ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE
2007-2008
V
VI
IB
BR
RA
AT
TI
IO
ON
NS
S
e
et
t
A
AC
CO
OU
US
ST
TI
IQ
QU
UE
E
1
1
Jean-Claude Pascal
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Guidelines and tips
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Exercice sur vibration mécanique
Typology: Exercises
2018/2019
1 / 207
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Related documents
Partial preview of the text
Download Hamza exercice vibration and more Exercises Electronics in PDF only on Docsity!
ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE
V VIIBBRRAATTIIOONNSS eett AACCOOUUSSTTIIQQUUEE 11
Jean-Claude Pascal
ii
Cours Vibrations et Acoustique 1
Partie A : Vibrations
I - Vibrations libres des systèmes mécaniques à un degré de liberté 1 - Système mécanique élémentaire 2 - Amortissement visqueux 3 - Méthode énergétique de Rayleigh 4 - Notion de stabilité
II - Réponse forcée des systèmes mécaniques à un degré de liberté 1 - Réponse à une excitation harmonique 2 - Différents types d'amortissement 3 - Réponse à une excitation quelconque
III - Systèmes à plusieurs degrés de liberté 1 - Système à deux degrés de liberté 2 - Généralisation aux systèmes à plusieurs degrés de liberté 3 - Absorbeur dynamique 4 - Introduction à l'analyse modale expérimentale
Partie B : Acoustique
IV - L'équation d'onde acoustique et ses solutions 1 - Equation d'onde à une dimension 2 - Equation d'onde en 3D 3 - Ondes propagatives et ondes stationnaires 4 - Intensité et puissance acoustique
V - Notions d'acoustique physiologique et d'acoustique des salles 1 - Introduction à la physioacoustique 2 - Applications de l'acoustique statistique des salles
VI - Mesures acoustiques 1 - Chaine de mesure acoustique 2 - Mesure des caractéristiques des matériaux 3 - Mesure de la transparence acoustique 4 - Mesure de la puissance acoustique
iv
Documentation sur l'acoustique et les vibrations
L'adresse des sites de l'Internet est indiquée, mais les changements d'hébergement sont encore fréquents.
Publications d'organismes sur l'acoustique industrielle
Brüel & Kjaer [http://www.bk.dk] Documentation sur les méthodes de mesure et d'analyse en acoustique et vibrations Acoustic noise measurements (5th^ ed.) Noise control Frequency analysis (3rd^ ed.) Brüel & Kjaer Technical Review (publiée régulièrement de 1949 à 1998 puis épisodiquement)
Centre Technique des Industries Mécaniques (CETIM) [http://www.cetim.fr] Recueils de conférences et guides pratiques : Applications of Active Control to the Reduction of Noise and Vibrations (1996) Les nouveaux outils de la qualité acoustique. Comment façonner l'image sonore de vos produits (1996) Le bon usage du silencieux pour la réduction du bruit : machines, installations, véhicules (1997) Guide acoustique des installations de pompage (1997) Matériaux acoustiques pour l'industrie (2003) Réduction du bruit au voisinage des usines (2003)
Centre d'Information et de Documentation sur le Bruit (CIDB) [http://www.infobruit.org] Annuaire Bruit des acteurs de l'environnement sonore édité chaque année (organismes publics, associations professionnelles, formations, laboratoires, organismes de contrôle, bureaux d'études, fabricants de matériaux acoustiques et d'instruments) Echo-Bruit (magazine trimestriel de l'environnement sonore pour le grand public et les collectivités locales) Acoustique & Techniques (revue trimestrielle destinée aux techniciens, acousticiens et tous professionnels concernés par les techniques de lutte contre le bruit)
Centre Scientifique et Technique du Bâtiment (CSTB) [http://www.cstb.fr] Cahiers du CSTB (revue technique dans le domaine du bâtiment avec des articles sur le bruit)
Institut National de Recherche et de Sécurité (INRS) [http://www.inrs.fr] Cahiers de notes documentaires - Hygiène et sécurité du travail (revue trimestrielle scientifique et technique avec des articles sur la prévention du bruit)
Techniques de l'Ingénieur [http:/www.techniques-ingenieur.fr], voir en particulier la rubrique "mesures et contrôle"
Revues internationales
Les sites web permettent la plupart du temps d'avoir accès aux résumés des articles des dernières parutions.
