Download Mathématiques pour architechte and more Exercises Design in PDF only on Docsity!
La modélisation de l’espace réel, considéré dans le cadre de la mécanique classique comme étant à trois dimensions, homogène et isotrope suppose l’introduction d’outils mathématiques tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous présenterons les rappels et l’ensemble des opérations mathématiques sur les vecteurs.
1. Définition - Un scalaire correspond à une valeur numérique que caractérise une quantité physique quelle conque. Ex : pour connaitre la température d’un corps il suffi de lire en [°C] la valeur affichée par un thermomètre posé sur ce dernier. - Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrémité A ; il est défini par : - son origine ;
- sa direction ;
- son sens ;
- son module.
Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : 𝑉𝑉�⃗^ ou 𝑂𝑂𝑂𝑂�����⃗
2. Classification des vecteurs Il existe plusieurs types de vecteurs :
- Vecteur libre : la direction, le sens et le module sont donnés mais la droite support et le point d’application (origine du vecteur) ne sont pas connues ;
- Vecteur glissant : le point d’application (origine du vecteur) n’est pas fixé ;
- Vecteur lié : tous les éléments du vecteur sont déterminés ;
- Vecteur unitaire : c’est un vecteur dont le module est égal à 1. 3. Composantes d’un vecteur Considérons une base de l’espace R^3 notée : R 0 = (O, 𝑒𝑒���⃗ 1 , 𝑒𝑒���⃗ 2 , 𝑒𝑒���⃗ 3 ). Cette base est orthonormée si :
𝑒𝑒��⃗𝚤𝚤. 𝑒𝑒��⃗𝚥𝚥 = �
La base R 0 est dite directe si un observateur se plaçant à l’extrémité du vecteur 𝑒𝑒���� 3 ⃗ verra le vecteur 𝑒𝑒���⃗ 1 tourner vers le vecteur 𝑒𝑒���⃗ 2 dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Dans cette base un vecteur 𝑉𝑉�⃗^ de composantes (x,y,z) ∈ R 3 s’écrirait :
𝑉𝑉�⃗^ = 𝑥𝑥. 𝑒𝑒���⃗ 1 + 𝑦𝑦. 𝑒𝑒���⃗ 2 + 𝑧𝑧. 𝑒𝑒���⃗ 3
Les quantités réelles x, y, z sont appelées composantes du vecteur ���⃗𝑉𝑉^ dans la base R 3.
La notation adoptée est la suivante : ���⃗𝑉𝑉^ = �
4. Loi de composition interne : Somme vectorielle
La somme de deux vecteurs 𝑉𝑉���⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝑉𝑉���⃗ 2 est un vecteur 𝑊𝑊���⃗^ tel que :
∀ 𝑉𝑉���⃗ 1 , 𝑉𝑉���⃗ ∈ 2 R 3 nous avons 𝑊𝑊���⃗^ = 𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑉𝑉���⃗ ∈ 2 R 3
