2x4+14—. on déduit Yexpression d'une primitive F de f sur [4;-+29[ : F (x)= x? += 2In(|x—2|) =x? + x-2in(x—- 2)| car xe[4,+0[ > x-2>0 Exercice n°13 cosx . . a . . . pee 1) f(x) =——.. f est définie et continue sur eal en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne sin u'(x s’annulant pas, donc admet des primitives sur jaf. et pour tout xe ol, puisque f(x) = COS (x) sinx u(x)’ ou u(x)=sinx > u'(x)=cosx,|F (x)= In(le(x) ) = In([sin | ) =In(sinx)}, puisque x € g[> sinx>0. Page 10/12 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Inx . . . . . . 2) f(x) =—. f est définie et continue sur [L+[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas, donc admet des primitives sur [L+~[. et pour tout xe[L +, puisque (u(x) (In(x))’ f(a) = bxinx=u(x)xu(x), ou u(x)=Inxu'(x)=4, F(x)=————= x x 2 2 3) f(xXJ= ==. f définie est continue sur b+ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne xiInx eae . l/x u' (x) s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]b+[, et pour tout xe ]b+[. puisque F@)=5 = ( ) > ou nx u(x u(x)=Inx>u'(x)= L F(x)= In(e(x)}) = In(in(x)}) = In(In(x))|car x € ]I;+o[ > Inx > 0 x 4) f(x)=tanx. f définie est continue sur Ee] en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne sinx _-u'(x) a a s’annulant pas, donc admet des primitives sur E et pour tout x€ Ee} puisque f(x) = ,ou cosx u(x) u(x) = cosx => u'(x)=—sinx, | F(x) =—In(|u(x)]) =-In(|cosx|) = -In(-cos.x)|, puisque x € | >cosx<0. Exercice n°14 1) f(x= ao . f est définie et continue sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives 1 sur R, et pour tout |F (x) = ra . 2) f(x) =e". f est définie et continue sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur R, et puisque pour tout xe R, f(x) = -(-e* ) = -u'(x)e™ ou u(x)=-x =>u'(x)=-1,|F(x) =e" =e"|, 3) f(x)=e""*. f est définie et continue sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives su R, et puisque pour tout xeR, fla) = 5x2" = Sal (x)e ou u(x)=2x+3=>u'(x)=2, 1 ue = 1 ass] 2 2 4) f(xXJ= xe™ f est définie et continue sur R en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives F(x)= sur R, et puisque pou tout xeR, F(x) = 2x0" = Su'(x)e ou u(x)=x? =u'(x)=2x, 1 2 F(x) =—e" =e* | (x) 5 e S)IMaS etl s’annulant pas (car x€ R=>e*+1>0 donc #0) donc admet des primitives sur R, et puisque pour tout xe R, fM= a ou u(x) =e" =u (x)= e |F(x)= In(e(x) . f est définie et continue sur R en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne ) =In(le* +1]) =In(e* +1) car xe Re" 4+1>0 Page 11/12 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Exercice n°15 La fonction F, définie sur R, par F(x) =(ax+b)e* est dérivable sur R en tant que produit de fonction qui le sont, et pour tout xe R, F'(x) = ae*+(ax+b)e* =(ax+a+b)e* a=1 F sera une primitive de f'si et seulement si pour tout xe R, F'(x)= f(x)@ | b-2 atb= Une primitive de fsur R est donc |F (x) = (x+1)e* Exercice n°16 3 3xe* 3e* 3e* 1) Pourtout xe R, f(x) = >=— = = aa ooo e*+l (e* +1)xe* e*xe+lxe* l+e 2). f est définie et continue sur R en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas (car 3e* u'(x 320) e+] — u(x) )+4=31n(le" +|)+k=3In(e'+1)+k car e° +1>0 su R xé€R=1+e* >0 donc #0) donc admet des primitives sur R, et en utilisant l’écriture f(x) = u(x)= e* +1, on obtient| F (x) = 3In(le(x) Page 12/12