Applied Acoustics [http://www.elsevier.com/inca/publications/store/4/0/5/8/9/0/]
Acustica united with acta acustica [http://www.icp.inpg.fr/ACTA/]
International Journal of Acoustics and Vibration [http://www.rcom.ru/IJAV/]
Journal of Acoustical Society of America [http://ojps.aip.org/jasa/]
v
Journal of Sound and Vibration [http://www.academicpress.com/jsv/]
Journal of Vibration and Acoustics (Transactions of ASME) [http://www.asme.org/pubs/journals/vibrate/vibrate.html]
Noise Control Engineering Journal [http://users.aol.com/inceusa/indxncej.html]
Principales sociétés d'acoustique
Société Française d'Acoustique (SFA) [http://www.loa.espci.fr/sfa/]
Association Française de Mécanique (SFM) [http://www.afm.asso.fr/]
European Acoustics Association (EAA) [http://eaa.essex.ac.uk/eaa/]
International Institute of Noise Control Engineering (IINCE) [http://users.aol.com/iince1/] (et INCE USA [http://users.aol.com/inceusa/])
International Institute of Acoustics and Vibration (IIAV) [http://www.iiav.org]
Acoustical Society of America (ASA) [http://asa.aip.org]
Diverses sources de documentation et d'information
Association Française de Normalisation (AFNOR) : normalisation, certification, catalogues de normes, directives, formations, forums [http://www.afnor.fr]
Centre d'Information et de Documentation sur le Bruit (CIDB) : publications, bibliothèque documentaire, stages, colloques. Edite chaque année l'Annuaire des acteurs de l'environnement sonore (organismes publics, associations professionnelles, formations, laboratoires, organismes de contrôle, bureaux d'études, fabricants) [http://www.cidb.org]
Laboratoire National d'Essais (LNE) : métrologie acoustique, étalonnages, certification [http://www.lne.fr]
Institut de l'Information Scientifique et Technique (INIST-CNRS) : fourniture de documents scientifiques et techniques [http://www.inist.fr]
Réglementation
Les Journaux Officiels [http://djo.journal-officiel.gouv.fr/] chercher avec le mot clé "Bruit". En particulier :
Législation communautaire en matière d'environnement /Volume 5 – Bruit Situation au 01.09.91 (Edition de 1993 - réf. : 3699100541) Situation au 30.06.94 (Edition de 1996, complément à l' Edition de 1993 - réf. :
Bruit - Prévention, maîtrise et contrôle des nuisances sonores (réf. : 313830000, édition du 2 juin 1995) Cet ouvrage regroupe l'ensemble des textes législatifs et réglementaires d'origine nationale et communautaire qui régissent la prévention, la maîtrise et le contrôle des nuisances sonores.
vii
ENSIM - 2eme^ Année Vibrations et Acoustique 1
I - VIBRATIONS LIBRES DES SYSTEMES MECANIQUES
A UN DEGRE DE LIBERTE
- SYSTEME MECANIQUE ELEMENTAIRE
1.1 - Equation du mouvement 1.2 - Raideurs équivalentes 1.3 - Masses équivalentes 1.4 - Linéarisation Application 1 : Détermination de la fréquence propre
- AMORTISSEMENT VISQUEUX
2.1 - Mouvement sous-amorti 2.2 - Mouvement sur-amorti 2.3 - Mouvement avec amortissement critique 2.4 - Equation normalisée d’un système à 1 degré de liberté Application 2 : Mesure du taux d'amortissement 1
- METHODE ENERGETIQUE DE RAYLEIGH
3.1 - Equation du mouvement 3.2 - Pulsations propres 3.3 - Exemples
- NOTION DE STABILITE
ANNEXE : Equations différentielles et mouvement harmonique
0903
Vibrations – Acoustique 1 I – Vibrations libres à 1 ddl
3
1 – SYSTEME MECANIQUE ELEMENTAIRE
Le modèle du système mécanique élémentaire considère le mouvement d'une masse (corps rigide) par rapport à une partie fixe. On parle de système à 1 degré de liberté (DDL) quand la masse unique a un mouvement dans une seule direction (translation ou rotation autour d'un axe). Si une ou plusieurs masses ont des mouvements de translation et de rotation dans plusieurs directions, il s'agit d'un système à plusieurs degrés de liberté. Malgré sa simplicité le système à 1 DDL peut représenter le comportement dynamique de systèmes très variés dans le domaine des basses fréquences. La modélisation considère une masse équivalente en mouvement qui possède des liaisons avec les parties fixes caractérisées par une raideur équivalente (souvent schématisé par un ressort).