Soit (a 1 , a 2 , a 3 ) les composantes du vecteur 𝑉𝑉���⃗ 1 d’où : 𝑉𝑉���⃗ 1 = 𝑎𝑎 1. 𝑒𝑒���⃗ 1 + 𝑎𝑎 2. 𝑒𝑒���⃗ 2 + 𝑎𝑎 3. 𝑒𝑒���⃗ 3 et
(b 1 , b2 , b 3 ) les composantes du vecteur 𝑉𝑉���⃗ 2 d’où : 𝑉𝑉���⃗ 2 = 𝑏𝑏 1. 𝑒𝑒���⃗ 1 + 𝑏𝑏 2. 𝑒𝑒���⃗ 2 + 𝑏𝑏 3. 𝑒𝑒���⃗ 3 Le vecteur somme est défini par la relation :
𝑊𝑊���⃗^ = 𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑉𝑉���⃗ 2 = (𝑎𝑎 1 + 𝑏𝑏 1 ). 𝑒𝑒���⃗ 1 + (𝑎𝑎 2 + 𝑏𝑏 2 ). 𝑒𝑒���⃗ 2 + (𝑎𝑎 3 + 𝑏𝑏 3 ). 𝑒𝑒���⃗ 3
L’élément neutre ou vecteur nul, est noté : 0 �⃗^ = (0,0,0)
4.1 Propriétés de la somme vectorielle
- la somme vectorielle est commutative : 𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑉𝑉���⃗ 2 = 𝑉𝑉���⃗ 2 + 𝑉𝑉���⃗ 1
- la somme vectorielle est associative : �𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑉𝑉���⃗ � 2 + 𝑉𝑉���⃗ 3 = 𝑉𝑉^ ��� 1 ⃗^ + (𝑉𝑉^ ��� 2 ⃗^ + 𝑉𝑉���⃗ 3 )
- l’élément neutre est défini par : 𝑉𝑉�⃗^ + 0�⃗^ = 𝑉𝑉�⃗
- A tout vecteur 𝑉𝑉�⃗^ correspond un vecteur opposé noté − 𝑉𝑉��⃗^ tel que : 𝑉𝑉�⃗^ + �−𝑉𝑉�⃗ � = 0�⃗
4.2 Multiplication par un scalaire
Si 𝜆𝜆 est un nombre réel et 𝑉𝑉��⃗^ un vecteur, leur produit est un vecteur.
∀𝝀𝝀 ∈ 𝑹𝑹, ∀ 𝑽𝑽��⃗ ∈ 𝑹𝑹 𝟑𝟑^ ⇒ 𝝀𝝀. 𝑽𝑽��⃗^ = 𝑾𝑾�����⃗^ ∈ 𝑹𝑹 𝟑𝟑
Le vecteur �����⃗𝑊𝑊^ est colinéaire au vecteur 𝑉𝑉�⃗^.
Si le vecteur ��𝑉𝑉��⃗^ a pour composantes (a, b, c) tel que : 𝑉𝑉�⃗^ = 𝑎𝑎 1. 𝑒𝑒���� 1 ⃗ + 𝑎𝑎 2. 𝑒𝑒���� 2 ⃗ + 𝑎𝑎 3. 𝑒𝑒���� 3 ⃗ ; le
vecteur �����⃗𝑊𝑊^ s’écrirait : 𝑊𝑊���⃗^ = 𝜆𝜆. 𝑎𝑎 1. 𝑒𝑒���⃗ 1 + 𝜆𝜆. 𝑎𝑎 2. 𝑒𝑒���⃗ 2 + 𝜆𝜆. 𝑎𝑎 3. 𝑒𝑒���⃗ 3 La multiplication d’un vecteur par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :
a) Distribution par rapport à l’addition des scalaires : (𝜆𝜆 1 + 𝜆𝜆 2 ). 𝑉𝑉�⃗^ = 𝜆𝜆 1. 𝑉𝑉�⃗^ + 𝜆𝜆 2. 𝑉𝑉�⃗
b) Distribution par rapport à la somme vectorielle : 𝜆𝜆. �𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑉𝑉���⃗ � 2 = 𝜆𝜆. 𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝜆𝜆. 𝑉𝑉���⃗ 2
c ) Associativité pour la multiplication par un scalaire : 𝜆𝜆 1. ( 𝜆𝜆 2. 𝑉𝑉�⃗^ ) = 𝜆𝜆 1. 𝜆𝜆 2. 𝑉𝑉�⃗
5. Combinaison linéaire des vecteurs
Soit les n vecteurs :𝑉𝑉���⃗ 1 , 𝑉𝑉���⃗ 2 , 𝑉𝑉���⃗ 3 , 𝑉𝑉���⃗ 4 … … … … … 𝑉𝑉��⃗𝚤𝚤^ … … … …. 𝑉𝑉���⃗𝑛𝑛^ de l’espace R^3 et 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 2 , 𝜆𝜆 3 , … … … … … .. des nombres réels.
