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TRAVAUX DIRIGÉS DE S 4
Exercice 1 : Constructions de Fresnel En utilisant une construction de Fresnel si nécessaire, calculer l’amplitude Sm du signal sinusoïdal s ( t ) = s 1 ( t ) + s 2 ( t ) avec s 1 ( t ) = S 1 cos( ωt ) et s 2 ( t ) = S 2 cos( ωt + ϕ ) dans les cas suivants :
- S 1 = 2 S 2 = 10 et ϕ = 0
- S 1 = 2 S 2 = 10 et ϕ = π
- S 1 = S 2 = 10 et ϕ = π 2
- S 1 = 2 S 2 = 10 et ϕ = − π 3
On représente chaque grandeur sinusoïdale s 1 ( t ) = S 1 cos( ωt + 0) et s 2 ( t ) = S 2 cos( ωt + ϕ ) par un vecteur de Fresnel associé à l’instant t = 0. Ainsi le vecteur
- S~ 1 fait un angle nul avec l’axe de référence des phases horizontal et a la norme S 1
- S~ 2 fait un angle ϕ avec l’axe de référence des phases horizontal et a la norme S 2 On trace le vecteur S~ = S~ 1 + S~ 2 et il ne reste plus qu’à mesurer ou à calculer sa norme, Sm. On pourrait aussi déterminer la phase à l’origine de s ( t ) puisqu’il s’agit de l’angle que fait ce vecteur fait avec l’axe de référence.
- S 1 = 2 S 2 = 10 et ϕ = 0.
S^ ~ 2 S^ ~ 1 ~
S
Signaux en phase S = S 1 + S 2 = 15.
- S 1 = 2 S 2 = 10 et ϕ = π
S^ ~ 2 ~ S ~ 1
S
Signaux en opposition de phase S = | S 1 − S 2 | = 5.
- S 1 = S 2 = 10 et ϕ = π 2
S^ ~ 1
S^ ~ 2
π 4
S^ ~
S^ ~ 1
S ~
2
− π 3
S^ ~
J
I
Signaux en quadrature sin π 4 = (^10) S ⇒ S ≃ 14 (ci-dessus à gauche).
- S 1 = 2 S 2 = 10 et ϕ = − π 3 , figure ci-dessus à droite. On peut mesurer directement S ou calculer S =
OI^2 + OH^2 avec OI = S 2 sin π 3 ≃ 4 , 33 et OH = S 1 + S 2 cos π 3 = 10 + 2 , 5 = 12 , 5 soit finalement Sm ≃ 13 , 2.
b
Exercice 2 : Mesure d’un déphasage à l’oscilloscope À l’aide d’un oscilloscope, on acquiert les signaux suivants :
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
1
2
v ( t ) (V)
t (ms)
v 1 v 2
Mesurez graphiquement
- L’amplitude, la valeur moyenne, la période et la fréquence de chaque signal. Ces signaux sont-ils synchrones?
- v 2 est-il en avance ou en retard par rapport à v 1? Quel est le décalage temporel? En déduire la phase de v 2 par rapport à v 1.
- Quelle est la phase à l’origine de chacun de ces deux signaux? (On considérera un signal de la forme A sin( ωt + ϕ ))
- pour v 1 : le signal monte est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, il est donc de valeur moyenne nulle. On lit graphiquement V 1 ,max ≃ 1 , 3 V donc l’amplitude est 1,3 V (ne pas oublier l’unité). Pour la période, on remarque que le signal coupe v = 1 V en descendant à -6,-3,0,3... ms. La période est donc 3,0 ms (attention à l’unité) et la fréquence de 3 , 3_._ 102 Hz (attention au nombre de chiffres significatifs). pour v 2 , Vmax = 1 V et Vmin = − 0 , 6 V. Le signal étant sinusoÏdal, on peut faire simplement la valeur moyenne de ces deux valeurs pour avoir la valeur moyenne du signal et il n’est pas nécessaire de calculer l’intégrale, d’où vof f set = 0 , 2 V et l’amplitude est Vpp/ 2 = 0 , 8 V. La fréquence et la période sont les mêmes (par exemple coupe v = 0 , 8 V en descendant toutes les 3 s). La fréquence étant la même, les signaux sont synchrones.