1.1 - Equation du mouvement
Il existe principalement deux types de systèmes : les systèmes de translation et les systèmes de torsion.
1.1.1 – Systèmes avec mouvement de translation
Ils sont schématisés par le système masse – ressort : la masse m [en kg] est animée d'un mouvement de translation dans la direction x auquel s'oppose la force due à la raideur du ressort. Dans le domaine linéaire du ressort, le coefficient de raideur k [en N/m] est une constante et la force de réaction Fk = − kx.
Le principe d'Alembert permet d'écrire l'équilibre dynamique du système masse-ressort ( Figure 1.1 ) F (^) k ( t )= Fi ( t )
entre la force dynamique mx dt
d x Fi t = m 2 = &&
2 ( )
et la force de réaction exercée par le ressort Fk ( t )=− kx
( le signe – est du à la force qui s'oppose au déplacement )
Figure 1.1 – Equilibre du système masse-ressort
L'équation différentielle du mouvement (homogène du second ordre) se déduit de l'équation d'équilibre précédente
(1)
m
x
k Fk = − kx. F mx i = &&
m x &&+ kx = 0
I – Vibrations libres à 1 ddl Vibrations – Acoustique 1
4
Sa solution (voir Annexe) est une fonction périodique pour le déplacement
x ( t )= A sin (ω t + φ) (2a)
A et φ sont l'amplitude et la phase qui dépendent des conditions initiales et ω est la
pulsation (ou fréquence angulaire)
vitesse :
( ) = x =ω A (ω t + φ) dt
dx t & (^) cos (2b)
accélération :
( ) = x =−ω A (ω t + φ) dt
d x t 2 2 sin
2 & & (^) (2c)
L'équation (1) s'écrit alors
− m ω 2 A sin (ω t +φ) =− kA sin(ω t + φ)
La pulsation naturelle est la valeur de ω qui satisfait la relation
[en rad/s] (3)
ω 0 ne dépend que des constantes mécaniques du système. Les constantes A et φ
dépendent des conditions initiales ( x &&^ est intégré deux fois pour obtenir x , d'où deux constantes d'intégration). Les conditions initiales sont le déplacement x (^) 0 et la vitesse v (^) 0 à
l'instant t = 0 :
x 0 (^) = x ( 0 ) = A sin(ω 00 +φ) = A sinφ [m] v 0 (^) = x &^ ( 0 ) =ω 0 A cos(ω 00 +φ) =ω 0 A cosφ [m/s]
donc ω 20 x^20 + v 02 =ω 02 A^2 (sin 2 φ+cos^2 φ) et 0
0 0 cos
sin v
ω x φ
φ = , soit
0
2 0
2 0
2 0
ω x v
A
= et 0
arctan 0 0 v
ω x φ = (4)
Le déplacement
est la réponse libre du système à 1 degré de liberté non-amorti.
C'est une fonction harmonique à la pulsation naturelle ω 0 dont l'amplitude est imposée par
les conditions initiales. Cette amplitude reste constante car la modélisation n'a pas pris en compte le phénomène de dissipation d'énergie présent dans tout système mécanique. Dans la réalité, une décroissance de l'amplitude avec le temps sera observée.
m
=^ k
= + ^ +
0
0 0 0 0
2 0
2 0
2 ( )^0 sin arctan v
x t x v xt ω ω ω
ω
I – Vibrations libres à 1 ddl Vibrations – Acoustique 1
6
Remarque 2
Figure 1.3 – Système masse-ressort suspendu
Système suspendu : au repos, la masse exerce une force de traction mg sur le ressort qui se
traduit par un étirement initial x (^) 0. L'équation du mouvement s'obtient à partir de l'équilibre
dynamique des forces appliquées à la masse : F (^) k ( t )− Fi ( t )= 0
mx &&+ mg + kx + kx 0 = 0
Avec mg = − kx 0 , on obtient la même équation du mouvement x ( t ) que précédemment
(centrée sur la position d'équilibre x (^) 0 ).