Les vecteurs 𝜆𝜆 1. 𝑉𝑉^ ���� 1 ⃗^ , 𝜆𝜆 2. 𝑉𝑉���⃗ 2 , 𝜆𝜆 3. 𝑉𝑉���⃗ 3 , 𝜆𝜆 4. 𝑉𝑉���⃗ 4 … … … … … 𝜆𝜆𝑆𝑆. 𝑉𝑉��⃗𝚤𝚤^ … … … …. 𝜆𝜆 (^) 𝑛𝑛. 𝑉𝑉���⃗𝑛𝑛^ sont aussi
des vecteurs de l’espace R^3 ainsi que leur somme 𝑊𝑊���⃗^ défini par :
𝑊𝑊���⃗^ = 𝜆𝜆 1. 𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝜆𝜆 2. 𝑉𝑉���⃗ 2 + 𝜆𝜆 3. 𝑉𝑉���⃗ 3 + 𝜆𝜆 4. 𝑉𝑉���⃗ 4 … … … + ⋯ 𝜆𝜆𝑆𝑆. 𝑉𝑉��⃗𝚤𝚤^ … … + ⋯ 𝜆𝜆 (^) 𝑛𝑛. 𝑉𝑉���⃗𝑛𝑛^ = ∑ 𝑛𝑛 𝑆𝑆 𝜆𝜆𝑆𝑆. 𝑉𝑉^ ���⃗𝑆𝑆
Le vecteur 𝑊𝑊���⃗^ est appelé combinaison linéaire des vecteurs : 𝑉𝑉���⃗ 1 , 𝑉𝑉���⃗ 2 , 𝑉𝑉���⃗ 3 … … …. 𝑉𝑉���⃗𝑛𝑛
5.1. Dépendance et indépendance linéaire entre les vecteurs 5.1.1. Définition
On dit que les n vecteurs : 𝑉𝑉���⃗ 1 , 𝑉𝑉���⃗ 2 , 𝑉𝑉���⃗ 3 … … …. 𝑉𝑉���⃗𝑛𝑛^ de l’espace R 3 sont linéairement
indépendant si et seulement si, ils vérifient la relation suivante : ∑ 𝑛𝑛𝑖𝑖 𝜆𝜆 (^) 𝑖𝑖. 𝑉𝑉��⃗𝚤𝚤^ = 0���⃗^ entraîne que tous les 𝜆𝜆 (^) 𝑖𝑖 sont nuls. ∑ 𝑛𝑛𝑖𝑖 𝜆𝜆 (^) 𝑖𝑖. 𝑉𝑉��⃗𝚤𝚤^ = 𝜆𝜆 1. 𝑉𝑉^ ���� 1 ⃗^ + 𝜆𝜆 2. 𝑉𝑉���⃗ 2 + 𝜆𝜆 3. 𝑉𝑉���⃗ 3 + … … + 𝜆𝜆 (^) 𝑛𝑛. 𝑉𝑉���⃗𝑛𝑛^ = 0 �⃗^ ⟺ 𝜆𝜆 1 = 0, 𝜆𝜆 2 = 0, 𝜆𝜆 3 = 0 … … … … 𝜆𝜆 (^) 𝑛𝑛 = 0 Si les 𝜆𝜆 (^) 𝑖𝑖 ne sont pas tous nuls on dit que les vecteurs sont linéairement dépendant entre eux.