- v 2 atteint son maximum avant v 1 , il est donc en avance. Pour le décalage temporel, il vaut mieux regarder le moment où le signal coupe sa valeur moyenne plutôt que le maximum pour les incertitudes. Par exemple en -1,1 ms pour v 1 et en -2,1 ms pour v 2 (attention 〈 v 2 〉 6 = 0 , on a donc un décalage de 1 ms. Par une règle de trois, on a donc | φ 2 / 1 | ≃ 23 π ≃ 120 ° ( chiffres significatifs même si l’écriture laisse ici un doute sur le 3e) Il reste à trouver LE SIGNE du déphasage : ici, on est en avance donc le déphasage est positif (regarder par exemple cos( x ) et cos( x +0 , 1), cos( x +0_._ 1) atteint son maximum lorsque x + 0 , 1 = 0 donc x = − 0 , 1 , il est donc en avance et son déphasage est positif) φ 2 / 1 = + ≃ 23 π
- Dans le cas où le véhicule est immobile à une distance d du radar, l’onde reçue et l’onde émise ont-elles même fréquence? Quel est leur déphasage au niveau de l’émetteur? Préci- ser la nature de l’onde résultante dans l’espace séparant le radar du véhicule cible.
- Le véhicule se déplace désormais à vitesse constante, notée V , en s’éloignant de l’émme- teur. Quelle est l’évolution du déphasage? montrer que l’onde réfléchie n’a plus la même fréquence que l’onde émise.
- La fréquence d’émission est de l’ordre de ν = 2_._ 1010 Hz, en déduire l’ordre de grandeur de la différence de fréquence ∆ ν pour un véhicule respectant les limitations de vitesse.
- Quel phénomène apparait sur l’onde résultante entre l’émetteur et le récepteur?
- La différence ∆ ν étant très faible par rapport à ν , on ne peut pas mesurer directement la fréquence reçue pour en déduire la vitesse. Combien de chiffres significatifs seraient néces- saire pour mesurer ν avec une précision suffisante pour verbaliser le conducteur lorsqu’il dépasse de 5 km/h la vitesse autorisée?
- Pour mesurer ∆ ν précisément malgré les variations éventuelles de ν , on se propose de réaliser la multiplication entre le signal reçu et le signal émis (en supposant qu’ils ont été traités pour avoir la même amplitude). On applique ensuite un filtre passe bas de fréquence de coupure 104 Hz, c’est-à-dire un dispositif qui élimine les fréquences au delà de 104 Hz et laisse invariante les fréquence en deçà de 104 Hz, quel est le signal résultant? Ce signal est-il sensible au variation éventuelle de ν?
