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les nombres premiers, Exercises of Mathematics

Mathematics

fiche d'exercices sur les nombres premiers

Typology: Exercises

2023/2024

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derni`
ere impression le 20 mai 2014 Ă  14:16
RĂ©vision du 20 mai 2014 :
pgcd - Bezout - Gauss
Exercice 1
Soit nun entier relatif supérieur ou égal à 2.
On pose a=n+3 et b=2n+1
a) Calculer (2a−b), en dĂ©duire les valeurs possibles de d=PGCD(a;b)
b) Montrer que PGCD(a;b)=PGCD(n−2; 5).
c) DĂ©montrer que aet bsont multiples de 5 si et seulement si (n−2) est multiple de 5.
Exercice 2
Vrai - Faux
Pour chacune des 4 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner
une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun
point.
Proposition 1 : Pour tout entier naturel nnon nul, net 2n+1 sont premiers entre eux.
Proposition 2 : L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x,y) solutions de l’équation
12x−5y=3 est l’ensemble des couples de la forme (4 +10k; 9 +24k) oĂč k∈Z.
Proposition 3 : Si un entier naturel nest congru Ă  1 modulo 7 alors le PGCD de 3n+4
et 4n+3 est Ă©gal Ă  7.
Proposition 4 : S’il existe deux entiers relatifs uet vtel que au +bv =2 alors le PGCD
de aet best Ă©gal Ă  2.
Proposition 5 : Soit l’équation (E) : x2−52x+480 =0. Il existe deux entiers naturels
non nuls dont le pgcd et le ppcm sont solution de (E).
Exercice 3
1) Dans cette question xet ydésignent des entiers relatifs.
a) Montrer que l’équation (E) n’a pas de solution.
(E) 65x−40y=1
b) Montrer que l’équation (Eâ€Č) admet au moins une solution.
(Eâ€Č) 17x−40y=1
c) DĂ©terminer Ă  l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution
de l’équation (Eâ€Č).
d) RĂ©soudre l’équation (Eâ€Č).
En dĂ©duire qu’il existe un unique naturel x0infĂ©rieur Ă  40 tel que
17x0≡1 [40].
paul milan 1 Terminale SspÂŽ
e
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derni`ere impression le 20 mai 2014 Ă  14:

RĂ©vision du 20 mai 2014 :

pgcd - Bezout - Gauss

E xercice 1

Soit n un entier relatif supérieur ou égal à 2. On pose a = n + 3 et b = 2 n + 1

a) Calculer (2 a − b ), en dĂ©duire les valeurs possibles de d = PGCD ( a ; b ) b) Montrer que PGCD ( a ; b ) = PGCD ( n − 2; 5). c) DĂ©montrer que a et b sont multiples de 5 si et seulement si ( n − 2) est multiple de 5.

E xercice 2

Vrai - Faux Pour chacune des 4 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une dĂ©monstration de la rĂ©ponse choisie. Une rĂ©ponse non dĂ©montrĂ©e ne rapporte aucun point. Proposition 1 : Pour tout entier naturel n non nul, n et 2 n + 1 sont premiers entre eux. Proposition 2 : L’ensemble des couples d’entiers relatifs ( x , y ) solutions de l’équation 12 x − 5 y = 3 est l’ensemble des couples de la forme (4 + 10 k ; 9 + 24 k ) oĂč k ∈ Z. Proposition 3 : Si un entier naturel n est congru Ă  1 modulo 7 alors le PGCD de 3 n + 4 et 4 n + 3 est Ă©gal Ă  7. Proposition 4 : S’il existe deux entiers relatifs u et v tel que au + bv = 2 alors le PGCD de a et b est Ă©gal Ă  2. Proposition 5 : Soit l’équation (E) : x^2 − 52 x + 480 = 0. Il existe deux entiers naturels non nuls dont le pgcd et le ppcm sont solution de (E).

E xercice 3

  1. Dans cette question x et y dĂ©signent des entiers relatifs. a) Montrer que l’équation ( E ) n’a pas de solution. ( E ) 65 x − 40 y = 1 b) Montrer que l’équation ( E â€Č) admet au moins une solution. ( E â€Č) 17 x − 40 y = 1 c) DĂ©terminer Ă  l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de l’équation ( E â€Č). d) RĂ©soudre l’équation ( E â€Č). En dĂ©duire qu’il existe un unique naturel x 0 infĂ©rieur Ă  40 tel que 17 x 0 ≡ 1 [40].

paul milan 1 Terminale S spÂŽe

exercices

  1. Pour tout entier naturel a , dĂ©montrer que si a^17 ≡ b [55] et si a^40 ≡ 1 [55], alors b^33 ≡ a [55].

E xercice 4

  1. Soit a et b deux entiers naturels dont la somme et le produit ont pour pgcd le carrĂ© d’un nombre premier p. a) Montrer que p^2 divise a^2 (on pourra remarquer que a^2 = a ( a + b ) − ab ). En dĂ©duire que p divise a. Montrer que p divise b. b) DĂ©montrer que le pgcd de a et b est soit p soit p^2.
  2. On cherche à déterminer les entiers naturels a et b tels que : pgcd( a + b ; ab ) = 49 et ppcm( a ; b ) = 231 a) Soit a et b deux entiers. Montrer que leur pgcd est 7. b) Quelles sont les solutions du problÚme posé.

E xercice 5

DĂ©terminer tous les couples ( x ; y ) d’entiers naturels tels que :

{ (^) x + y = 27 ppcm( x ; y ) = 60

paul milan 2 T erminale S sp ÂŽ e