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Niv : TS1 CIRA
Rep : §B. Ouverte Programme de l’exposé
- CRSno Identification des procédés - Page 0/
- 1 Introduction Table des matières
- 2 Identification en boucle ouverte
- 2.1 Procédé natuerellement stable
- 2.1.1 Procédé du premier ou second ordre
- 2.1.2 Procédé du ni è me ordre
- 2.2 Procédé naturellement instable
- 2.2.1 Procédé du premier ordre
- 2.2.2 Procédé du ni è me ordre
- 3 Identification en boucle fermée
- 3.1 Procédé naturellement stable
- 3.2 Procédé naturellement instable
- 4 Synthèse
- 5 Nomogrammes
- 6 Annexe no 1 : Démonstration de l’identification de Broïda
- 7 Annexe no 2 : Démonstration de la valeur du gain critique
Niv : TS1 CIRA Rep : §B. Ouverte Identification des procédés
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1 Introduction
L’identification consiste à associer un modèle mathématique à un procédé. Ce modèle est choisi à partir d’essais, de façon à rendre compte le plus fidèlement possible du comportement du procédé. On distingue :
— les identifications en boucle ouverte (régulateur en manuel), réalisées suite à un échelon de commande Y , — les identifications en boucle fermée (régulateur en auto), réalisées suite à un échelon de consigne W.
2 Identification en boucle ouverte
2.1 Procédé natuerellement stable
2.1.1 Procédé du premier ou second ordre
— L’identification d’un premier ordre se fait en déterminant K et τ à partir d’un essai indiciel (cf cours 1o^ ordre). — L’identification d’un second ordre se fait en déterminant K , λ et ω 0 à partir d’un essai indiciel (cf cours 2o^ ordre).
2.1.2 Procédé du ni è me^ ordre
La réponse indicielle d’un procédé du ni è me^ ordre présente une tangente non nulle au décollage de la courbe (courbe en S ). Une identification du 1o^ ordre n’est pas adaptée. On utilisera soit une identification de Broïda, soit une identification de Strejc. Identification de Broïda : modèle utilisé :
H ( p ) =
K.e − T p 1 + τ p
L’identification de Broïda permet de calculer les para- mètres T et τ du modèle à partir de deux temps carac- téristiques de la courbe. — t 1 est déterminé à 28% de la valeur finale de x ( t ) : x ( t 1 ) = 0 , 28 · ∆ X — t 2 est déterminé à 40% de la valeur finale de x ( t ) : x ( t 2 ) = 0 , 4 · ∆ X Le temps mort T et la constante de temps τ du modèle se déduisent de t 1 et t 2 grâce aux équations suivantes :
τ = 5 , 5 ( t 2 − t 1 ) ,et T = 2 , 8 t 1 − 1 , 8 t 2
Remarque : Ces formules sont applicables tant que T τ < 0 , 25
0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
Identification de Broïda
t(s)
y(t)
x(t)
Exemple :Sur l’essai indiciel précédent on peut mesurer t 1 et t 2 : t 1 = 19 s et t 2 = 22 s. On en déduit τ et T : τ = 16 , 5 s et
T = 13 , 6. On en déduit le modèle de Broïda suivant : H ( p ) = 0 , 8 .e −^13 ,^6 p 1 + 16 , 5 p
0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
1.2 Identification de Strejc
t(s)
y(t)
x(t)
Identification de Strejc sans temps mort : Modèle utilisé : H ( p ) =
K
(1 + τ p ) n Les temps caractéristiques T a et T u se déterminent à par- tir de la connaissance du point d’inflexion I de la courbe. A partir de T a et T u , un nomogramme (cf. 5) permet de calculer la valeur de n et de τ La valeur obtenue pour n à partir du nomogramme est frac- tionnaire. Pour pallier cela, on retient comme ordre du mo- dèle n ′^ l’arrondi de n , et on ajuste la valeur de la constante de temps τ à τ ′^ à l’aide de la formule n ′ τ ′^ = nτ. Compte tenu de ces remarques, la forme exacte du modèle que l’on obtient est : H ( p ) =
K
(1 + τ ′ p ) n
′ Exemple :Sur l’essai indiciel précédent on peut mesurer Tu et Ta : Tu = 12 s et Ta = 25 , 5 s. Grâce au nomogramme, on déduit n : n = 5 , 7 et τ = 4 , 5 s. On ajuste n à sa valeur entière n ′^ : n ′^ = 5 et τ ′^ = τ (^) nn ′ = 5 , 13 s , d’où le modèle de Strejc : H ( p ) = 0 , 8 (1 + 5 , 13 p )^5
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0 10 20 30 40 50 60 70 80
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1
2
3
4
5
6 Identification de Strejc
t(s)
y(t)
x(t)
Identification de Strejc intégrateur : modèle utilisé :
H ( p ) =
k p (1 + τ p ) n
Sur la réponse indicielle, on trace l’asymptote quand t → ∞, et la droite parallèle à l’asymptote qui passe par le point où est appliqué l’échelon (à t = 0 s ). On détermine alors les segments de droite [ AB ] et [ AC ]. A partir de la longueur de ces segments, un nomogramme (cf. 5) permet de déterminer la valeur de l’ordre n. La valeur de la constante de temps τ se déduit en conservant le produit nτ = T où T est le temps où l’asymptote coupe l’axe des abscisses. Remarques importantes : — n se détermine à partir de AB/AC et pas à partir de AB/BC. — On arrondira n à sa valeur entière en prenant garde de conserver le produit nτ constant. Exemple :Sur l’essai indiciel, on mesure AB et AC : AB = 1 , 2% et AC = 8 , 4% soit AB/AC = 0 , 143. Le nomogramme donne n = 7 , 8. Or, T = 26 , 5 s donc τ = 26 , 5 / 7 , 8 = 3 , 4 s. Mais pour disposer d’une valeur entière de n , on prendra n ′^ = 7 et τ ′^ = 3 , 8 s.