- à la vitesse de la lumière, qui est presque la même dans l’air est dans le vide, soit c ≃ 3_._ 108 m/s
- le véhicule étant immobile et le déphasage n’étant du qu’à la propagation d’après l’énoncé, le déphasage est constant, et donc la fréquence est la même (cf la question suivante). En écrivant le signal sous la forme A cos( ωt − kx ), le déphasage du à la propagation est ϕ = − k × 2 d = −^2 πν c × 2 d. On a une onde stationnaire entre les deux objets
- On remplace cette fois d par d ( t ) = d 0 + vt Le déphasage varie donc au cours du temps, ce qui revient à avoir une fréquence reçue différentes. En effet, le signal reçu est : s ( t ) = A cos( ωt + ϕ ( t )) = A cos( ωt − 2 k ( d 0 + vt )) = A cos(( ω − 2 kv ) t − 2 kd 0 ), la fréquence reçue est donc ω − 22 πkv = ν (1 − 2 v/c ) car k = ω/c
- La différence de fréquence ∆ ν est donc ∆ ν = f (− 2 v/c ) Si on considère un véhicule à 130 km/h=36 m/s, alors on trouve ∆ ν = 4 , 8_._ 103 Hz
- On a donc un phénomène de battements
- Si l’on considère un conducteur à 135 km/h=37,5 m/s 5000-4800=200 Hz il faut donc être capable de mesurer 2_._ 1010 ± 2_._ 102 Hz soit 9 chiffres significatifs! (et pas 8, prendre un exemple avec une différence moins grande entre les ordres de grandeurs pour s’en convaincre)
- On a donc cos νt cos(( ν + ∆ ν ) t + ϕ 0 ) On utilise la formule avec les produits de cosinus : cos a cos b = 12 (cos( a − b ) + cos( a + b )) donc le signal après multiplication est :
1 2
(cos(∆ νt + ϕ 0 ) + cos((2 ν + ∆ ν ) t + ϕ 0 ))
Le deuxième cosinus est éliminé par le filtre et il reste simplement à mesurer ∆ ν comme étant la fréquence du signal restant. Cette méthode s’appelle détection synchrone (mais je ne garantis pas que ça soit exactement celle là qui est employée pour les radars)
Exercice 5 : Interférence ultrasonores
b
b
O
E 1
E 2
x
×
M
R
θ
Une expérience d’interférences d’ondes ultra-sonores est réa- lisée en plaçant deux émetteurs E 1 et E 2 cote à cote relié à un même générateur. La fréquence d’émission est égale à 40 kHz, ce qui correspond à une longueur d’onde λ = 8 , 5 mm. A part à la question 3, les sources émettent des ondes en phase.
On note O le point milieu du segment délimité par les émet- teurs distants de a = 4 cm, et Ox l’axe situé sur la médiatrice de ce segment.
On déplace le microphone sur un grand cercle de rayon R = 0 , 5 m et on relève l’évolution de
l’amplitue mesurée en fonction de l’angle θ que fait la direction
OM avec l’axe x.
- Distance interfrange (a) Faire une figure pour un angle θ faible mais non nul. Rajouter sur la figure l’arc de cercle de centre M passant par E 2 , on note H son intersection avec la droite ( E 1 M ). Que représente E 1 H? (b) Montrer que les distances E 1 M et E 2 M peuvent s’écrire :
E 1 M = R
√ 1 −
a sin θ R
a^2 4 R^2
E 2 M = R
√ 1 +
a sin θ R
a^2 4 R^2 (c) On admet la formule suivante : si ǫ ≪ 1 , alors
1 + ǫ ≃ 1 + 12 ǫ (On pourra essayer avec quelques valeurs à la calculatrice). On se place dans le cas où a ≪ R , montrez que E 1 H ≃ a sin θ puis en déduire le déphasage entre les ondes reçues en M en fonction de θ,a,λ. (d) Quelles sont, dans l’intervalle [− 30 ° , 30 °], les valeurs de θ où on observe un maximum d’amplitude résultante?
- Minima d’amplitude (a) Sur l’intervalle d’étude précédent, quelles sont les positions où un minimum d’ampli- tude est attendu? (b) Si les ondes reçues ont même amplitude, quelle valeur d’amplitude minimale est pré- vue par la théorie? (c) Quels défauts peuvent expliquer un écart entre prévision et observation?
- Inversion de phase Le dispositif permet d’inverser le signal émis par l’un des émetteurs (ce qui revient à le déphaser de π ). (a) Quel est l’état d’interférence sur l’axe Ox? (b) Quelles sont les positions des nouveaux points de maximum et de minimum d’ampli- tude? (c) Qu’advient-il si l’on inverse également l’autre signal?
