Aritmetica degli Errori nel Calcolo Numerico: Introduzione e Metodi, Exercises of Algebra

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ARITMETICA, ERRORI

A.A. 2022/

Il Calcolo Numerico `e una disciplina della matematica, che propone e analizza metodi che consentono di ottenere una soluzione numerica di problemi matematici, per i quali metodi di risoluzione analitica non esistono oppure sono eccessivamente onerosi.

Il Calcolo Numerico `e una disciplina della matematica, che propone e analizza metodi che consentono di ottenere una soluzione numerica di problemi matematici, per i quali metodi di risoluzione analitica non esistono oppure sono eccessivamente onerosi.

I suddetti metodi vengono applicati ai cosiddetti problemi numerici e per ottenere una soluzione numerica si utilizzano algoritmi, eseguibili da un calcolatore e dedotti dai metodi stessi.

In seguito verranno mostrati metodi per risolvere numericamente alcuni problemi di Approssimazione e di Algebra Lineare.

Il Calcolo Numerico `e una disciplina della matematica, che propone e analizza metodi che consentono di ottenere una soluzione numerica di problemi matematici, per i quali metodi di risoluzione analitica non esistono oppure sono eccessivamente onerosi.

I suddetti metodi vengono applicati ai cosiddetti problemi numerici e per ottenere una soluzione numerica si utilizzano algoritmi, eseguibili da un calcolatore e dedotti dai metodi stessi.

In seguito verranno mostrati metodi per risolvere numericamente alcuni problemi di Approssimazione e di Algebra Lineare.

Per gli algoritmi, che implementano i suddetti metodi, verr`a usato il linguaggio di programmazione Matlabr.

Definizione

Si definisce problema numerico una relazione funzionale f

x f y

tra i dati x (input) e i risultati y (output).

I dati x e i risultati y devono essere rappresentabili da numeri, vettori o matrici di numeri di dimensione finita.

La connessione f tra x e y pu`o essere esplicita

y = f (x)

oppure implicita f (x, y ) = 0

Esempi

(^1) La somma di due numeri reali y = x 1 + x 2 , con x 1 , x 2 ∈ R (input) e y ∈ R (output), `e un problema esplicito.

Esempi

(^1) La somma di due numeri reali y = x 1 + x 2 , con x 1 , x 2 ∈ R (input) e y ∈ R (output), e un problema esplicito. (^2) Il sistema lineare (^) { a 11 y 1 + a 12 y 2 = x 1 a 21 y 1 + a 22 y 2 = x 2 con a 11 , a 12 , a 21 , a 22 , x 1 , x 2 ∈ R (input) e soluzione y = (y 1 , y 2 )T^ ∈ R^2 (output),e un problema implicito.

Definizione

Per algoritmo si intende una sequenza finita di operazioni (aritmetiche e non) che consente di ottenere l’output di un problema numerico a partire dai dati di input.

Uno dei piu grandi errori, da evitare quando si programma al calcolatore,e pensare che i risultati numerici ottenuti siano privi di errori oppure affetti da un errore trascurabile.

Esercizio

Un esempio con conseguenze meno catastrofiche, ma comunque “inquietanti”, `e costituito dal calcolo numerico del seguente limite:

xlim→ 0

1 − cos x x^2 = 1 2

Cosa accade cercando di calcolarlo in Matlab?

Esercizio

Un esempio con conseguenze meno catastrofiche, ma comunque “inquietanti”, `e costituito dal calcolo numerico del seguente limite:

xlim→ 0

1 − cos x x^2 = 1 2

Cosa accade cercando di calcolarlo in Matlab?

In teoria, per definizione di limite, f (x) = 1 −xcos 2 x deve avvicinarsi sempre di pi`u a 1 2 al decrescere di^ x. Nella pratica, utilizzando Matlab, se si calcolano i termini f (x) per x = 10−n, con n = 1, ..., 14, accade che dapprima i valori della funzione si avvicinano a 12 ma, successivamente, a partire da n = 5, cominciano ad allontanarsene, come mostra la tabella sottostante.

Rappresentazione dei numeri

Per meglio comprendere il fenomeno che si e verificato,e opportuno illustrare le principali regole che i calcolatori seguono per memorizzare i numeri e operare con essi.

Rappresentazione dei numeri

Per meglio comprendere il fenomeno che si e verificato,e opportuno illustrare le principali regole che i calcolatori seguono per memorizzare i numeri e operare con essi.

Definizione

Si definisce rappresentazione floating-point di un numero reale a la seguente espressione

a = (−1)s^ pNq^ , s ∈ { 0 , 1 } , p ≥ 0 reale, q intero,

ove N rappresenta la base del sistema di numerazione.

Rappresentazione dei numeri

Per meglio comprendere il fenomeno che si e verificato,e opportuno illustrare le principali regole che i calcolatori seguono per memorizzare i numeri e operare con essi.

Definizione

Si definisce rappresentazione floating-point di un numero reale a la seguente espressione

a = (−1)s^ pNq^ , s ∈ { 0 , 1 } , p ≥ 0 reale, q intero,

ove N rappresenta la base del sistema di numerazione. Se N = 10 il sistema di numerazione si dice decimale, se N = 2 il sistema si dice binario.

Esempio

Per N = 10, si ha a = 0. 015 · 10 −^1 = 0. 15 · 10 −^2 = 0. 0015 · 100.

Definizione

La rappresentazione floating-point a = (−1)s^ pNq^ del numero reale a si dice normalizzata se p soddisfa la condizione

N−^1 ≤ p < 1