1.1.2 – Systèmes de torsion
Un corps rigide oscille autour d'un axe (vibration de torsion).
Figure 1.4 – Equilibre d'un système de torsion.
L'équilibre dynamique entre le moment dynamique θ
θ (^) && 2 0
2 ( ) (^0) dt J
d M (^) i t = J = et le moment
de torsion M (^) t ( t )=− kt θ permet d'écrire l'équation du déplacement angulaire θ( t )
J 0 θ&& + kt θ= 0 (6)
J (^) 0 moment d'inertie de la masse et k (^) t raideur de torsion [en Nm/rad].
La pulsation naturelle est
0
0 J
kt
ω = [rad/s] (7)
θ k t
M t =− kt θ M^ i = J 0 θ&&
k
m
(^0) g
x
x 0
Fk = − k^ (^ x 0 + x )
Fi = mx &&+ mg
Vibrations – Acoustique 1 I – Vibrations libres à 1 ddl
7
et la réponse libre du système non-amorti
( ) (^)
0
0 0 0 0
2 0
2 0
2 (^0) sin arctan
t t (8)
Exemple :
1.2 – Raideurs équivalentes
Le modèle le plus simple pour représenter la raideur correspond au ressort suspendant une masse. En négligeant la masse du ressort, les forces agissant sur la masse sont la force de gravité F = mg la force de réaction du ressort Fk =− kx
Le travail effectué en déformant le ressort est stocké dans le système sous la forme d'une énergie potentielle (travail de la force: F = kx )
Le coefficient de raideur k est une constante qui montre que la force de réaction est proportionnelle à la déformation (qui augmente avec la masse). Ce modèle est valide jusqu'à un certain point au-delà duquel k n'est plus constant.
Figure 1.5 – Zone de comportement linéaire d'un ressort de constante k = 750 N/m.
x U k d kx 0
2 2
repos
x
k
F k
0
F
0 0.01 0.
0
5
10
15
élongation [m]
force [N]
zone de linéarité
D
h
d^ l
pour un disque de diamètre D et d'épaisseur h , à l'extrémité d'un arbre de longueur l et de diamètre d
2 0
mD J = et l
G d kt 32
π^2
avec la masse 4
D^2
m h
= ρ et le
module de cisaillement G.
Vibrations – Acoustique 1 I – Vibrations libres à 1 ddl
9
1.2.2 – Raideurs en série
Figure 1.8 – Raideurs en série
L'équilibre des forces conduit aux relations suivantes :
x k
k k x k x x eq eq 1
x k
k k x k x x eq eq 2
L’élongation totale s’écrit alors x k
k k
k x x x x eq eq
1 2
1 2
d'où
1 2
keq k k
Ce résultat se généralise pour n raideurs en série
keq k k k n
1 2
= + +K +
1.2.3 – Raideurs de flexion
Dans l'ouvrage de Rao ( voir Références ), des raideurs de flexion (translation) et de torsion sont données pour quelques systèmes mécaniques simples. Elles peuvent être obtenues en utilisant les résultats du cours de RDM. Par exemple, la déformation statique d'une poutre sur appuis simples chargée par une masse M se calcule par
( ) ( 2 2 2 ) 6
L b a EIL
Pbx y x = − −
avec L = a + b
Figure 1.9 – Raideur équivalente d'un système masse-poutre
F
− k 1 x 1
F
k 1
k 2
x 1
x 1 (^) + x 2
k 1 x 1
− k 2 x 2
k 2 x 2
y ( x )
a (^) b
δ
P
I – Vibrations libres à 1 ddl Vibrations – Acoustique 1
10
La raideur équivalente de la poutre s'obtient par ( keq δ = Mg = P )
δ δ
P Mg keq = =
où ( ) EIL
Pa b y a 3
2 2
δ = = est la déflexion de la poutre à l'emplacement de la masse ( x = a ),
d'où
2 2
a b
P EIL
keq = = δ
1.3 – Masses équivalentes
Principe : Si T correspond à l' énergie cinétique totale de toutes les masses en mouvement (en translation et en rotation),
i j
T mi xi Jj j 2 2 2
la masse équivalente est définie par
x & est la vitesse au point où on veut calculer la masse équivalente (généralement, où se trouve définit la raideur équivalente).