6. Produit scalaire de deux vecteurs On appelle produit scalaire de deux vecteurs 𝑉𝑉���⃗ 1 et 𝑉𝑉���⃗ 2 une loi de composition externe
qui associe aux deux vecteurs, un scalaire (nombre réel) noté : 𝑉𝑉^ ��� 1 �⃗^. 𝑉𝑉���⃗ 2 tel que :
∀ ��𝑉𝑉��� 1 ⃗^ et 𝑉𝑉���⃗ 2 ∈ 𝑅𝑅^3 ⇒ ����⃗𝑉𝑉 1. 𝑉𝑉���⃗ 2 ∈ 𝑅𝑅 ����⃗ 𝑉𝑉 1. 𝑉𝑉���⃗ 2 = �𝑉𝑉���⃗ � 1. �𝑉𝑉���⃗ � 2. cos( 𝑉𝑉 ���� 1 �⃗ (^) , 𝑉𝑉���⃗ 2 ) ; le résultat d’un produit scalaire est un scalaire.
Le produit scalaire est nul, si :
- Les deux vecteurs sont orthogonaux ;
- L’un des vecteurs est nul.
7.1. Propriétés du produit vectoriel
a) Le module du produit vectoriel est égal à l’aire du parallélogramme formé par ����⃗𝑉𝑉 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑉𝑉���⃗ 2
b) Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme vectorielle :
(𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑉𝑉���⃗ 2 )⋀𝑊𝑊���⃗^ = 𝑉𝑉���⃗ 1 ⋀𝑊𝑊���⃗^ + 𝑉𝑉���⃗ 2 ⋀ 𝑊𝑊���⃗
𝑊𝑊���⃗ ⋀(𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑉𝑉���⃗ 2 ) = 𝑊𝑊���⃗^ ⋀𝑉𝑉���⃗ 1 + 𝑊𝑊���⃗^ ⋀ 𝑉𝑉���⃗ 2 c) Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un nombre réel : (𝝀𝝀. 𝑽𝑽��⃗^ ) ∧ 𝑊𝑊���⃗^ = 𝝀𝝀. (𝑽𝑽��⃗ ∧ 𝑊𝑊���⃗^ ) 𝑽𝑽��⃗^ ∧ (𝜆𝜆. 𝑊𝑊���⃗^ )= 𝝀𝝀. (𝑽𝑽��⃗ ∧ 𝑊𝑊���⃗^ ) d) Le produit vectoriel est antisymétrique (anticommutatif) ����⃗ 𝑉𝑉 1 ⋀ �����⃗𝑉𝑉 2 = − �����⃗𝑉𝑉 2 ⋀ 𝑉𝑉���⃗ 1 Si on applique cette propriété au produit vectoriel d’un même vecteur, nous aurons :
�𝑉𝑉�⃗^ ⋀𝑉𝑉�⃗ � = −�𝑉𝑉�⃗^ ⋀ 𝑉𝑉�⃗ � = 0�⃗
On déduit à partir de cette propriété que : deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.
Si ����⃗𝑉𝑉 1 ∥ 𝑉𝑉���⃗ 2 alors ����⃗𝑉𝑉 1 ⋀ �����⃗𝑉𝑉 2 = 0�⃗
En effet ����⃗𝑉𝑉 1 ∥ 𝑉𝑉���⃗ 2 si on peut écrire : ����⃗𝑉𝑉 1 = 𝜆𝜆. �����⃗𝑉𝑉 2 ⇒ ����⃗𝑉𝑉 1 ⋀ �����⃗𝑉𝑉 2 = 𝜆𝜆. ( ����⃗𝑉𝑉 1 ⋀ �����⃗𝑉𝑉 2 ) = 0 �⃗