Un étudiant patient compte le nombre de fois où le signal coupe l’axe des abscisses sur le gra- phique ci-dessus et trouve 120. Quelles sont les fréquences des signaux originaux? Leur ampli- tude? Tracer le spectre en amplitude de v.
Attention au facteur 2 : un cosinus coupe l’axe des abscisse 2 fois par période. La pseudo période est donc 12 , 0 / 60 = 0 , 200 μ s et la fréquence moyenne est donc f = 5 , 00 MHz. On mesure 5 , 0 μ s pour la période des battements, d’où f 2 − f 1 = 0 , 20 MHz. Les deux fréquences sont donc f 2 = 5 , 10 MHz et f 1 = 4 , 9 MHz. Pour les amplitudes, il est bon d’avoir la représentation de Fresnel en tête. L’amplitude maximale est atteinte lorsque les deux signaux sont en phases et faut A + A ′^ et elle est minimale lorsqu’ils sont en opposition de phase et vaut | A − A ′|. On ne peut pas déterminer quelle amplitude correspond à quelle fréquence mais ici la valeur maximale est 1,6 V et la valeur minimale est 0,6 V donc on a 1,1 V et 0,5 V. Le spectre contient deux pics, d’amplitude différente (facteur presque 2 entre les 2) centré autour de 5 MHz et proche l’un de l’autre. On ne sait pas si c’est celui de « gauche » le plus grand ou celui de « droite » donc les deux représentations sont possibles.
b
Exercice 7 : Contrôle actif du bruit en conduite On s’intéresse à un système conçu pour l’élimination d’un bruit indésirable transporté par une conduite. Le bruit est détecté par un premier micro dont le signal est reçu par un contrô- leur électronique. Le contrôleur, qui est le centre du système, envoie sur un haut- parleur la tension adéquate pour générer une onde de signal exactement opposé à celui du bruit de ma- nière à ce que l’onde résultante au point A (voir figure) et en aval de A soit nulle.
- Exprimer, en fonction de L , l et la célérité c du son, le temps disponible pour le calcul du signal envoyé sur le haut-parleur.
- On suppose le bruit sinusoïdal de pulsation ω. On appelle ϕ 1 la phase initiale du signal détecté par le micro 1 et ϕHP la phase initiale du signal émis par le haut-parleur. Exprimer, en fonction de ω , c , L et l , la valeur que doit avoir ∆ ϕ = ϕHP − ϕ 1.
- L’onde émise par le haut-parleur se propage dans la conduite dans les deux sens à partir de A. Expliquer l’utilité du micro 2.
- L’onde reçue par le micro 1 met un temps L/c à se propager jusqu’en A , toutefois il faut que le son émis par le HP soit émis avant puisqu’il doit parcourir une distance l. Cela lui prend un temps l/c , d’où le temps disponible ( L − l ) /c
- en A , les deux ondes doivent être déphasées de π. au niveau de l’onde incidente en A : sb = s 0 cos( ωt − kL + φ 1 ) au niveau de l’onde créée en A : sb = s 0 cos( ωt − kl + φHP ) d’où (− kl + φHP ) − (− kL + φ 1 ) = ± π d’où φHP − φ 1 = k ( l − L ) ± π = ω c ( l − L ) ± π
- L’onde mesurée par le micro 1 est en fait le bruit i+ l’onde émise par le HP. Le 2e micro doit permettre en mesurant le résultat du contrôle actif d’améliorer la réduction de bruit via une rétroaction.
Exercice 8 : Trombone de Koenig Un trombone de Koenig (figure ci-dessous) est destiné à mesurer la célérité du son dans l’air. Le tube T 2 peut coulisser par rapport au tube T 1 fixe.
On crée un son de fréquence 1500 Hz à l’aide d’un haut-parleur et on récupère un signal à l’aide d’un micro.
- Lorsqu’on fait varier la longueur du trombone, on observe des variations de l’amplitude du signal reçu au niveau du micro : expliquer pourquoi.