3 Identification en boucle fermée
Dans de nombreux cas industriels, l’identification en boucle ouverte est risquée, voire impossible pour des rai- sons de sécurité. C’est notamment le cas pour de nombreux procédés intégrateurs. Une solution consiste à réaliser l’identification en boucle fermée, le régulateur restant en automatique.
3.1 Procédé naturellement stable
0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
Recherche du Gain Statique
t(s)
w(t)
x(t)
- Le régulateur étant en mode auto, on désactive les actions intégrales et dérivées pour ne conserver que l’action proportionnelle. Le gain du réguleteur est ré- glé à une valeur A = 1.
- Un échelon est pratiqué sur la consigne W du régula- teur.
- Suite à cet essai, on détermine le gain statique du procédé avec la formule :
K =
∆ X
∆ W − ∆ X
- On augmente progressivement le gain A du régulateur jusqu’à ce que la mesure X présente des oscillations régulières de pèriode Tosc. Le gain permettant d’ob- tenir ces oscillations est appelé Ac , gain critique.
- On déduit les paramètres du modèle de Broïda à par- tir des équations :
τ =
Tosc 2 π
( K · Ac )^2 − 1
et,
T =
Tosc 2
arctan
( K · Ac )^2 − 1 π
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3.2 Procédé naturellement instable
-6 0 50 100 150
0
2
4
6
8
10
12 Modèle de Broïda intégrateur: Essai de pompage
t(s)
y(t),x(t)
Courbes obtenues pour un gain A=2,
x(t)
y(t)
- Le régulateur étant en mode auto, on désactive les actions intégrales et dérivées pour ne conserver que l’action proportionnelle. Le gain du correcteur est réglé à une valeur faible, proche de l’unité.
- Un petit échelon est pratiqué sur la consigne W du régulateur.
- On augmente progressivement le gain A du régula- teur jusqu’à ce que la mesure X présente des oscilla- tions régulières de pèriode Tosc. Le gain permettant d’obtenir ces oscillations est appelé Ac , gain critique.
- On déduit les paramètres du modèle de Broïda à partir des équations :
k =
2 π Ac · Tosc
et, T =
Tosc 4 Exemple : L’échelon de consigne ci-contre aboutit aux oscillations entretenues de X et de Y suivantes. Le gain dynamique
vaut k : k = (^26) , 5 ,^28 · 63 = 0 , 04 s −^1. Le temps mort vaut T : T = 634 = 15 , 7 s. H ( p ) = 0 , 04 · e −^15 ,^7 p p
4 Synthèse
Début Identification
Identification
1 er^ ordre
Strejc
Gain critique
stable
Broïda
Essai en BO Essai en BF
stable
ordre < 2
ordre
Identification
2 nd^ Ordre
ordre > 2
Broïda Strejc
Identification
1 er^ Ordre
ordre < 2 ordre > 2
instable
stable instable
Gain critique
instable
Début Identification
Identification
1 er^ ordre
Strejc
Gain critique
stable
Broïda
Essai en BO Essai en BF
stable
ordre < 2
ordre
Identification
2 nd^ Ordre
ordre > 2
Broïda Strejc
Identification
1 er^ Ordre
ordre < 2 ordre > 2
instable
stable instable
Gain critique
instable
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6 Annexe no^ 1 : Démonstration de l’identification de Broïda
Pour le point A : 0 , 28 = 1 − e −^
t 1 − T τ
0 , 72 = e −^
t 1 − T τ
− t 1 − T τ = Ln (0 , 72) = − 0 , 3285 t 1 = 0 , 3285 · τ + T (1)
Pour le point B :
0 , 4 = 1 − e −^
t 2 − T τ
0 , 6 = e −^
t 2 − T τ
− t 2 − T τ = Ln (0 , 6) = − 0 , 5108 t 2 = 0 , 5108 · τ + T (2)
Détermination de τ 2 − 1 ⇒ t 2 − t 1 = 0 , 1823 · τ Soit τ = 5 , 485( t 2 − t 1 ) ≈ 5 , 5( t 2 − t 1 ) (3)
Détermination de T 3dans 3 ⇒ t 2 = 0 , 5108(5 , 485( t 2 − t 1 )) + T ⇒ t 2 = 2 , 801 · t 2 − 2 , 801 · t 1 + T Soit T = 2 , 8 · t 1 − 1 , 8 · t 2 (4)
7 Annexe no^ 2 : Démonstration de la valeur du gain critique
Au point ou apparaîssent les oscillations entretenus, dit pompage limite, le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) vaut 1 et sa phase vaut − π. Si le gain critique entraînant le pompage vaut Ac et que la fonction de transfert du procédé
intégrateur vaut H ( p ) = k · e − T p p , alors
Ac · k ωc = 1 ,donc k = ωc Ac , avec
ωc = 2 π Tosc , donc
k = 2 π Tosc · Ac , d’autre part, − T ωc − π 2 = − π ,donc T = π 2 ωc , avec
ωc = 2 π Tosc , donc
T = Tosc 4