Note : a) les masses en mouvement doivent être connectées rigidement entre elles sinon il s'agit d'un système à plusieurs degrés de liberté.
b) pour les systèmes en mouvements de rotation, on considère le moment d'inertie équivalent 2 2
T = J eq θ&
1.4 – Linéarisation
1.4.1 – Pendule simple
sin
0 M Fl mg l
J M
t t
t = = −
l
F t
mg
m
2 2
T = meq x &
Figure 1.10 – Pendule simple
I – Vibrations libres à 1 ddl Vibrations – Acoustique 1
12
Ce principe s'applique également aux systèmes continus : ici une masse fixée sur une poutre. Si la masse de la poutre est négligeable devant la masse de l'ensemble, la poutre
n'apportera que de la raideur au système (mouvement de flexion). La déflexion statique δ
observée à l'emplacement de la masse permet d'obtenir la première fréquence propre du système
Par exemple, pour le système de la Figure 1.9 : (^022)
Ma b
g EIL = =
2 – AMORTISSEMENT VISQUEUX
Figure 1.13 – Exemple d'amortisseur
L'amortisseur dissipe l'énergie. L'écoulement laminaire de l'huile crée une force de réaction proportionnelle à la vitesse du piston ( ) dt
dx t Fc =− c
Le coefficient d'amortissement c dépend de la viscosité [en Ns/m] Autre type d'amortisseur sensiblement proportionnel à la vitesse : un bloc de caoutchouc.
Equilibre des forces : Fk + Fc − Fi = 0
d'où .
m
x .
Fk = − kx k Fi = mx &&
c Fc^ =− cx &
2 2
2
- kxt = dt
cdx^ t dt
md x^ t
huile
g 0 =
Vibrations – Acoustique 1 I – Vibrations libres à 1 ddl
13
l'équation décrivant le mouvement d'un système amorti à 1 degré de liberté. En posant
x ( t ) = α ert , cette équation devient ( mr 2 + cr + k ) α ert = 0. Puisque α ert ne peut pas être
nul quel que soit t , c'est l' équation caractéristique suivante qui doit être vérifiée
mr^2 + cr + k = 0. Ses solutions sont
m
c km m
c r
r 2
2
2
Plusieurs types de solutions sont envisageables en fonction de la valeur du discriminant
c^2 − 4 km : deux racines réelles, une racine double ou deux racines complexes. Pour faciliter l'analyse, on définit le coefficient d'amortissement critique ccr
0
c^2 4 km 0 c 2 km 2 m ω
cr − = ⇒ cr = =
ω 0 pulsation naturelle non-amortie (fréquence ou pulsation propre)
Définition du taux d'amortissement .
Les racines de l'équation caractéristiques peuvent donc s'écrire en fonction du taux d'amortissement
2
r
r x ( t ) =α 1 er^1^ t + α 2 er^2 t
En fonction de la valeur de ζ , trois types de mouvement peuvent être observés :
- le mouvement sous-amorti (oscillations vibratoires amorties),
- le mouvement sur-amorti (retour à la position d'équilibre sans oscillations),
- le mouvement avec amortissement critique, qui correspond à la limite entre les deux cas précédents.
2.1 – Mouvement sous-amorti ( 0 < ζ <1)
2
r 1 = −ζω 0 − j ω 0 1 − ζ
2
r 2 = −ζω 0 + j ω 0 1 − ζ
avec j =− − 1 et ζ 2 − 1 = ( − 1 )( 1 −ζ^2 ) =− j 1 − ζ^2.
La solution de l'équation différentielle est de la forme
x ( ) t a ej^ t a e j^0 t e^0 t
2 0 1 2 2
1 1
−ζ ω − −ζ ω − ζω
=^ +
a 1 , a (^) 2 sont des constantes complexes arbitraires
m
c c
c cr