7.2. Produit vectoriel des vecteurs unitaires d’une base orthonormée Si 𝑏𝑏 = ( 𝑒𝑒���⃗ 1 , 𝑒𝑒���⃗ 2 , 𝑒𝑒���⃗ 3 ) est orthonormée nous avons : Sens direct : 𝑒𝑒���⃗ 1 ⋀ 𝑒𝑒���⃗ 2 = 𝑒𝑒���⃗ 3 , 𝑒𝑒���⃗ 2 ⋀𝑒𝑒���⃗ 3 = 𝑒𝑒���⃗ 1 , 𝑒𝑒���⃗ 3 ⋀ 𝑒𝑒���⃗ 1 = 𝑒𝑒���⃗ 2 Sens opposé : 𝑒𝑒���⃗ 2 ⋀ 𝑒𝑒���⃗ 1 = − 𝑒𝑒���⃗ 3 , 𝑒𝑒���⃗ 3 ⋀𝑒𝑒���⃗ 2 = − 𝑒𝑒���⃗ 1 , 𝑒𝑒���⃗ 1 ⋀ 𝑒𝑒���⃗ 3 = − 𝑒𝑒���⃗ 2
7.3. Produit mixte
On appelle produit mixte de trois vecteurs ����⃗𝑉𝑉 1 , 𝑉𝑉���⃗ 2 , �����⃗𝑉𝑉 3 pris dans cet ordre, le nombre
réel défini par : ����⃗𝑉𝑉 1. ( 𝑉𝑉���⃗ ⋀ 2 �����⃗𝑉𝑉 3 ). Le produit mixte est donc un scalaire égal au volume du parallélépipède formé par les trois vecteurs. Le produit mixte est nul, si :
- les trois vecteurs sont dans le même plan ;
- deux des vecteurs sont colinéaires ;
- l’un des vecteurs, est nul. 7.4. Double produit vectoriel
Le double produit vectoriel de trois vecteurs respectifs ����⃗𝑉𝑉 1 , 𝑉𝑉���⃗ 2 , �����⃗𝑉𝑉 3 est un vecteur
𝑊𝑊���⃗^ exprimé par la relation : 𝑊𝑊���⃗^ = ����⃗𝑉𝑉 1 ⋀� 𝑉𝑉���⃗ ⋀ 2 �����⃗ �𝑉𝑉 3. Le vecteur 𝑊𝑊���⃗^ est perpendiculaire au
vecteur ����⃗𝑉𝑉 1 et au vecteur formé par le produit : 𝑉𝑉���⃗ 2 ⋀ �����⃗𝑉𝑉 3 , il est donc dans le plan formé
par les vecteurs𝑉𝑉���⃗ 2 𝑒𝑒𝑒𝑒 �����⃗𝑉𝑉 3.
8. Règle des sinus dans un triangle
Soit un triangle quelconque ABC nous pouvons établir une relation entre les trois côtés et les trois angles du triangle. Dans les triangles ABD et CBD, nous avons :
𝑠𝑠𝑆𝑆𝑛𝑛 𝛼𝛼 =
𝑒𝑒𝑒𝑒 sin 𝛽𝛽 =
D’où 𝑂𝑂𝐷𝐷. sin 𝛼𝛼 = 𝐷𝐷𝐵𝐵. 𝑠𝑠𝑆𝑆𝑛𝑛𝛽𝛽
On déduit :
𝐵𝐵𝐵𝐵 sin 𝛼𝛼 =^
𝐴𝐴𝐵𝐵 sin 𝛽𝛽 De même pour les triangles AEC et BE C, nous avons :
𝑠𝑠𝑆𝑆𝑛𝑛 𝛼𝛼 = 𝐸𝐸𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 et^ sin (𝜋𝜋 − 𝜃𝜃) =^
𝐸𝐸𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 D’où 𝑂𝑂𝐵𝐵. sin 𝛼𝛼 = 𝐷𝐷𝐵𝐵. 𝑠𝑠𝑆𝑆𝑛𝑛(𝜋𝜋 − 𝜃𝜃) = 𝐷𝐷𝐵𝐵. 𝑠𝑠𝑆𝑆𝑛𝑛 𝜃𝜃
On déduit 𝐵𝐵𝐵𝐵 sin 𝛼𝛼 =^
𝐴𝐴𝐵𝐵 sin 𝜃𝜃 On déduit finalement une relation appelée règle des sinus dans un triangle: 𝐷𝐷𝐵𝐵
sin 𝛼𝛼
sin 𝛽𝛽
sin 𝜃𝜃
